1、-1- 二二 圆内接四边形的性质与判定定理圆内接四边形的性质与判定定理 -2- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1.了解圆内接四边形的概念,掌握圆内接四边形的性质定理及其 应用. 2.理解圆内接四边形的判定定理及其推论,并能解决有关问题. 3.了解反证法在证明问题中的应用. -3- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIA
2、ODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 1.性质定理1 文字语言 圆的内接四边形的对角互补 符号语言 若四边形 ABCD 内接于圆 O,则有A+C=180 , B+D=180 图形语言 作用 证明两个角互补 -4- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 【做一做1】 四边形ABCD内接于圆O,A=25,则C等于 ( ) A.25 B.75 C.115 D.155 解析:四边形ABCD内接于圆, A+C=180. 又A=25,
3、C=180-A=155. 答案:D -5- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 2.性质定理2 文字语言 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 符号语言 四边形 ABCD 内接于O,E 为 AB 延长线上一点, 则有CBE=ADC 图形语言 作用 证明两个角相等 -6- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIA
4、ODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 【做一做2】 如图,四边形ABCD内接于圆O,延长AB到点E,若 ADC=32,则CBE等于( ) A.32 B.58 C.64 D.148 解析:四边形ABCD内接于圆O, CBE=ADC=32. 答案:A -7- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 归纳总结归纳总结1.利用这两个性质定理,可以借助圆变换角的位置,得到 角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明. 2.利用这两个
5、定理可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四 边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯 形等. -8- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 3.圆内接四边形判定定理 文字语言 如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的 四个顶点共圆 符号语言 在四边形 ABCD 中,如果B+D=180 (或A+ C=180 ),那么 A,B,C,D 四点共圆 图形语言 作用 证明四点共圆 -9- 二 圆内接四边形的 性质与判定
6、定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 4 【做一做3】 下列四边形的四个顶点共圆的是( ) A.梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.菱形 答案:B -10- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 4 3 4.推论 文字 语言 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这 个四边形的四个顶点共圆 符号 语言
7、在四边形 ABCD 中,延长 AB 到点 E,若CBE= ADC,则 A,B,C,D 四点共圆 图形 语言 作用 证明四点共圆 归纳总结归纳总结性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定理2和判定定 理的推论互为逆定理. -11- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 4 3 【做一做4】 如图,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且 BC=BE,D=80,E=50.求证:四边形ABCD内接于圆. 证明:BC=BE,E=BCE. 则EB
8、C=180-2E=80, EBC=D.四边形ABCD内接于圆. -12- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1.圆内接四边形的性质定理与判定定理 剖析:(1)圆的内接四边形的外角及内对角 如图,圆内接四边形ABCD的内角BAD的两个补角1和2称 为圆内接四边形的外角.因为BAD和C两角相对,所以C称为 1与2的内对角,且它们满足BAD+C=180,1=2=C. (2)判定定理与性质定理的内在联系 性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定理2与判
9、定定理的推论 互为逆定理. -13- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 2.与圆内接四边形有关的相似三角形 剖析:如图,通过掌握与圆有关的相似三角形的基本图形,可以在 解题过程中遵循正确的思维规律和解题步骤,对图形运用自如,融 为一体,做出连贯反应. 基本图形1 基本图形2 基本图形3 -14- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析
10、 MUBIAODAOHANG 目标导航 基本图形1:圆的任意内接四边形ABCD,有 AEDBEC,DECAEB. 基本图形2:四边形ABCD内接于O,AD,BC的延长线交于点F,其 中相似三角形有 AEDBEC,AEBDEC,CDFABF,ACFBDF. 基本图形3:四边形ABCD内接于O,AD,BC的延长线交于点F,AB 为直径,其中相似三角形有 DECAEB,FDCFBA,RtAFCRtBFDRtAED RtBEC. -15- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAOD
11、AOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一 证明四点共圆 【例1】 如图,在ABC中,E,D,F分别为AB,BC,AC的中点,且 APBC于点P.求证:E,D,P,F四点共圆. 分析:连接PF,转化为证明FED=FPC,先利用中点证明 FED=C,再利用APBC证明PF=FC,得C=FPC,即得出 FED=FPC. -16- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:如图,连接PF. APBC,F为AC的中点
12、, PF是RtAPC斜边上的中线. PF=FC,FPC=C. E,F,D分别为AB,AC,BC的中点, EFCD,EDFC. 四边形EDCF为平行四边形. FED=C,FPC=FED. E,D,P,F四点共圆. -17- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 反思反思判定四点共圆的方法:如果四个点与一定点距离相等,那 么这四个点共圆;如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四 边形的四个顶点共圆;如果一个四边形的一个外角等于
13、它的内角 的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆(如本题);与线段两个端 点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内共圆. -18- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 在锐角三角形ABC中,AD是BC边上的 高,DEAB,DFAC,点E,F是垂足. 求证:E,B,C,F四点共圆. -19- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重
14、难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:如图,连接EF, DEAB,DFAC, A,E,D,F四点共圆. 1=2. AD是BC边上的高, 1+C=2+C=90. BEF+C=180. B,E,F,C四点共圆. -20- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二 圆内接四边形的性质的应用 【例2】 如图,已知四边形ABCD内接于O,延长AB和DC相交
15、于 点E,EG平分AED,且与BC,AD分别交于点F,G.求 证:CFG=DGF. 分析:由BEF=DEG,可证明EBFEDG,又BFE与 CFG是对顶角,问题获证. -21- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:四边形ABCD内接于O, EBF=ADE. 又EF是AED的平分线, 则BEF=DEG, EBFEDG. EFB=DGF. 又EFB=CFG, CFG=DGF. 反思反思当已知条件中出现圆内接四边形时,常
16、用圆内接四边形的性 质定理来获得角相等或互补,从而为证明三角形相似或两条直线平 行等问题创造条件. -22- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练2】 如图,两圆O1,O2相交于点A,B.O1的弦BC 交O2于点E,O2的弦BD交O1于点F. 求证:(1)若DBA=CBA,则DF=CE; (2)若DF=CE,则DBA=CBA. -23- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 Z
17、HONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:(1)如图,连接AE,AF,AC,AD,则3=4,5=6. AD=AE,ACEAFD. 故CE=DF. (2)由(1)得3=4,5=6. 又DF=CE,ACEAFD, AD=AE, 1=2,即DBA=CBA. 又1=2, = . -24- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型
18、三 易错辨析 易错点:错用圆内接四边形的外角等于它的内角的对角这一定理 而致错 【例3】 如图,四边形ABCD是O的内接四边形,E为AB的延长 线上一点,CBE=40,则AOC等于( ) A.20 B.40 C.80 D.100 错解:四边形ABCD是O的内接四边形, 根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角,得 CBE=COA=40.故选B. 错因分析:上述解答错误的原因是对性质定理2的理解不透彻,不 能准确理解“外角等于它的内角的对角”的含义.所谓的“内角的对 角”通常是指圆周角. -25- 二 圆内接四边形的 性质与判定定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 正解:四边形ABCD是圆内接四边形,且CBE=40,由圆内接 四边形的性质知D=CBE=40.又由圆周角定理知 AOC=2D=80. 答案:C
