1、 - 1 - 北京 101中学 2018届下学期高三年级 3 月月考数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 8小题，共 40 分。 1. 已知集合 A=x| x（ x-2） 0，则 A? B是 A. x| x0 B. x| x2 C. x | 10 且 k 1）的点的轨迹是圆。后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点 A， B 间的距离为 2，动点 P与 A， B距离之比为 2 ，当 P， A， B不共线时， PAB面积的最大值是 A. 2 2 B. 2 C. 322 D. 32 8. 如图， PAD为等边三角形，四边形 ABCD为正方形，平面 PAD平面 ABCD。若点 M为平面 ABCD内的
2、一个动点，且满足 MP=MC，则点 M在正方形 ABCD及其内部的轨迹为 A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C. 一段圆弧 D. 一条线段 - 3 - 二、填空题：本大题共 6小题。共 30 分。 9. 执行如图所示的程序框图，输出 S的值为 _. 10. 已知双曲线 C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线 y2=8x的焦点重合，一条渐近线方程为 x+y=0，则双曲线 C的方程是 _。 11. 已知菱形 ABCD的边长为 2， BAD=60，则 AB BC =_。 12. 若变量 x， y满足约束条件?,045,045,04yxyxyx 则 x2+y2的最小值为 _。 1
3、3. 高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题。一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”： （ 1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积； - 4 - （ 2）左图阴影区域面积用 a， b， c， d表示为 _； （ 3）右图中阴影区域的面积为 BADdcba ? s in2222 ； （ 4）则柯西不等式用字母 a， b， c， d可以表示为（ ac+bd） 2（ a2+b2）（ c2+d2）。 请简单表述由步骤（ 3）到步骤（ 4）的推导过程： _。 14. 已知函数 f（ x） =? ? ? , ,0,sin ? ?xx xxx g（ x） =
4、f（ x） -kx（ k R）。 当 k=l时，函数 g（ x）有 _个零点； 若函数 g（ x）有三个零点，则 k的取值范围是 _。 三、解答题：本大题共 6小题，共 80 分。 15. （本小题满分 13 分） 已知函数 f（ x） =（ sinx+cosx） 2-cos2x。 （ I）求 f（ x）的最小正周期； （ II）求证：当 x 0， 2? 时， f（ x） 0。 16. （本小题满分 13 分） 已知由实数构成的等比数列 an满足 a1=2， a1+ a3+ a5=42。 （ I）求数列 an的通项公式； （ II） 求 a2+ a4+ a6+? + a2n。 17. （本小题
5、满分 13 分） 2017 年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行。整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决。图 1（扇形图）和表 1是其 中一场关键比赛的部分数据统计。两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图 1。在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法。选手乙在比赛中的接发球技术统计如表 1，其中的前 4项技术统称反手技术，后 3项技术统称为正手技术。 - 5 - 图 1 选手乙的接发球技术统计表 技术 反手拧球 反手搓球 反手拉球 反手拨球 正手搓球 正手拉球 正手挑球 使用次数 20 2 2 4 12 4 1 得分率
6、55% 50% 0% 75% 41.7% 75% 100% 表 1 （ I）观察图 1，在两位选手共同使用 的 8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术 ? （ II）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球。从表 1 统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少 ? （ III）如果仅从表 1 中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定 ?（结论不要求证明） 18. （本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面 ABC 为正三角形，侧棱 AA1底面 ABC。已知 D 是 BC的中点
7、， AB=AA1=2。 - 6 - （ I）求证：平面 AB1D平面 BB1C1C； （ II）求证： A1C平面 AB1D； （ III）求三棱锥 A1-AB1D的体积。 19. （本小题满分 14 分） 已知椭圆 C： 15 2222 ? bybx（ b0）的一个焦点坐标为（ 2， 0）。 （ I）求椭圆 C的方程； （ II）已知点 E（ 3， 0），过点（ 1， 0）的直线 l（与 x轴不重合）与椭圆 C交于 M， N两点，直线 ME 与直线 x=5相交于点 F，试证明：直线 FN 与 x轴平行。 20. （本小题满分 13 分） 已知函数 f（ x） =xcos+a， a R。 （
8、I）求曲线 y=f（ x）在点 x=2? 处的切线的斜率； （ II）判断方程 f （ x） =0（ f （ x）为 f（ x）的导数）在区间（ 0， 1）内的根的个数，说明理由； （ III）若函数 F（ x） =xsinx+cosx+ax 在区间（ 0， 1）内有且只有一个极值点，求 a 的取值范围。 - 7 - 参考答案 一、选择题：本大题共 8小题，共 40 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A A B A D 二、填空题：本大题共 6小题，共 30 分。 题号 9 10 11 12 13 14 答案 48 122 22 ? yx 2 8 ac+bd；两个要
9、点：（ 1）两图中的阴影部分面积相等；（ 2） |sinBAD| 1 1，（ 0， ? 三、解答题：本大题共 6小题，共 80 分。 15. 解：（ I）因为 f（ x） =sin2x+cos2x+sin2x-cos2x =1+sin2x-cos2x= 2 sin（ 2x-4? ） +1。 所以函数 f（ x）的最小正周期为 ? 。? 7分 （ II）由（ I）可知， f（ x） = 2 sin（ 2x-4? ） +1。 当 x?0， 2? 时， 2x-4? ?-4? ， 43? ， sin（ 2x-4? ） ?- 22 ， 1， 2 sin（ 2x-4? ） +1 0， 2 +l。 当 2x
10、-4? =-4? ，即 x=0时， f（ x）取了最小值 0。所以当 x 0， 2? 时， f（ x） 0。?13分 16. 解：（ I）由? ? 422 5311 aaaa可得 2（ 1+q2+q4） =42。 由数列 an各项为实数，解得 q2=4， q=? 2。 所以数列 an的通项公式为 an=2n或 an=（ -1） n-1 2n ? 7分 （ II）当 an=2n时， a2+ a4+ a6+? + a2n= 3441 )41(4 ? n （ 4n-1）； 当 an=（ -1） n-1 2n时 ， a2+ a4+ a6+? + a2n= 3441 )41()4( ? ? n （ 1-
11、4n）。 . . . . 13分 - 8 - 17. 解：（ I）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术。 ? 2分 （ II）根据表 1 的数据可知，选手乙的反手拉球 2 次，分别记为 A， B，正手拉球 4 次，分别记为 a,b， c,d。则从这六次拉球中任取两次，共 15种结果，分别是： AB， Aa,Ab， Ac， Ad,Ba， Bb， Bc,Bd,ab， ac， ad,bc,bd,cd。 其中至少抽出一次反手拉球的共有 9种 ，分别是： AB,Aa， Ab， Ac,Ad,Ba， Bb， Bc,Bd。 则从表 1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一
12、次反手拉球的概率 53159 ?P。? 10分 （ III）正手技术更稳定。 ? 13 分 18. （ I）证明：由已知 ABC为正三角形，且 D是 BC 的中点，所以 AD BC。因为侧棱 AA1底面 ABC， AA1 BB1，所以 BB1底面 ABC。又因为 AD? 底面 ABC，所以 BB1 AD。而 B1B? BC=B，所以 AD平面 BB1C1C。因为 AD? 平面 AB1D，所以平面 AB1D平面 BB1C1C。? 5 分 （ II）证明：连接 A1B，设 A1B? AB1=E，连接 DE。 由已知得，四边形 A1ABB1为正方形，则 E为 A1B的中点 . 因为 D是 BC 的中
13、点，所以 DE A1C。 又因为 DE? 平面 AB1D， A1C? 平面 AB1D， 所以 A1C平面 AB1D。? 10分 （ III）由（ II）可知 A1C平面 AB1D，所以 A1与 C到平面 AB1D的距离相等， 所以 DABCDABA VV111 ? ?。由题设及 AB=AA1=2，得 BB1=2，且 23?ACDS。 - 9 - 所以 ACDBDABC VV ? ?11=31 33223311 ? BBS A C D， 所以三棱锥 A1-AB1D的体积为 3311 ? DABAV。 ? ? 14分 19. 解：（ I）由题意可知? ? .5,222 bac 所以 a2=5， b
14、2=1。 所以椭圆 C的方程为 225 yx ? =1 ? 3分 （ II）当直线 l 的斜率不存在时，此时 MN x 轴。设 D（ 1， 0），直线 x=5 与 x 轴相交于点 G，易得点 E（ 3， 0）是点 D（ 1， 0）和点 G（ 5， 0）的中点，又因为 |MD|=|DN|，所以 |FG|=|DN|。所以直线 FN x轴。 当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y=k（ x-1）（ k 0）， M（ x1， y1） ， N（ x2， y2）。因为点 E（ 3， 0），所以直线 ME的方程为 y=311?xy（ x-3）。 令 x=5，所以 yF=311?xy（ 5-3） =3
15、21 1?xy。 由? ? ? 55 ),1(22 yxxky 消去 y得（ 1+5k2） x2-10k2x+5（ k2-1） =0。 显然 ? 0恒成立。所以 x1+x2=15102 2?kk， x1x2=15 )1(5 22?kk。 因为 y2-yF=y2-321 1?xy=3 2)3( 1 112 ? ?x yxy=3 )1(2)3)(1( 1 112 ? ? x xkxxk=3 5)(3 1 2121 ? ? x xxxxk= 3 51510315)1(512222?x kkkkk=1552?kk 03 1561 1 222 ? ? x kkk， 所以 y2=yF。所以直线 FN x轴
16、。综上所述，所以直线 FN x轴。? 14 分 20. 解：（ I） f （ x） =cosx-xsinx k=f （ 2? ） =2? 。? 3分 （ II）设 g（ x） =f （ x）， g （ x） =-sinx-（ sin x+xcosx） =-2sinx-xcosx. - 10 - 当 x（ 0， 1）时， g （ x） 0， g（ 1） =cos1-sin1g（ x0） =0，即 f （ x） 0成立，函数 f（ x）为增函数； 在（ x0， 1）上， g（ x） f（ 0）。 若函数 f（ x）在区间（ 0， 1）内有且只有一个零点 x1，且 f（ x）在 x1两侧异号， 则只需满足： ? ?0)1( 0)0(ff。即? ? 01cos0 aa，解得 -cos1? a0。? 13分
