1、 - 1 - 2016-2017 学年江苏省四校联考高三（下） 3 月月考数学试卷（理科） 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分 .请把答案填写在答题卡相应位置上 . 1已知全集 I=1， 2， 3， 4， 5， 6，集合 A=1， 3， 5， B=2， 3， 6，则（ ?IA） B= 2复数 1+ 的实部为 3如图是一个算法流程图，则输出的 n的值是 4某校在市统测后，从高三年级的 1000 名学生中随机抽出 100 名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示则估计 该校高三学生中数学成绩在 21如图， A， B， C 是圆 O 上不共线的三点，
2、OD AB 于 D， BC 和 AC 分别交 DO 的延长线于 P和 Q，求证： OBP= CQP 22已知 a， b R，矩阵 A= ，若矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 1= ，属于特征值 5的一个特征向量为 2= 求矩阵 A，并写出 A的逆矩阵 - 2 - 23已知在极坐标系下，圆 C： p=2cos（ ）与直线 l： sin （ ） = ，点 M为圆 C上的动点求点 M 到直线 l距离的最大值 24已知 x， y， z均为正数求证： 七、解答题（共 2小题，满分 10 分） 25如图，已知长方体 ABCD A1B1C1D1， AB=2， AA1=1，直线 BD 与平面 AA1
3、B1B所成的角为 30 ，AE垂直 BD于点 E， F为 A1B1的中点 （ 1）求异面直线 AE与 BF所成角的余弦值； （ 2）求平面 BDF与平面 AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值 26设集合 S=1， 2， 3， ， n（ n 5， n N*），集合 A=a1， a2， a3满足 a1 a2 a3且 a3a2 2， A?S （ 1）若 n=6，求满足条件的集合 A的个数； （ 2）对任意的满足条件的 n及 A，求集合 A的 个数 - 3 - 2016-2017学年江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考高三（下） 3 月月考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题：本
4、大题共 14小题，每小题 5分，共 70分 .请把答案填写在答题卡相应位置上 . 1已知全集 I=1， 2， 3， 4， 5， 6，集合 A=1， 3， 5， B=2， 3， 6，则（ ?IA） B= 2，6 【考点】 1H：交、并、补集的混合运算 【分析】根据题意和补集、交集的运算分别求出 ?IA和（ ?IA） B 【解答】解：因为全集 I=1， 2， 3， 4， 5， 6， 集合 A=1， 3， 5， 所以 ?IA=2， 4， 6， 又 B=2， 3， 6， 则（ ?IA） B=2， 6， 故答案是： 2， 6 2复数 1+ 的实部为 【考点】 A2：复数的基本概念 【分析】由复数代数形式
5、的乘除运算化简 1+ 得答案 【 解 答 】 解 ：1+ = ， 则复数 1+ 的实部为： 故答案为： 3如图是一个算法流程图，则输出的 n的值是 6 - 4 - 【考点】 EF：程序框图 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟 程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=1， 执行循环体， n=2 不满足条件 42 2017，执行循环体， n=3 不满足条件 43 2017，执行循环体， n=4 不满足条件 44 2017，执行循环体， n=5 不满足条件 45 2017，执行循环体， n=6
6、 满足条件 46 2017，退出循环，输出 n的值为 6 故答案为： 6 4某校在市统测后，从高三年级的 1000 名学生中随机抽出 100 名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示则估 计该校高三学生中数学成绩在 21如图， A， B， C 是圆 O 上不共线的三点， OD AB 于 D， BC 和 AC 分别交 DO 的延长线于 P和 Q，求证： OBP= CQP - 5 - 【考点】 NC：与圆有关的比例线段 【分析】连接 OA，推出 ACB= DOB，证明 BOP= QCP，说明 B， O， C， Q四点共圆，证明即可 【解答】（本小题满分 10分） 证明：连
7、接 OA，因为 OD AB， OA=OB，所以 ， 又 ，所以 ACB= DOB， 又因为 BOP=180 DOP， QCP=180 ACB，所以 BOP= QCP，所以 B， O， C， Q四点共圆， 所以 OBP= CQP 22已知 a， b R，矩阵 A= ，若矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 1= ，属于特征值 5的一个特征向量为 2= 求矩阵 A，并写出 A的逆矩阵 【考点】 OH：逆变换与逆矩阵； OC：几种特殊的矩阵变换 【分析】由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 1= ，求出 3a b=3，由矩阵 A属于特征值 5的一个特征向量为 2= ，求出 a+b=5，
8、由此能求出矩阵 A，进而能求出 A的逆矩阵 【解答】（本小题满分 10分） - 6 - 解：由矩阵 A属于特征值 1的一个特征向量为 1= ， 得： = ， 3a b=3， 由矩阵 A属于特征值 5 的一个特征向量为 2= ， 得： ， a+b=5， 解得 ，即 A= A的逆矩阵 A 1= 23已知在极坐标系下，圆 C： p=2cos（ ）与直线 l： sin （ ）= ，点 M 为圆 C上的动点求点 M到直线 l距离的最大值 【考点】 Q4：简单曲线的极坐标方程 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，把此距离加上半 径就等于所求的结果 【解答】解：圆 C： p=2cos
9、（ ） 即 x2+y2+2y=0， x2+（ y+1） 2=1，表示圆心为（ 0， 1），半径等于 1的圆 直线 l： sin （ ） = ，即 cos +sin 2=0，即 x+y 2=0， 圆心到直线的距离等于 = ， - 7 - 故圆上的动点到直线的距离的最大值等于 +1 24已知 x， y， z均为正数求证： 【考点】 R6：不等式的证明 【分析】分别对 ， ， 进行化简分析，得出与 的关系，然后三个式子左右分别相加除以 2即可得到结论 【解答】证明：因为 x， y， z都是为正数， 所以 同理可得 当且仅当 x=y=z时，以上三式等号都成立 将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，
10、 得： 七、解答题（共 2小题，满分 10 分） 25如图，已知长方体 ABCD A1B1C1D1， AB=2， AA1=1，直线 BD 与平面 AA1B1B所成的角为 30 ，AE垂直 BD于点 E， F为 A1B1的中点 （ 1）求异面直线 AE与 BF所成角的余弦值； （ 2）求平面 BDF与平面 AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值 - 8 - 【考点】 MT：二 面角的平面角及求法； LM：异面直线及其所成的角 【分析】（ 1）以 AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴， AA1所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AE、 BF 所成的角的
11、余弦值 （ 2）分别求出平面 AA1B 的一个法向量和平面 BDF的一个法向量，由此利用向量法能求出平面BDF与平面 AA1B所成的二面角（锐角）的余弦值 【解答】解：（ 1）在长方体 ABCD A1B1C1D1中， 以 AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴， AA1所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图 由已知 AB=2， AA1=1，可得 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， F（ 1， 0， 1） 又 AD 平面 AA1B1B，从而 BD与平面 AA1B1B所成的角为 DBA=30 又 AB=2， AE BD， AE=1， AD= ，由已知得得 E（
12、， ， 0）， D（ 0， ，0） = （ 1 ， 0 ， 1 ）， ， ， 即异面直线 AE、 BF所成的角的余弦值为 （ 2）平面 AA1B的一个法向量为 =（ 0， 1， 0） 设 =（ x， y， z）是平面 BDF 的一个法向量， 由 ，取 所以 cos = 平面 BDF与平面 AA1B1B 所成二面角（锐角）的余弦值为 - 9 - 26设集合 S=1， 2， 3， ， n（ n 5， n N*），集合 A=a1， a2， a3满足 a1 a2 a3且 a3a2 2， A?S （ 1）若 n=6，求满足条件的集合 A的个数； （ 2）对任意的满足条件的 n及 A，求集合 A的个数 【
13、考点】 15：集合的表示法 【分析】（ 1） n=6时，可得出 S=1， 2， 3， 4， 5， 6，根据条件，可 分别求出 a3 a2=2， a3a2=1时，集合 A的个数，再求和即可； （ 2）方法和过程同（ 1） 【解答】解：（ 1） n=6时， S=1， 2， 3， 4， 5， 6； a3 a2 2； a3 a2=2，或 a3 a2=1； 当 a3 a2=2时， a2和 a3可分别为 2和 4， 3和 5， 4和 6； 此时对应的 a1分别有 1个， 2个和 3个； 当 a3 a2=1时， a2和 a3可分别取 2和 3， 3和 4， 4和 5， 5和 6； 对应的 a1分别有 1个， 2个， 3个和 4个； 集合 A的个数 =1+2+3+1+2+3+4=16个； （ 2）当 n 5时， 若 a3 a2=2，则 a2和 a3可分别为 2和 4， 3和 5， ， n 2和 n； 此时，对应的 a1可分别为 1个， 2个， ， n 3个，共有 个； 同理， a3 a2=1时， a1共有 个； 集合 A的个数为： - 10 - = =（ n 2） 2， n 5， n N*
