1、 - 1 - 2018-2019 学年高三年级暑期检测数学卷（理科） 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 若 x， ，则 “ ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 函数 的大致图象是 A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值 A. 2 B. 3 C. D. - 2 - 4. 若 O 为 所在平面内任一点，且满足 ，则 的形状 为 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
2、5. 已知 ，且 ，则 a 的值为 A. B. 15 C. D. 225 6. 已知数列 为等差数列，且 ，则 的值为 A. 2 B. 1 C. D. 7. 已知函数 设 ，则 的值等于 A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知函数 的图象关于直线 对称，则最小正实数 a 的值为 A. B. C. D. 9. 如图，在 中， ， ，若 ，则 的值为 A. B. C. D. 10. 设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 A. 6 B. C. 0 D. 12 11. 已知 ， ，且 ，则 的最小值为 A. 4 B. C. 8 D. 9 12. 若函数 有且只有两个零点，则实数
3、 a 的取值范围是 A. B. C. D. - 3 - 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 的展开式中，常数项为 _ 14. 经过圆 的圆心，且与直线 垂直的直线方程是 _ 15. 在 中，角 B 为钝角，则 _ 填 “ ” 或 “ ” 或 “ ” 16. 四棱 锥 的底面 ABCD 为正方形， 底面 ABCD， ，若该四棱锥的所有顶点都在表面积为 的同一球面上，则 _ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 已知 A、 B、 C 为 的内角， ， 是关于方程 两个实根 求 C 的大小 若 ， ，求 p 的值 18. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，
4、现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次 得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图 现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由 ； 若将频率视为概率，求乙同学在一次数学竞赛中成绩高于 84 分的概率； 求在甲同学的 8 次预赛成绩中，从不小于 80 分的成绩中随机抽取 2 个成绩，列出所有结果，并求抽出的 2 个成绩均大于 85 分的概率 19. 已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 ， 证明：数列 为等比数列 若 ，数列 的前项和为 ，求 - 4 - 20. 已知在四棱锥 P 一 ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， 平
5、面 ABCD， ， ， E、 F 分别是 AB、 PD 的中点 求证： 平面 PEC； 求 PC 与平面 ABCD 所成角的正切 值； 求二面角 的正切值 21. 设命题 p：方程 表示的曲线是一个圆； 命题 q：方程 所表示的曲线是双曲线，若 “ ” 为假，求实数 m 的取值范围 22. 设 a 为大于 0 的常数，函数 当 ，求函数 的极大值和极小值； 若使函数 为增函数，求 a 的取值范围 - 5 - 答案和解析 【答案】 1. D 2. B 3. B 4. B 5. A 6. D 7. A 8. A 9. A 10. A 11. B 12. B 13. 14. 15. 16. 17.
6、解： 由已知，方程 的判别式： ， 所以 ，或 由韦达定理，有 ， 所以， ， 从而 所以 ， 所以 由正弦定理，可得 ， 解得 ，或 舍去 于是， 则 所以 18. 解： 派甲参加比较合适，理由如下： ， ， ， ， ， ， 故甲的成绩比较稳定， ； 从不小于 80 分的成绩中抽取 2 个成绩， 所有结果为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 15 个， - 6 - 其中，满足 2 个成绩均大于 85 分的有 ， ， 共 3 个， 故，所求 的概率是 19. 解： 证明： ， 时， 两式相减 常数 又 时， 得 ， 所以数列 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列
7、 由 又 设 两式相减 ， 又 ， 20. 解： 取 PC 的中点 O，连接 OF、 OE ，且 又 E 是 AB 的中点 且 四边形 AEOF 是平行四边形 又 平面 PEC， 平面 PEC 平面 PEC 连接 AC 平面 ABCD， 是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角 在 中， 即直线 PC 与平面 ABCD 所成的角正切为 作 ，交 CE 的延长线于 连接 PM， 由三垂线定理，得 - 7 - 是二面角 的平面角 由 ，可得 ， 二面角 P 一 EC 一 D 的正切为 21. 解：若命题 p 真：方程 表示圆，则应用 ，即 ， 解得 ，故 m 的取值范围为 若命题 q 真： ，即
8、或 “ ” 为假， p 假或 q 假， 若 p 为假命题，则 ， 若 q 为假命题，则 ， 所以 为假，实数 m 的取值范围： 22. 解： 当 时， ， 令 ，则 ， 或 ， 当 时， ，当 ， ， 当 时， ， ， ，若 为增函数，则当 时， 恒成立， ，即 ， 即 恒成立， 【解析】 1. 解：由 ，解得 ， 因此 “ ” 是 “ ” 的既不充分也不必要条件 故选： D 由 ，解得 ，即可判断出结论 本题考查了不等式的解法与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2. 解：函数 是偶函数，排除 C， D 当 时， 排除 A， 故选： B 判断函数的奇偶性排除选项，
9、然后利用特殊点的位置判断即可 本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置的应用，考查计算能 力 - 8 - 3. 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为 1 和 2，高为 2， 如图： ， ， ， ， 平面 ABCD， 底面的面积 该几何体为 x， 几何体的体积 ， 可得 故选： B 由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，该几何体为 x，根据体积公式建立关系，可得答案 本题考查的知识点是三视图投影关系，体积公式的运用，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键 4. 解：因为 ， 即 ； 又因为 ， 所以 ， 即 ，
10、所以 是等腰三角形 故选： B 根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出 是等腰三角形 本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是综合性题目 5. 解： ， ， ， ， ， - 9 - ， ， 故选： A 把指数式化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出 本题考查了指数式化为对数式、对数的运算法则，属于基础题 6. 解： 数列 为等差数列， ， ， 故选 D 利用等差数列的性质，求得 ，再利用 ，即可求得结论 本题考查等差数列的性质，考查学生轭计算能力，属于基础题 7. 解： ， ， 则 ， 故选： A 根据分段函数的表达式直接代入即可得到结论 本题主要考查函数值的计算，先判断
11、 a 的符号是解决本题的关键 8. 解： ， 其对称轴方程由 ， 得： ， 又函数 的图象关于直线 对称， ， 当 时，最小正实数 a 的值为 故选： A 利用三角恒等变换可得 ，利用正弦函数的对称性即可求得答案 本题考查正弦函数的对称性，求得 是关键，属于中档题 9. 解： ， ， ， ， ， - 10 - ， ， ， ， 则 ， 故选： A 根据向量的基本定理结合向量加法的三 角形分别进行分解即可 本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键 10. 解：作出约束条件 的可行域如图， 由 知， ， 所以动直线 的纵截距 取得最大值时， 目标函数取得最大值 由 得 结合可行域可知当动直线经过点 时， 目标函数取得最大值 故选： A 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 过点 时， z 最大值即可 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 11. 解： ， ，且 ， ， 当且仅当 时，等号成立， 则 的最小值为 ， 故选 B 把要求的式子化为 ，再展开后利用基本不等式求得它的最小值 本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，把要求的式子化为 ，是解题的关键 12. 解： ； 时， ， 时， ；
