1、 1 北京市人大附中 2018 届高三数学 2 月特供卷（一）文 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1函数 ( ) s
2、 i n ( ) (| | )2f x A x? ? ? ? ? ?的 图象 如图所示，则下列说法正确的是（ ） A 在区间 7 1366?，上单调递减 B 在区间 7 1312 12?，上单调递增 C 在区间 7 1312 12?，上单调递减 D 在区间 7 1366?，上单调递增 2已知复数 1 3 2iz ? ， 2 2iz ?，则 12zz? 的虚部为（ ） A 1 B i? C 1? D i 3已知函数 ? ? 4 2xx afx ?是奇函数，则 ?fa的值为（ ） A 52? B 52 C 32? D 32 4计算 ? 25.0l o g10l o g24l o g9l o g 5
3、532 （ ） A 0 B 2 C 4 D 6 5 执行如图所示的程序框图，输出 S ，则 2log ( 1)S?（ ） A 9 B 10 C 11 D 12 6对于平面 ? 和直线 a ， b ， c ，命题 :p 若 ab ， bc ，则 ac ；命题 :q 若 a? ， b? ，则 ab 则下列命题为真命题的是（ ） A qp? B qp? C qp ? D )( qp? 7已知变量 ,xy满足约束条件 103 1 010xyxyxy?，则 2z x y?的最大值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8设离心率为 21 的椭圆 12222 ?byax 的右焦点与双曲线 1322 ?y
4、x 的右焦点重合，则椭圆方程为（ ） A 134 22 ?yx B 168 22 ? yx C 11612 22 ? yx D 11216 22 ?yx 9已知集合 ? ?0,1, 2,3, 4,5A ? ， ? ?2 20B x x x? ? ? ，则 AB? （ ） A ? ?1,2 B ? ?0,1,2 C ? ?1,0,1? D ? ?0,1 10如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体 的体积为（ ） A 43 B 2 C 4 D 23 11 已知球面上有 A、 B、 C三点，且 AB=AC= 2 ， BC=2 ，球心到平面 ABC的距离为 3
5、 ，则球的体积为（ ） A 43? B 323? C 3223? D 643? 12如图所示，设曲线 1y x? 上的点与 x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形 11OBA ， 1 2 2,ABA ,直角顶点在曲线 1y x? 上， nA 的横坐标为 na ，记12 ()nnnbnaa? N，则数列 ?nb 的前 120 项之和为（ ） 第 9 题图 2 A 10 B 20 C 100 D 200 第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13平面向量 a ， b ，满足 ? ? 7a b b? ? ? ， 3a? ， 2b? ，则向量 a 与 b 夹 角为 14已知 55sin
6、? ， 1010cos ? ，且 0 2? ? ? ? ?，则 ? ?sin 15 在 ? ?3, 3? 内随机地取一个数 k，则事件 “ 直线 y kx k?与圆 ? ?2 211xy? ? ?有公共点 ”发生的概率为 16 已知 函数 )(xg 对任意的 x?R ，有 2( ) ( )g x g x x? ? ? 设函数 2( ) ( ) 2xf x g x?，且 ()fx在区间 ? ?0,? 上单调递增若 ( ) ( 2) 0f a f a?，则实数 a 的取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12分） 已知等差数列 ?na 的前 n 项和为
7、nS ，且满足 73?a ， 999?S （ ）求数列 ?na 的通项公式；（ ）若 ()2nn nabn?N，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT 18（本小题满分 12分） 如图，在四棱 锥 ABCDP? 中，底面 ABCD 是菱形， PD AC? （ ）证明：直线 AC 平面 PBD ； （ ）若 1DP DA DB? ?， 3PB? ，求四棱锥 ABCDP? 的体积 19（本小题满分 12分） 六安市某棚户区改造，四边形 ABPC 为拟定拆迁的棚户区，测得 3BPC ?， 23BAC ?，4?AC 千米， 2?AB 千米，工程规划用地近似为图中四边形 ABPC 的外接圆内部区域 （ ）
8、求四边形 ABPC 的外接圆半径 R ； （ ）求该棚户区即四边形 ABPC 的面积的最大值 20（本小题满分 12分） 已知经过抛物线 2:4C y x? 的焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于两点 ? ?11,Ax y ， ? ?22,yxB ，直线AO ， BO 分别交直线 1: ?xm 于点 M ， N （ ）求证： 121xx? ， 12 4yy? ； （ ）求线段 MN 长的最小值 P A B C D 第 18 题 图 1Bxyo 1A 2A2B1第 12题图 第 19 题图 3 第（ 20 ）题图 OxyABNM21 （本小题满分 12分） 已知函数 xxxaxf ln)1
9、()( ? ，其中 a?R （ ）若 1a? ，求曲线 ? ?y f x? 在点 ? ? ?1, 1Pf 处的切线方程； （ ）若对任意 1x ，都有 ( ) 0fx 恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、 23 两 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （选修 4-4：坐标系与参数方程） （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的参数方程为21222xtyt? ? ?（ t 为 参数 ） ，曲线 C 的极坐标方程为 4cos? ； （ ） 求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的直角坐标
10、方程； （ ） 若直线 l 与曲线 C 交点分别为 A ， B ， 点 (1,0)P ，求 11PA PB?的值 23（选修 4-5：不等式选讲） （本小题满分 10分） 设函数 ? ? 2 2 1f x x x? ? ? ? （ ）解不等式 ? ? 0fx ； （ ） x?R ， ? ? 224f x m m? 恒成立，求实数 m 的取值范围 答 案 一、选择题 1 【答案】 B 2 【答案】 A 3 【答案】 C 4 【答案】 D 5 【答案】 B 6 【答案】 C 7 【答案】 B 8 【答案】 D9 【答案】 B10 【答案】 A 11 【答案】 B 12 【答案】 A 二、填空题 1
11、3 【答案】 6? 14 【答案】 1027 15 【答案】 31 16 【答案】 1a 三、解答题 17（本小题 满分 12分） 【 答案 】 （ ）由题意得：? ? ? 992899 7211dada ， 解得? ?231da， 故 ?na 的通项公式为 12 ? nan ， n ?N （ ）由（ ）得： 212n nnb ?， nn nT 2 1229272523 432 ? ? 1432 2 122 1227252321 ? nnn nnT ? 得：1432 2 12)21212121(22321 ? nnn nT ?12 5225 ? nn， 故nn nT 2 525 ? 18（本小
12、题满分 12分） 【 答案 】 （ ）连接 AC 交 BD 与 E ， 是菱形四边形 ABC D? ， BDAC? ， 而 PD AC? ,BD? 平面 PBD ,PD? 平面 PBD ， PD BD D? ， ?直线 AC 平面 PBD （ ）由（ ）得 AC? 平面 PBD ， 易得 2P A B C D A P B D C P B D C P B DV V V V? ? ? ? ? ?， 在 PBD 中 ， 1BD? ， 1PD? ， 3PB? ， 易得 23PDB ?， 所以 1 2 31 1 s in2 3 4PBDS ? ? ? ? ?， 而 CE? 平面 PBD ，所以 EC 即
13、 为 C 到 平面 PBD 的 高 ， 在菱形 ABCD 中 ， 22 32C E A E A D D E? ? ? ?， 故 1138C P B D P B DV S E C? ? ? ?， 所以 14P ABCDV ? ? 19（本小题满分 12分） 【 答案 】 （ ）由题得：在 ABC 中 ， 4AC? ， 2AB? ， 23BAC ?由 余弦定理得 ： 22 22 c o s 2 73B C A C A B A C A B ? ? ? ? ? ?， 由正 弦定理得 ： 42 2 1s in 3BCR BAC? ， 所以 2 213R? （ ）由（ ）得， 72?BC ， 由余弦定理得
14、： 2 2 2 2 c o sB C P B P C P B P C B P C? ? ? ? ? ?， 即 222 8 2P B P C P B P C P B P C? ? ? ? ?， 所以 28PB PC? （当且仅当 PB PC? 时 等号成立 ） ， 而 11 s i n s i n22A P B C A B C P B CS S S A B A C B A C P B P C B P C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 故 32 3 9 34APBCS P B P C? ? ? 答： 四边形 ABPC 的面积的最大值为 39 20（本小题满分 12分） 【 答案 】 （
15、 ）易知 )0,1(F ，设 :1AB x y?， 则214xyyx?得 2 4 4 0yx? ? ?， 12 4yy? ? ， ? ? 222 121212 14 4 1 6yy yyxx? ? ? ? ?； （ ）设 21 1( , )4yAy， 22 2( , )4yBy， 所以14AOk y? ，24BOk y? ， 所以 AO 的方程是 :14yxy? ， 由 141yxyx? ?，14My y? ， 同理由 241yxyx? ?，24Ny y? ， 1244| | | | | |MNM N y y yy? ? ? ? ?12124 | |yyyy? ， 且由（ ）知 12 4yy?
16、 ， 124yy ?， 221 2 1 2 1 2| | ( ) 4 4 1y y y y y y ? ? ? ? ? ? ?， 代入 得到 : 212| | 4 1M N y y ? ? ? ?， 4MN ， 仅当 0? 时， |MN 取最小值 4 ， 综上所述 :MN 的最小值是 4 21 （本小题满分 12分） 【 答案 】 （ ）当 1a? 时， 1( ) ( ) lnf x x xx? ? ?， (1) 0f ? ， 所以211( ) 1fx xx? ? ? ?， (1) 1f? ? ， 即曲线 ()y f x? 在点 ? ? ?1, 1Pf 处的切线方程为 1yx?； （ ） ?
17、? 22ax x afx x? ?， 若 0a ，则当 1x? 时 ， 1 0x x?， ln 0x? ， ( ) 0fx?，不满足题意； 若 0a? ，则当 21 4 0a? ? ? ， 即 12a 时， ? ? 0fx? 恒 成立 ? ?fx? 在 1, )? 上单调递增，而 ? ?10f ? ， 所以当 1x 时， ? ? 0fx ，满足题意 ， 当 0? ，即 10 2a? 时， ? ? 0fx? ? ，有两个不等实根设为 1x ， 2x ， 且 12xx? ， 则 121xx? ， 12 1 0xx a? ? ?， 1201xx? ? ? ?， 当 21 xx? 时 ， ? ? 0fx? ? ， 故 ?fx在 ? ?21,x 上单调递减，而 ? ?10f ? ， 当 2(1, )xx? 时， ( ) 0fx? ，不满足题意 综上所述， 12a 请考生在 22、 23 两 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （选修 4-4：坐标系与参数方程） （本小题满分 10 分） 【 答案 】 （ ） : 1 0
