1、 1 厦门 外国语学校 2017-2018学年第 二 学期 高三第一次考试 数学（理科）试题 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1在复平面内，复数 -1+ii 对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 已知集合 ? ? | 1 A x y lg x? ? ?， | 2B x x?，则 AB?（ ） A. ? ?2,0? B. ? ?0,2 C. ? ?1,2 D. ? ?2,2? 3 已知向量 (1, )am? ， (3, 2)b?，且 ? ?/a b b? ，则 m? （ ） A 23?
2、 B 23 C 8? D 8 4 若直线 10xy? ? ? 与圆 ? ?2 2 2x a y? ? ? 有公共点，则实数 a 取值范围是 （ ） A. ? ?3, 1? B. ? ?1,3? C. ? ?3,1? D. ? ? ? ?, 3 1,? ? ? ? 5 甲、乙两 人计划从 A 、 B 、 C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（ ） A 3种 B 6种 C 9种 D 12种 6 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为 2的正方形；俯视图是边长为 2的正方形及其外接圆则该几何体的体积为 （ ） A. 24 3? B
3、. 224 3? C. 428 3? D. 828 3? 7如果执行如图的程序框图， 那么输出的值是 （ ） A 2010B 1 C 12 D 2 2 (第 6题图 )(第 7 题图 ) 8 已知 3sin3 2 2? ? ?，则 cos3? ?（ ） A. 32 B. 32? C. 12 D. -12 9.已知函数 22,(n ) nnf nn? ?为 奇 数， 为 偶 数， 且 (n) ( 1)na f f n? ? ?， 则 1 2 3 2014.a a a a? ? ? 等于（ ） A 2013B 2014C 2013D 2014 10 关于圆周率 ? ，数学发展史上出现过许多很有创意
4、的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验 .受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 ? 的值：先请 120名同学每人随机写下一个都小于 1的正实数对 ? ?,xy ；再统计两数能与 1构成钝角三角形三边的数对 ? ?,xy 的 个数 m ；最后再根据统计数 m 估计 ? 的值，假如统计结果是 34m? ，那么可以估计 ? 的值约为 （ ） A. 227 B. 4715 C. 5116 D. 5317 11 已知双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的左 ,右焦点分别为 12,FF,若双曲线上存在点 P , 使1221sin PFF aSIN PF F c? ? ,则该
5、双曲线的离心率 e 范围为 （ ） A. （ 1,12? ） B. （ 1,13? ） C. （ 1,12? D. （ 1,13? 12 已知函数 ? ?122 , 0,log , 0.xaxfx xx? ? ? ? 若关于 x 的方程 ? ? ? 0f f x ? 有且仅有一个实数解， 则实数 a 的取值范围是 （ ） 3 A ? ?,0? B ? ?0,1 C ? ? ? ?,0 0,1? D ? ? ? ?0,1 1,? 二、填空题： 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13锐角 ABC? 中角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，若 4, 3ab?，且 ABC? 的面积为 33，
6、 则 c? _ 14设 ,ab是两条不同的直线 , ,?是两个不同的平面 ,则下列四个命题中 （ 1）若 ,aa?,则 ? ; （ 2）若 / / ,a ? ? ,则 a ? ; （ 3）若 ,a ? ?,则 /a? ; （ 4）若 ,ab?,则 /ab. 其中所有真命题的序号是 . 15 学校艺术节对同一类的 , , ,ABCD 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下 : 甲说： “ A 作品获得一等奖 ” ； 乙说： “ C 作品获得一等奖 ” 丙说： “ ,BD两项 作品未获得一等奖 ” 丁说： “ 是 A 或 D 作品获得一等奖 ”
7、若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 _ 16已知平面图形 ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且 2 , 4 , 5 , 3A B B C C D D A? ? ? ?，则四边形 ABCD 面积的最大值为_ 4 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 12分） 等差数列 ?na 的前 n项和为 nS ，已知 1 10a? ， 2a 为整数，且 4nSS? . （ 1）求 ?na 的通项公式； （ 2）设11nnnb aa?，求数列 ?nb 的前 n项和 nT
8、. 18（本小题满分 12分） 如图（ 1）五边形 ABCDE 中， , / / , 2 ,E D E A A B C D C D A B?150E C?,将 EAD? 沿 AD 折到 PAD? 的位置，得到四棱锥 P ABCD? ，如图（ 2），点 M 为线段 PC 的中点，且 BM? 平面 PCD . （ 1）求证： /BM 平面 PAD . （ 2）若直线 ,PCAB 与所成角的正切值为 12 ，求直线 BM 与平面 PDB 所成角的正弦值 . 19 （本小题满分 12分） 某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料 .进入全面勘探时期
9、后，集团按网络点 来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井 位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不 必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表： （参考公式和计算结果： 5 1 221? n iii niix y nxybx nx?， ?a y bx? ， 4 2211 94ii x ? ?， 42 1 2 11 945iii xy? ?） （ 1） 16号旧井位置线性分布，借助前 5组数据求得回归直线方程为 6.5y x a?，求 a 的值，并估计 y 的预报值 . （ 2）现准备勘探新井 ? ?71,25 ，若通过 1， 3， 5， 7 号并计算
10、出的 ?b ， ?a 的值（ ?b ， ?a 精确到 0.01）相比于（ 1）中的 b ， a ，值之差不超过 10%，则使用位置最接近的已有旧井 ? ?61,y ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？ （ 3）设出油量与勘探深度的比值 k 不低于 20 的勘探井称为优质井，那么在原有 6口井中任意勘探 4口井，求勘探优质井 数 X 的分布列与数学期望 . 20（本小题满分 12 分） 已知抛物线 21 :2C x py? 的焦点在抛物线 22 :1C y x?上，点 P 是抛物线 1C 上的动点 （ 1）求抛物线 1C 的方程及其准线方程； （ 2）过点 P 作抛物线 2C 的两条切线，
11、A 、 B 分别为两个切点，求 PAB? 面积的最小值 21 （本小题满分 12分） 已知函数 ? ? ? ?21xf x x ax a e ? ? ? ?，其中 aR? . （ 1）求函数 ?fx? 的零点个数； （ 2）证明： 0a? 是函数 ?fx存在最小值的充分而不必要条件 . 22选修 4 4：坐标系与参数方程（本小题满分 10分） 在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C 的参数方程为 5 2 cos3 2 sinxtyt? ? ? ?，（ t为参数），在以原点 O为极点， x 轴的非负半轴为极 轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 cos( ) 24? ? ?， ,AB两点的
12、极坐标分别为 (2, ), (2, )2AB? ? 6 （ 1）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （ 2）点 P 是圆 C 上任一点，求 PAB? 面积的最小值 23选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10分 ) 已知函数 ? ? 2 2 3f x x a x? ? ? ?， ? ? 13g x x? ? ? （ 1） 解不等式： ? ? 2gx? ； （ 2） 若对任意的 1xR? ，都有 2xR? ，使得 ? ? ? ?12f x g x? 成立，求实数 a 的取值范围 . 7 参考答案 一 .选择题 1-11ACACB CDCDB AC 二 .填空题 13 13 14
13、（ 1）（ 4） 15 C 16.230 . 【 选择填空解析 】 1 A 2 C 解：由题意可 知： ? ?1A x x? ， | 2 2B x x? ? ? ? ， 由交集的定义可得： |1 2A B x x? ? ? ? ，表示为区间即 ? ?1,2 . 3 A 4 C 解： 由题意得圆心为 ? ?,0a ， 半径为 2 。 圆心到直线的距离为 12ad ?， 由直线与圆有公共点可得 1 22a? ?，即 12a? ，解得 31a? ? 。 实数 a取值范围是 ? ?3,1? 。 5 B 6 C 解：由题意可知：该几何体上半部分为半球，下半部分为正方体，且正方体的面内切于半球的截面，且正
14、方体的棱长为 2， ? ? 33 3 34 3 4 22 , 2 83 4 3V R V a? ? ? ? ? ? ? ? ?球 正 方 体 ， 该几何体的体积为： 33 4228 3V V V a ? ? ? ? ? ?正 方 体 球. 7 D 解： 当 0k? 时 ， 1S? , 1K? 时 ， 12S? ,当 2K? 时 ， 2S? ,所以是一个周期问题， 3T? ,当 2009K? 时 ， 被 3整除余 2，所以 S 的值是当 2K? 时的值 ， 所以 2S? ， 当 2010K? 时 ， 输出 2S? . 8 C 8 解 : cos 3?= 22 2 1c o s c o s 2 c
15、 o s 13 3 2 3 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 9.D 解 :当 n 为奇数时 , 22( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 1 ) ;na f n f n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 n 为偶数时， 22( ) ( 1 ) ( 1 ) 2 1na f n f n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 1 2 3 2 0 1 4 ( 3 5 ) ( 7 9 ) ( 1 1 1 3 ) - +a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
16、 ? （ 4 0 1 7 4 0 1 9 ） 2 2 2 2? ? ? ? ? 2014? 10. B 解 :如图，点 ? ?,xy 在以 ,OAOB 为邻边的正方形内部，正方形面积为 1， , ,1xy 能构成钝角三角形的三边，则221 1xyxy?，如图弓形内部，面积为 1142? ，由题意 1134421 120? ? ，解得 4725? 11 A 解 :由题意，点 P 不是双曲线的顶点，否则1 2 2 1acsin PF F sin PF F?无意义 ， 在 12PFF? 中 ， 由正弦定理得 122 1 1 2PF PFsin PF F sin PF F?， 又 11 2 2 1 2
17、, PFa c csin P F F sin P F F P F a?， 即 12cPF PFa? ， P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得1 2 2 22 , ? 2cP F P F a P F P F aa? ? ? ? ?， 即 22 2aPF ca? ?， 由双曲线的几何性质，知 22 2, aP F c a c aca? ? ? ? ?， 即 2220c ac a? ? ? ， 2 2 1 0ee? ? ? ? ， 解得2 1 2 1e? ? ? ? ?，又 1e? ， 所以双曲线离心率的范围是 ? ?1, 2 1?，故选 A. 9 11. C 解： 由函数 ? ?122 , 0,lo g , 0 .xaxfx xx? ? ? ? 可知，在 0x? 部分 .当 0a? 时 20xa?.当 0a? 时 20xa?.当 0a? 时 20xa?恒成立 .因为关于 x 的方程 ? ? ? 0f f x ? 有且仅有一个实数解，所以只能是( ) 1fx? 只有一个解 .当 0x? 时有一个解 12x? .所以要使在 0x? 上没解，有前面可得 0a? 成立 .当0a? 时要使 01a?才能成立 . 13
