1、 - 1 - 贵州省凤冈县 2018届高三第一次月考 数学试卷 （ 理科 ） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 2 1, R A y y x x? ? ? ?，集合 2 1, R B y y x x? ? ? ? ?，则 AB? （ ） A (0,1) B 1 C ? D 0 2. 已知复数 1i1iz ? ? ，则 z? （ ） A 2 B 2 C 4 D 5 3.已知平面向量 ,ab的 夹角为 045 ， (1,1)a? ， 1b? ，则 ab?（ ） A 2 B
2、 3 C 4 D 5 4.将函数 ( ) sin(2 )3f x x ?的图象向左平移 6? 个单位，所得的图象所对应的 函数解析式是（ ） A sin2yx? B cos2yx? C. 2sin(2 )3yx? D sin(2 )6yx? 5.等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2813aa?， 7 35S? ，则 8a? （ ） A 8 B 9 C.10 D 11 6.已知点 ( , )Pxy 在不等式组 20020xyxyy?，表示的平面区域上运动，则 z x y? 的最大值是（ ） A 4 B 3 C.2 D 1 7.从某社区随机 选取 5 名女士，其身高和体重的数据如下表所
3、示： - 2 - 身高 x （ cm） 155 160 165 170 175 体重 y （ kg） 50 52 55 58 62 根据上表可得回归直线方程 0.6y x a?，据此得出 a 的值为（ ） A 43.6 B -43.6 C.33.6 D -33.6 8.若直线 20ax by? ? ? （ 0, 0ab?）始终平分圆 22 2 2 2x y x y? ? ? ?的周长，则 112ab?的最小值为（ ） A 3 2 24? B 3 2 22? C. 3 2 22? D 3 2 24? 9.函数 ( ) sin lgf x x x?的零点个数是（ ） A 2 B 3 C.4 D 5
4、 10.已知 , , , , ,a b c A B C 分别是 ABC? 的三条边及相对三个角，满足: : co s : co s : co sa b c A B C? ，则 ABC? 的形状是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C.直角三角形 D等腰直角三角形 11.已知正三棱锥 S ABC? 及其正视图如图 所示，则其外接球的半径为（ ） A 33 B 433 C. 536 D 736 12.定义在 R 上的偶函数 ()fx，当 0x? 时， 32( ) ln ( 1)xf x e x x? ? ? ?，且 ) ( )f x t f x?在 ( 1, )x? ? ? 上恒成立，则关于 x
5、的方程 (2 1)f x t?的根的个数叙述正确的是（ ） A有两个 B有一个 C.没有 D上述情况都有可能 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） - 3 - 13. 121()x x? 展开式中常数项是 14.执行如图所示的程序框图后，输出的结果是（结果用分数表示） 15.已知双曲线 221xyab?（ 0, 0ab?）的右焦点为 F ，过 F 作 x 轴的垂线，与双曲线在第一象限内的交点为 M ，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 N ，满足 MN MF? ，则双曲线离心率的值是 16.设 O 是 ABC? 的三边垂直平分线的交点， H 是
6、ABC? 的三边中线的交点， ,abc分别为角 ,ABC 的对应的边，已知 222 4 0b b c? ? ?，则 AH AO? 的取值范围是 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 na 满足 1 1a? ， 1 23nnaa? ?（ *Nn? ） . （ 1）求证：数列 3na? 是等比数列； （ 2）若 nb 满足 (2 1)( 3)nnb n a? ? ?，求数列 nb 的前 n 项和 nS . - 4 - 18. 某班级体育课举行了一次 “ 投篮比赛 ” 活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示 .
7、甲 乙 （ 1）分别求出甲乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪一个小组的成绩更稳定： （）从甲组成绩不低于 60分的同学中，任意抽取 3名同学，设 ? 表示所抽取的 3名同学中得分在 60,70) 的学生个数，求 ? 的分布列及其数学期望 . 19. 如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 1AC 与平面 11AADD 及平面 ABCD 所成角分别为030 ， 045 ， ,MN分别为 1AC 与 1AD的中点，且 1MN? . （ 1）求证： MN? 平面 11AADD ； （ 2）求二面角 1A AC D?的平面角的正弦值 . - 5 - 20. 已知椭圆 :C
8、221xyab?（ 0, 0ab?）的两个顶点分别为 ( ,0)Aa? ， ( ,0)Ba ，点 P 为椭圆上异于 ,AB的点，设直线 PA 的斜率为 1k ，直线 PB 的斜率为 2k ，12 12kk?. （ 1）求椭圆 C 的离心率； （ 2）若 1b? ，设直线 l 与 x 轴交于点 ( 1,0)D? ，与椭圆交于 ,MN两点，求 OMN? 的面积的最大值 . 21. 设函 数 2( ) lnf x x x b x? ? ? （ 1）若函数 ()fx在 1 , )2? 上单调递增，求 b 的取值范围； （ 2）求证：当 1n? 时， 5ln ln ( 1) ln 24nn? ? ? ?
9、 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 - 6 - 已知曲线 C 的参数方程为： 2cos3sinxy?（ ? 为参数），直线 l 的参数方程为： 13xtyt?（ t为参数），点 (1,0)P ，直线 l 与曲线 C 交于 ,AB两点 . （ 1）分别写出曲线 C 在直角坐标系下的标准方程和直线 l 在直角坐标系下的一般方程； （ 2）求 11PA PB?的值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 1 2f x x x? ? ? ?. （ 1）请写出函数 ()fx在每 段区间上的解析式，并在图中的直
10、角坐标系中作出函数 ()fx的图象； （ 2）若不等式 21 2 2x x a a? ? ? ? ?对任意的实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 参考答案 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分） - 7 - 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D C D A B D C B D A 【 解析】 1 1 )A? ?， ， ( 1B? ?， ，故选 B 2 1i i | | 11izz? ? ? ， 故 ，故选 D 3 2 2 2( ) 2 5? ? ? ? ?a b a ab b，所以 |?ab ，故选 D 46 2 s i n
11、 2 s i n 2 s i n 23 6 3 3y x y x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?向 左 平 移 个 单 位，故选 C 5 2 8 52 13a a a? ? ? ，所以 5 132a? ，又 17747( ) 7 352aaSa? ? ?，所以 4 5a? ， 32d? ， 8a? 11，故选 D 6当 22xy?， 时， z 取得最大值 4，故选 A 7由表中数据可得 165 55.4xy?， ，因为回归直线必过 ()xy， ，代入回归方程得 ? 43.6a? ,故选 B 8直线平分圆周，则直线过圆心 (11)，
12、，所以有 2ab? ， 1 1 1 1 1()2 2 2aba b a b? ? ? ? 21 2 3 2 212 2 4? ? （当且仅当 2ba? 时取 “=” ），故选 D 9作出 sinyx? ， |lg |yx? 的图象如图，由图象知有 4个零点，故选 C 10由正弦定理得： : : s in : s in : s ina b c A B C? ，又 : : c o s : c o s : c o sa b c A B C? ，所以有- 8 - tan tan tanA B C?，即 A B C? ，所以 ABC 是等边三角形，故选 B 11由三视图知：三棱 锥 S ABC? 是底面
13、边长为 23，高为 3 的正三棱锥，设其外接球的半径为 R，则有： 22( 3 ) 4RR? ? ?，解得： 736R? ，故选 D 12由题意知： 32( ) e ln( 1)xf x x x? ? ? ?在 0 )?， 上单调递增， ( ) ( )f x t f x? 在 ( 1 )x? ? ?，上恒成立，必有 2t ，则 (2 1)f x t?的根有 2个，故选 A 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 495 2945233 20 3?， 【解析】 133612 21 1 2 1 21C ( ) Cr rr r rrT x xx
14、 ? ?， 3602r?，解得： 4r? ，代入得常数项为 495 14该程序执行的是 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 91 3 2 4 8 1 0 2 1 3 2 4 8 1 0 4 5S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15由已知： 22| | | |b bc bF M M Na a a? ? ?， ，由 | | | |FM MN? 知： 22bc baa? ， 232 3c b e? ， 162211()3 3 2 2bcA H A O A B A C A O ? ? ? ?u u ur u u ur u uur u u ur u u urg ，又
15、 222 4 0b b c? ? ? ，代入得： AH AO?uuur uuurg 22 21 4 2 1 (4 )3 2 2 6b b b bb? ? ? ?，又 222 4 0c b b? ? ?，所以 02b? ，代入得 AH AOuuur uuurg 的取值范围为 20 3?， 三、解答题（解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤） 17（ ）证明：因为 1 23nnaa? ?，所以 1 3 2( 3)nnaa? ? ? ?， 而 1 1a? ，故数列 3na? 是首项为 4，公比为 2的等比数列 （ ）解：由（ ）得数列 3na? 是首项为 4，公比为 2的等比数列， - 9 - 即
16、 132nna ? ，因此 123nna ? 所以 1(2 1)2nnbn? ， 2 3 11 2 3 2 ( 2 1 ) 2 nnSn ? ? ? ? ? ? ? ?， 3 4 22 1 2 3 2 ( 2 1 ) 2 nn ? ? ? ? ? ? ? ?， ? 有 2 3 1 22 2 ( 2 2 ) ( 2 1 ) 2nnnSn? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 2(2 3) 2 12nnSn ? ? ? 18解：（ ） 5 1 6 0 6 2 6 3 7 1 7 4 8 1 8 2 688x ? ? ? ? ? ? ?甲 ， 5 8 6 2 6 4 6 6 6 9 7 1 7 3
17、8 1 688x ? ? ? ? ? ? ?乙 ， 2 2 2 2 2 2 2 22 ( 5 1 6 8 ) (6 0 6 8 ) (6 2 6 8 ) (6 3 6 8 ) (7 1 6 8 ) (7 4 6 8 ) ( 8 1 6 8 ) ( 8 2 6 8 )8s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?甲 103? ， 2 2 2 2 2 2 2 22 ( 5 8 6 8 ) (6 2 6 8 ) (6 4 6 8 ) (6 6 6 8 ) (6 9 6 8 ) (7 1 6 8 ) (7 3 6 8 ) ( 8 1 6 8 )8s ? ? ? ? ? ? ? ? ?
18、 ? ? ? ? ? ?乙 45? ， 所以乙组的成绩更稳定 （ ）由题意知 ? 服从参数为 3， 3， 7的超几何分布，即 (3 3 7)H? ， ， ， ? 的取值可能为： 0， 1， 2， 3， 3437C 4( 0) C 35P ? ? ? ?，214337CC 18( 1) C 35P ? ? ? ?， 124337CC 12( 2) C 35P ? ? ? ?，3337C 1( 3) C 35P ? ? ? ? ， ? 的分布列为： ? 0 1 2 3 - 10 - P 4351835 1235 135 ? 的数学期望： 3 3 9() 77E ? ? 19（ ）证 明：在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D? 中， 因为 11M N A C A D， 分 别 为 ， 的 中 点，所以 MN
