1、2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的简单几何性质(1) 通过动画展示抛物线的形成，利用图片直观感知抛物线 在我们日常生活中的存在,培养学生善于观察的良好品质，同 时激发了学生探索新知的欲望，充分调动学生学习的积极性 和主动性.运用类比的思想，类比椭圆的性质和双曲线的性质 学习抛物线的性质. 例1是利用抛物线的几何性质求双曲线的标准方程；例2 是求直线与抛物线相交的弦长问题，利用抛物线的定义和数 形结合的方法帮助学生理解。利用动画展示抛物线的对称性. 复复 习习 抛物线的定义 1 抛物线的标准方程 2 抛物线的图象,焦点坐标,准线方程 3 椭圆及双曲线的性质 4 图形 标准方程 焦点坐标 准线方
2、程 2 2 0 ypx (p) 2 2 0 xpy (p) 2 2 0 xpy (p) 2 p (0) ， 2 p (0,) 2 p (0,) 2 2 0 ypx (p) 2 p (0)， 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论 抛物线的哪些几何性质？ 抛物线有许多重要性质抛物线有许多重要性质. .我们根据抛物线的标准方程我们根据抛物线的标准方程 研究它的一些简单几何性质研究它的一些简单几何性质: : 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 ）（ 1 )0(2 2 pp xy 1.1.范围范围 因为因为p p0 0，由方程（，由方程（1 1
3、）可知，对于抛物线（）可知，对于抛物线（1 1）上的点）上的点M (xM (x， y) y)，x0x0，所以这条抛物线在，所以这条抛物线在y y轴的右侧，开口方向与轴的右侧，开口方向与x x轴正向相同轴正向相同; ; 当当x x的值增大时，的值增大时，|y|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下也增大，这说明抛物线向右上方和右下 方无限延伸方无限延伸 2.2.对称性对称性 以以y y代代y y，方程（，方程（1 1）不变，所以这条抛物线关于）不变，所以这条抛物线关于x x轴对轴对 称称. . 我们把抛物线的对称轴叫做我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴抛物线的轴 3.3.顶点顶点 抛物线和它的轴
4、的交点叫做抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点. .在方程（在方程（1 1）中，）中， 当当y=0y=0时，时，x=0x=0，因此抛物线（，因此抛物线（1 1）的顶点就是坐标原点）的顶点就是坐标原点 4.4.离心率离心率 抛物线上的点抛物线上的点MM与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫 做做抛物线的离心率抛物线的离心率，用，用e e表示由抛物线的定义可知，表示由抛物线的定义可知，e=1e=1 x y O F A B y2=2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的过焦点而垂直于对称轴的 弦弦ABAB，称为抛物线的，称为抛物线的通径通径. . 利用抛物线
5、的利用抛物线的顶点、通径顶点、通径的的 两个端点可较准确画出反映抛两个端点可较准确画出反映抛 物线基本特征的草图物线基本特征的草图. . p p , 2 (,) 2 p p |AB|=2|AB|=2p p 2 2p p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大. . 5.5.通径通径 抛物线的其它几何性质抛物线的其它几何性质 连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径. 焦半径公式：焦半径公式： x y O F P 6.6.焦半径焦半径 0 p PFx. 2 方程方程 图图 形形 范围范围 对称性对称性 顶点顶点 离心率离心率 y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x
6、2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） l F y x O l F y x O l F y x O x0 yR x0 yR xR y0 y0 xR l F y x O 关于关于x轴对称轴对称 关于关于x轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称 （0,0） e=1 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 (1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸， 但没有渐近线； (2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)抛物线的离心率e是确定的，为; (5)抛物线的通径为2p, 2p越大，抛物线的张口越大. 解：
7、因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原 点，并且经过点M（， ），所以，可设它的标 准方程为 2 2 2 y2px(p0), 因为点M在抛物线上，所以 2 ( 2 2)22,p 因此,所求抛物线的标准方程是 2 4 .yx 即即p =2.p =2. 抛物线几何性质的应用抛物线几何性质的应用 2 421yxF, A,BAB. 斜斜率率为为 的的直直线线 经经过过抛抛物物线线的的焦焦点点且且与与 抛抛物物线线相相交交于于两两点点，求求线线段段 【例例 】 的的长长 l 分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l 的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方 程联立，可以求出A,B两
8、点的坐标；利用两点间的距离 公式可以求出AB.这种方法虽然思路简单，但是需 要复杂的代数运算. 下面，我们介绍另外一种方法数形结合的方法. 1122 1 1 2 1 1 1 AA A B A(x ,y ),B(x ,y ). AF AAA .AA d ,dx,AF dx.BFBB dx, 如如图图，设设 由由抛抛物物线线的的定定义义可可知知，等等于于 点点 到到准准线线的的距距离离设设 而而于于是是 同同理理， 于于是是得得 12 2A BA FB Fxx. 12 A,Bxx , AB . 由由 此此 可可 见见 ， 只只 要要 求求 出出 点点的的 横横 坐坐 标标 之之 和和 就就 可可
9、以以 求求 出出 x y O F A B B A 1 2 1 1 A B AFdx, BFdx, 12 2A BA FB Fxx.于 于 是 是 1 0 1 F( , ), AB yx. (1) 由由 已已 知知 得得 抛抛 物物 线线 的的 焦焦 点点 为为 所所 以以 直直 线线的的 方方 程程 为为 1122 AB A(x ,y ),B(x ,y ),A,B ld ,d . 如如图图，设设 到到准准线线 的的距距离离分分别别为为由由抛抛 物物线线的的定定义义可可知知 211 01 2 解：由 题意可知，焦点准 线 p p,F( , ), : x. l x y O F A B B A 22
10、 1414yx , ( x)x ,将 将 （ （ ） ） 代 代 入 入 方 方 程 程得 得 2 610xx.化化 简简 得得 12 6xx. 利利用用根根与与系系数数的的关关系系可可以以 直直接接求求出出 8A B.所 所以 以， ，线 线段 段的 的长 长是 是 12 322322 x,x, 由由 求求 根根 公公 式式 得得 12 28A Bxx.于于 是是 还可以如何还可以如何 求求x1+x2? 分析：运用抛物线的 定义和平面几何知识 来证比较简捷 x y OF B A x y OF B AD C x y E OF B AD C H x y E OF B AD C H x y E O
11、F B AD C H x y E OF B AD C H x y E OF B AD C H 如上题，求证：以如上题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线相切为直径的圆和抛物线的准线相切 x y E OF B AD C H 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且 EHl，因而圆E和准线l相切 证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准 线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C， 则AFAD，BFBC ABAFBF ADBC =2EH 2.抛物线 的弦AB垂直x轴，若|AB|= ， 则焦点到AB的距离为 。 2 4yx4 3 2 1、求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点
12、在直线x-2y-4=0上. (2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为 15. 22 168或yxxy 22 124yxyx 或 1.1.做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) ) (1)(1)顶点在原点顶点在原点, ,对称轴为对称轴为y y轴且过轴且过(4,1)(4,1)的抛物线方程的抛物线方程 是是 . . (2)(2)已知点已知点( (- -2,3)2,3)与抛物线与抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点的距离是的焦点的距离是5,5,则则 p=p= . . (3)(3)抛物线抛物线y=2pxy=2px2 2(p0)(p0)的对称轴为的对称轴为 . . x x2 2=16y=16y 4 4 y y轴轴 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也 可以无限延伸，但没有渐近线； 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 抛物线的离心率是确定的，等于. 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 1. 范围：范围： 2. 对称性：对称性： 3. 顶点：顶点： 4. 离心率：离心率： 课后练习 课后习题
