1、第2课时 函数的最大(小)值 第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义； 2.会借助单调性求最值； 3.掌握求二次函数在闭区间上的最值. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 函数的最大(小)值 思考 在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多 少？为什么不是最小值？ 答案 答案 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应， 不是函数值. 一般地，设函数yf(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意 xI，都有f(x)M.(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，称
2、M是函数yf(x) 的最大值. 如果存在实数M满足：(1)对于任意xI，都有f(x)M.(2)存在x0I，使 得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最小值. 知识点二 函数的最大(小)值的几何意义 思考 函数yx2，x1,1的图象如右： 答案 试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值. 答案 x1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x0时， y有最小值0，对应的点为图象中的最低点. 一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低 点，它们不一定只有一个. 返回 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 借助单调性求最值 例 1 已知函数 f(x) 2 x1(x2,6)，
3、求函数的最大值和最小值. 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 1 已知函数 f(x) x x21(x0)，求函数的最大值和最小值. 类型二 求二次函数的最值 例2 (1)已知函数f(x)x22x3，若x0,2，求函数f(x)的最值； 解析答案 解 函数f(x)x22x3开口向上，对称轴x1， f(x)在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，且f(0)f(2). f(x)maxf(0)f(2)3， f(x)minf(1)4. 解析答案 (2)已知函数f(x)x22x3，若xt，t2，求函数f(x)的最值； 解析答案 由(1)知yt22t3(t0)在0,1上单调递减， 在1，)上单调递增.
4、当t1即x1时，f(x)min4，无最大值. (3)已知函数 f(x)x2 x3，求函数 f(x)的最值； 解 设 xt(t0)，则 x2 x3t22t3. 解析答案 (4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高 点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t) 4.9t214.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这 时距地面的高度是多少？(精确到1 m) 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 (1)已知函数f(x)x42x23，求函数f(x)的最值； 解 设x2t(t0)，则x42x23t22t3. yt22t3(t0)在0,1上单调递减
5、，在1，)上单调递增. 当t1即x1时，f(x)min4，无最大值. (2)求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值； f(x)min 64a，a4. 解 函数图象的对称轴是xa， 当a4时，f(x)在2,4上是减函数， f(x)minf(4)188a. 当2a4时，f(x)minf(a)2a2. 解析答案 解析答案 (3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛 物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为 x 轴、竖直方向为 y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h(单位： m)与水平距离x(单 位：m)之间的函数关系式为 hx22x5 4，x0， 5
6、2.求水流喷出的高 度 h 的最大值是多少？ 类型三 函数最值的应用 例3 已知ax2xa0对任意x(0，)恒成立，求实数a的取值 范围. 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 已知ax2x1对任意x(0,1恒成立，求实数a的取值范围. 解 x0，ax2x1 可化为 a 1 x2 1 x. 要使 a 1 x2 1 x对任意 x(0,1恒成立， 只需 a( 1 x2 1 x)min. 设 t1 x，x(0,1，t1. 1 x2 1 xt 2t(t1 2) 21 4. 当 t1 时，(t2t)min0，即 x1 时，( 1 x2 1 x)min0， a0. 返回 1 2 3 达标检测 4 5
7、 答案 1.函数f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分 别是( ) A.f(2)，0 B.0,2 C.f(2)，2 D.f(2)，2 C 1 2 3 4 5 2.函数 yx1 在区间1 2，2上的最大值是( ) 答案 A.1 2 B.1 C.1 2 D.3 C 1 2 3 4 5 3.函数 f(x)1 x在1，)上( ) A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值 C.有最大值也有最小值 D.无最大值也无最小值 答案 A 1 2 3 4 5 4.函数f(x)x2，x2,1的最大值，最小值分别为( ) A.4,1 B.4,0 C.1,0 D.以上都不对 答案 B 1 2 3
8、 4 5 5.函数 f(x) 2x6，x1，2， x7，x1，1， 则 f(x)的最大值， 最小值分别为( ) A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对 答案 A 规律与方法 (2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取 得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a). 1.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数 y1 x. 如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素. 返回 2.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图， 然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给 区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依 据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.
