1、3 3.4 .4 生活中的优化问生活中的优化问 题举例（题举例（1 1） 生活中的优化问题举例 内容：内容：生活中的优化问题 应用应用: 1.海报版面尺寸的设计 2.圆柱形饮料罐的容积为定值时,所用材料最省问题 3.饮料瓶大小对饮料公司利润有影响 本课主要学习生活中的优化问题。以生活中的实际问题引 入新课。本节课设计从易到难，由浅入深地发现身边的“数 学”，特别是对采用一题多解，一题多变的变式教学，有利 于培养学生思维的广阔性与深刻性。遵循“提出问题-分 析问题-解决问题”的思维过程，注重引导学生，了解背 景、思考推理、数学建模等活动。本课给出3个例题和变式 ，通过解决这些问题，培养学生数学建
2、模的能力。 采用例题与变式结合的方法，通过例1探讨如何设计海报 的尺寸，使空白面积最小；例2是饮料罐的容积为定值时,如 何确定它的高与底半径,使得所用材料最省；例3是饮料的利 润最大问题通过这些问题的解决，体会导数在解决实际问 题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力. 问题问题1 1:学校宣传海报比赛，要求版心面积128dm左右 边距1dm上下边距2dm，请问你将如何设计？ 版心 规格（规格（L） 2 1.25 0.6 价格（元）价格（元） 5.1 4.5 2.5 问题问题2 2：下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品， 若它们的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢
3、？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？ 生活中经常遇到求 利润最大、用料最 省、效率最高等问 题，这些问题通常 称为优化问题. 运用什么知 识解决优化 问题 一般地，若函数一般地，若函数y=f (x)在在a，b上的图象是一条连续不断的上的图象是一条连续不断的 曲线，则求曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：的最值的步骤是： （1）求）求y=f (x)在在a，b内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值其中最大的一个为最大值，最小的一个
4、为最小值. 特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。 y o o a x1 x2 x3 x4 b x 例例1 1：海报版面尺寸的设计：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让 你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面 积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm， 如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ x 图图3.4-1 分析：已知版心的面分析：已知版心的面 积，你会如何建立函数积，你会如何建立函数 关系表示海报四周的面关系表示海报四周的面 积呢？积呢？ 128 :,xdmdm x 解 设版心的高
5、为则版心的宽为此时四周空白面积为 0,160xs x当时，； 你还有其他方法你还有其他方法 求这个最值吗？求这个最值吗？ 128 ( )(4)(2) 128S xx x 512 28,0xx x 2 512 ( )2S x x 求导数,得 2 512 ( )20S x x 令1616xx解得：，（舍） 128128 8 16x 于是宽为： 16,0.xs x当时， 因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以， 当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。 (0,16) x(16,) ( )S x ( )S x 16 0 极小值 解法二：由解法(一)得 512512 (
6、 )282 28S xxx xx 2 32 872 512 ,16(0)xxxS x 当且仅当2即时 取最小值 8 128 此时y= 16 816dmdm答：使用版心宽为，长为时，四周空白面积最小。 2.在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有一 个极值点x0 ，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最 大值或最小值. 1.设出变量找出函数关系式； (所说区间的也适用于开区间或无穷区间) 确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义。 练习练习1.1.一条长为 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形， 要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 则两个正方形面积和为 22 21 )
7、 4 () 4 ( xlx ssS )22( 16 1 22 llxx 解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 其中00. h= 4 3 S 时，时，l 取最小值，此时取最小值，此时 b=S 3 324 . 3.A、B两村距输电线（直线）分别为 1km 和 1.5km（如 图） ，CD长3.km. 现两村合用一台变压器供电. 问变压器 设在何处,输电线总长 AEBE 最小. 分析: 法一法一: :这是一个几何最 值问题,本题可用对称 性技巧获得解决. 法二法二:只要能把 AE+BE代数化,问题就易解决 A 解解 设设x如图，并设输电线总长为如图，并设输电线总长为)(xL. . 则有则有 222 ( )1(3)1.5 , 03.L xAEEBxxx 222 222 (3)1.5(3)1 ( )0 (3)1.5 1 xxxx L x xx , , 222 (3)1.5(3)1xxxx, , 2 1.25690.xx 解得解得1.2x 和和6x ( (舍去舍去). ). 答：答： 3.A、B两村距输电线（直线）分别为 1km 和 1.5km（如 图） ，CD长3.km. 现两村合用一台变压器供电. 问变压 器设在何处,输电线总长 AEBE 最小.
