1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 1.1.2 弧 度 制 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系 2理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面 积公式，熟悉特殊角的弧度数(重点、难点) 3 “角度制”与“弧度制”的区别与联系(易错点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 1 角度制与弧度制的定义 阅读教材 P6P7第三行以上内容，完成下列问题 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1. 角度制
2、与弧度制的定义 角度制 用_作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规 定 1 度的角等于周角的_ 弧度制 长度等于_的弧所对的_叫做 1 弧度 的角，用符号_表示，读作_，以_作为 单位来度量角的单位制叫做弧度制 2角的弧度数的计算 如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么，角 的弧度数的绝对 值是|_ 度 1 360 半径长 圆心角 rad 弧度 弧度 l r 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)1 弧度是 1 度的圆心角所对的弧( ) (2)1 弧度是长度为半径的弧( ) (3)1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和( ) (4)
3、1 弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单 位( ) 【解析】 根据弧度制的定义知(4)正确 【答案】 (1) (2) (3) (4) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 教材整理 2 角度制与弧度制的换算 阅读教材 P7第四行至 P8例 3 以上内容，完成下列问题 1角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360_ rad 2 rad_ 180_ rad rad_ 1_ rad_ rad 1 rad_ 2 360 180 180 0.017 45 180 57.30 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2.一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0 1 30 45 6
4、0 90 120 135 150 180 270 360 弧 度 0 180 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (1)把 11230化成弧度_ (2)把3 5 rad 化成度_ 【解析】 (1)11230112.5112.5 180rad 5 8 rad. (2)3 5 rad 3 5180108. 【答案】 (1)5 8 (2)108 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 教材整理 3 扇形的弧长与面积公式 阅读教材 P8例 3 内容，完成下列问题 设扇形的半径为 R，弧长为 l， 为其圆心角，则 为度数 为弧度数 扇形的弧长
5、l_ l_ 扇形的面积 S_ S_ R 180 R R2 360 1 2lR 1 2 R 2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 圆心角为 3 弧度，半径为 6 的扇形的面积为_ 【解析】 扇形的面积为1 26 2 3 6. 【答案】 6 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型 角度与弧度的互化与应用 (1)将下列角度与弧度进行互化 20_；15_； 7 12 _；11 5 _. (2)把15730化成弧
6、度为_ (3)在0，4 中，与 72角终边相同的角有_(用弧度表示) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【精彩点拨】 在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住 rad180， 1 180 rad 这一关系 【自主解答】 (1)2020 180 9 ；1515 180 12； 7 12 7 12 180 105；11 5 11 5 180 396. (2)因为15730157.5315 2 180 rad 7 8 rad. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (3)因为终边与 72角相同的角为 72k 360(kZ) 当 k0 时，722 5； 当 k1 时，43212 5 ， 所以在
7、0，4中与 72终边相同的角有2 5， 12 5 . 【答案】 (1) 9 12 105 396 (2)7 8 (3)2 5 ， 12 5 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 角度制与弧度制互化的方法及注意点： (1)方法：设一个角的弧度数为 ，角度数为 n，则 rad 180 ；n n 180. (2)注意点： 以“弧度”为单位度量角时， “弧度”二字或“rad”可以省略不写 以“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特 别要求，不必把写成小数 度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 1把 5615化为弧度是( )
8、 【导学号：00680003】 A5 8 B5 4 C5 6 D5 16 【解析】 561556.25225 4 180 rad 5 16 rad. 【答案】 D 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 用弧度数表示角 (1)与角2 3 终边相同的角是( ) A11 3 B2k 2 3 (kZ) C2k 10 3 (kZ) D(2k1) 2 3 (kZ) (2)若 是第三象限的角，则 2 是( ) A第一或第二象限的角 B第一或第三象限的角 C第二或第三象限的角 D第二或第四象限的角 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【精彩点拨】 (1)可把选择题中角写成 2k，(kZ，0，2)形
9、式来判断； (2)可由 范围写出 2 范围后， 根据 k 为奇数或偶数来确定 2 终边位置 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 (1)选项 A 中11 3 25 3，与角 5 3终边相同，故 A 错； 2k2 3，kZ，当 k1 时，得0，2)之间的角为 4 3，故与 4 3有相同的 终边，B 错；2k10 3 ，kZ，当 k2 时，得0，2)之间的角为2 3，与 2 3 有相同的终边，故 C 对；(2k1)2 3，kZ，当 k0 时，得0，2)之间 的角为5 3，故 D 错 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)因为 为第三象限的角，所以有 2k2k3 2，kZ
10、， k 2 2 k3 4，kZ， k3 4 2 k 2 ，kZ， 故k 4 2 k 2 ，kZ. 当 k 为偶数时， 2 在第一象限； 当 k 为奇数时， 2 在第三象限，故选 B 【答案】 (1)C (2)B 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1弧度制下与角 终边相同的角的表示： 在弧度制下，与角 的终边相同的角可以表示为|2k，kZ， 即与角 终边相同的角可以表示成 加上 2的整数倍 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2确定角范围时，k 的值的取法： 在表示角或角的范围时，通常会用到 k，如 4 2k(kZ)，k 3 k 6 ，kZ，在确定角 或 的范围时，要根据 k 的系
11、数来取值，如 中 k 的系数为 2，则取 k 的任一个值如 0，得 4 在第一象限中 k 的 系数为，则要分 k 为奇数、偶数两种情况取值k 为奇数时，取 k1，得 2 3， 5 6 ，在第二象限；k 为偶数时，取 k0，得 3 ， 6 ，在第 四象限，则 为第二或第四象限的角 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2用弧度表示终边落在如图 117 所示阴影部分内(不包括边界)的角 的集合 图 117 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解】 因为 30 6 rad，2107 6 rad， 这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线 AB 上的角为 k 6 ，kZ，而终
12、边在 y 轴上的角为 k 2 ，kZ，从而终边落在阴影部分 内的角的集合为 k 6 k 2 ，kZ . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 弧长公式与扇形面积公式的应用 探究 1 用公式| l r求圆心角时，应注意什么问题？ 【提示】 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小， 又要注意其正负 探究2 在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时， 若已知的角是以“度” 为单位，需注意什么问题？ 【提示】 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计 算，否则结果出错 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (1)(2016 鹤岗高一检测)设扇形的周长为 8
13、cm，面积为 4 cm2，则 扇形的圆心角的弧度数是( ) A1 B2 C3 D4 (2)已知扇形的周长为 20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使 扇形的面积最大？最大面积是多少？ 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【精彩点拨】 (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得； (2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解 【自主解答】 (1)设扇形半径为 r，弧长为 l，由题意得 2rl8， 1 2lr4， 解得 l4， r2，则圆心角 l r2 rad. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【答案】 B (2)设扇形的半径为 r，弧长为 l，面积为 S. 则 l
14、202r，S1 2lr 1 2(202r) rr 210r(r5)225(0r 10) 当半径 r5 cm 时，扇形的面积最大，为 25 cm2. 此时 l r 2025 5 2 rad. 当它的半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为 25 cm2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l|r，S1 2r 2 和 S1 2lr.(这里 必 须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式 (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页
15、 再练一题 3已知一扇形的圆心角为 ，所在圆半径为 R，周长为 4R，则扇形中所含 弓形的面积是_ 【解析】 由周长为 4R 可知扇形的弧长为 2R，面积为 S1 2lR 1 22RR R2， 圆心角弧度数为| l R 2R R 2， 所以扇形中除弓形外所含的三角形的高 为 Rcos 1， 底为 2Rsin 1， 所以此三角形面积为 S11 2 Rcos 1 2Rsin 1R 2sin 1cos 1，从而弓形面积为 S2SS1R2(1sin 1cos 1) 【答案】 R2(1sin 1cos 1) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页
16、1正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( ) A 2k ，2k 2 (kZ) B k ，k 2 (kZ) C 2k ，2k 2 (kZ) D k ，k 2 (kZ) 【解析】 B 中 k1 时为 ，3 2 显然不正确；因为第一象限角不含终边 在坐标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确 【答案】 A 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2与 30角终边相同的角的集合是( ) A k 360 6 ，kZ B | 2k 30，kZ C | 2k 36030，kZ D 2k 6 ， kZ 【解析】 3030 180 rad 6 rad， 与 30终边相同的所有角可表示为 2k 6 ，kZ，故
17、选 D 【答案】 D 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3在半径为 10 的圆中，240的圆心角所对弧长为( ) 【导学号：00680004】 A40 3 B20 3 C200 3 D400 3 【解析】 240240 180 rad 4 3rad， 弧长 l| r4 310 40 3 ，选 A 【答案】 A 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4将1 485化成 2k (02 ，kZ)的形式为_ 【解析】 由1 4855360315， 所以1 485可以表示为107 4. 【答案】 10 7 4 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数 【解】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 ， 则 2Rl4. 由扇形的面积公式 S1 2 lR，得 1 2lR1. 由得 R1，l2， l R2 rad. 扇形的圆心角为 2 rad. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入
