1、3.2.1 几类不同增长的函数 模型 第三章 3.2 函数的模型及其应用 1.尝试将实际问题转化为函数模型； 2.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异； 3.体会直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 函数模型 思考 自由落体速度公式vgt是一种函数模型.类比这个公式的发现过 程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？ 答案 答案 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计 时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)， 寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数
2、即为函数模型.函数模型通常 用来解释已有数据和预测. 一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题 的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立 函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所 谓建立数学模型. 知识点二 三种常见函数模型 比较三种函数模型的性质，填写下表. 答案 函数 性质 yax (a1) ylogax (a1) yxn (n0) 在(0，)上的 增减性 图象的变化 随x的增大逐渐变 “ ” 随x的增大逐渐趋 于 随n值 而不同 增长速度 ax的增长 xn的增长，xn的增长 logax的增长 增长后果 总存在一个x0，当xx
3、0时，就会有 增函数 增函数 增函数 陡 稳定 快于 快于 axxnlogax 返回 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 建立函数模型解决实际问题 例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三 种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 某公司预投资100万元，有两种投资可供选择： 甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息； 乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收
4、回本金和利息. 哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结 果精确到0.01万元) 解 按甲，每年利息10010%10,5年后本息合计150万元； 按乙，第一年本息合计1001.09，第二年本息合计1001.092，5 年后本息合计1001.095153.86万元. 故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，更有利. 类型二 需选择函数模型的实际问题 例2 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售 人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励， 且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金 总数不超过5万元，同时奖金
5、不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y 0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？ 按此模型，如果某人的销售利润是343万元，则所获奖金为多少？ 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 2 一家庭(父亲、 母亲和孩子们)去某地旅游， 甲旅行社说： “如 果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行 为集体票，按原价2 3优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不 同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅 行社更优惠. 类型三 幂函数、指数函数、对数函数增长的差异 例3 观察下面表中的数据，你对函数y2x，yx2
6、，ylog2x的增长差 异有什么认识？ 解析答案 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y2x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 yx2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 ylog2x 0 1 1.6 2 2.3 2.6 2.8 3 解 尽管在x的某一范围内，有2x4时，2xx2log2x. 反思与感悟 跟踪训练3 函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示.设两函数的图象交 于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2. 解析答案 (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； 解 当x充分大时， 图象位于上方的函数是指数函数y2x， 另一个函数就是幂函
7、数yx3. C1对应的函数为g(x)x3， C2对应的函数为f(x)2x. 解析答案 返回 (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 013)，g(2 013)的大小. 解 f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)， 1x12,9x210.x16x2,2 013x2. 从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)， f(6)g(6). 当xx2时，f(x)g(x)，f(2 013)g(2 013). 又g(2 013)g(6)，f(2 013)g(2 013)g(6)f(6). 1 2 3 达标检测 4 答案 1.下列函数中随x的增长而增长最快
8、的是( ) A.yex B.yln x C.yx100 D.y2x A 1 2 3 4 2.能使不等式log2xx22x一定成立的x的取值区间是( ) A.(0，) B.(2，) C.(，2) D.(4，) 答案 D 1 2 3 4 3.某物体一天中的温度T(单位：)是时间t(单位：h)的函数：T(t)t3 3t60，t0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为( ) A.8 B.78 C.112 D.18 答案 B 1 2 3 4 4.细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长.若实验开始时有300个细菌，以 后的细菌数如下表所示： 答案 x(h) 0 1 2 3 细菌数 300 600 1
9、 200 2 400 据此表可推测实验开始前2 h的细菌数为( ) A.75 B.100 C.150 D.200 A 规律与方法 1.函数应用题的类型 函数应用题主要有：(1)函数类型已知的问题；(2)函数类型未知的问题； (3)利用函数拟合法得到函数模型的问题. 2.解决实际问题的流程 返回 3.在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)、ylogax(a1)和yxn(n 0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次” 上.随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度越来越慢，因此 总存在一个x0，当xx0时，logaxxnax.
