1、 1 河北省 2018 届高三数学下学期开学试题（文） 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 ? ?2| 2 0A x Z x x? ? ? ?，集合 ? ?1,0,1B? ，则 AB? （ ） A ?1? B ? ?0,1 C ? ?0,1,2 D ? ?1,0,1,2? 2.若 (1 ) 0z i i? ? ? （ i 为虚数单位），则复数 z? （ ） A 1122i? B 1122i? C 1122i? D 1122i? 3.一次数学考试中， 2 位同学各自在
2、第 22 题和第 23 题中任选一题作答，则第 22 题和第 23题都有同学选答的概率为（ ） A 14 B 13 C 12 D 34 4.已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 且 2 ， nS ， na 成等差数列，则 17S? （ ） A 0 B 2 C 2? D 34 5.已知实数 x ， y 满足条件 2 4,1,2 2,xyxyxy?则 z x y? 的最小值为（ ） A 43 B 4 C 2 D 3 6.若存在非零的实数 a ，使得 ( ) ( )f x f a x?对定义域上任意的 x 恒成立，则函数 ()fx可能是（ ） A 2( ) 2 1f x x x? ? ? B
3、 2( ) 1f x x? C ( ) 2xfx? D ( ) 2 1f x x? 7.函数 3sin()| | 1xxfx x? ?的部分图像大致是（ ） 8.执行如图所示的程序框图，若输入 1m? ， 3n? ，输出的 1.75x? ，则空白判断框内应2 填的条件为（ ） A | | 1mn? B | | 0.5mn? C | | 0.2mn? D | | 0.1mn? 9.将 ( ) 2 sin( )4f x x ?（ 0? ）的图象向右平移 4? 个单位，得到 ()y gx? 的图象，若 ()y gx? 在 ,64?上为 增函数，则 ? 的最大值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4
4、 10.已知 1F ， 2F 分别是椭圆 22 1( 0xy abab? ? ? ? ）的左、右焦点， P 为椭圆上一点，且11( ) 0PF OF OP? ? ?（ O 为坐标原点），若 12| | 2 | |PF PF? ，则椭圆的离心率为（ ） A 63? B 632? C 65? D 652? 11.如图，四棱锥 P ABCD? 中， PAB? 与 PBC? 是正三角形，平面 PAB? 平面 PBC ，AC BD? ，则下列结论不一定成立的是（ ） A PB AC? B PD? 平面 ABCD C AC PD? D平面 PBD? 平面ABCD 12.已知函数 2( ) (3 2 )xf
5、 x e x a x? ? ? ?在区间 ( 1,0)? 有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1( 1, )e? B ( 1, )3e? C 3( , 1)e? D 1( 1, )3e? 第 卷（共 90 分） 3 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若向量 (2,4)AB? ， ( 2,2 )BC n? ， (0,2)AC? ，则 n? 14.已知等比数列 ?na 的各项均为正数， nS 是其前 n 项和，且满足 3 1 22 8 3S a a?，4 16a? ，则 4S? 15.过双曲线 C ： 221xyab?的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的
6、一条渐近线相交于 A 若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A 、 O 两点（ O 为坐标原点），则双曲线 C 的方程为 16.我国古代数学名著九章算术对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩 形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 1 1 1ABC ABC? ，其中 AC BC? ，若 1 2AA AB?，当“阳马”即四棱锥 11B AACC? 体积最大时，“堑堵”即三棱柱 1 1 1ABC ABC? 外接球的体积为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解
7、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已知 ABC? 内接于单位圆，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且2 co s co s co sa A c B b C? （ 1）求 cosA 的值； （ 2）若 224bc?，求 ABC? 的面积 18.如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，且 60DAB? ? ? ， /EF AC ，2AD? ， 3EA ED EF? ? ? 4 （ 1）证明： AD BE? ； （ 2）若 5BE? ，求三棱锥 F ABD? 的体积 19.高考复习经过二轮 “见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训
8、练次数 x 与答题正确率 %y 的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如表数据： x 1 2 3 4 y 20 30 50 60 （ 1）求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测答题正确率是 100% 的强化训练次数（保留整数）； （ 2）若用3iiyx?（ 1,2,3,4i? ）表示统计数据的“强化均值”（保留整数），若“强化均值”的标准差在区间 0,2) 内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1221niiiniix y nxybx nx?， a y bx? ，样本数据 1x ， 2x ，?， nx 的标准差为21
9、()n iixxs n? ? 20.已知抛 物线 C ： 2 2y px? （ 0p? ）在第一象限内的点 (2,)Pt到焦点 F 的距离为 52 （ 1）若 1( ,0)2M? ，过点 M ， P 的直线 1l 与抛物线相交于另一点 Q ，求 |QFPF的值； （ 2）若直线 2l 与抛物线 C 相交于 A ， B 两点，与圆 M ： 22( ) 1x a y? ? ?相交于 D ， E 两点， O 为坐标原点， OA OB? ，试问：是否存在实数 a ，使得 |DE 的长为定值？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由 21.已知函数 ( ) ln 1af x x x? ? ?， aR
10、? 5 （ 1）若曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线与直线 10xy? ? ? 垂直，求函数 ()fx的极值； （ 2）设函数 1()g x x x? ，当 1a? 时，若区间 ? ?1,e 上存在 0x ，使得? ?00( ) ( ) 1g x m f x?，求实数 m 的取值范围（ e 为自然对数底数） 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2cos ,sinxy ? ?（ ? 为参数），在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐
11、标系中，曲线 2C 是圆心为 (3, )2? ，半径为 1 的圆 （ 1）求曲线 1C ， 2C 的直角坐标方程； （ 2）设 M 为曲线 1C 上的点， N 为曲线 2C 上的点，求 |MN 的取值范围 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 1( ) | |3f x x a?（ aR? ） （ 1）当 2a? 时，解不等式 1| | ( ) 13x f x? ? ?； （ 2）设不等式 1| | ( )3x f x x? ? ?的解集为 M ，若 11,32 M?，求实数 a 的取值范围 河北武邑中学 2017-2018 学年高三年级 数学 试题（文科）答案 一、选择题 6 1-5:DB
12、CBC 6-10:ABBBA 11、 12： BD 二、填空题 13. 1? 14.30 15. 2214 12xy? 16.823? 三、解答题 17.解：（ 1） 2 co s co s co sa A c B b C?， 2 s in c o s s in c o s s in c o sA A C B B C?， 2 s in c o s s in ( ) s inA A B C A? ? ?， 又 0 A ?， sin 0A? ，所以 2cos 1A? ，即 1cos 2A? （ 2）由（ 1）知 1cos 2A? ， 3sin 2A? ， 2sinaA? ， 2sin 3aA?，
13、由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A? ? ? ， 2 2 2 1bc b c a? ? ? ?， 1 1 3 3s in 12 2 2 4ABCS b c A? ? ? ? ? ? 18.解：（ 1）如图，取 AD 的中点 O ，连接 EO ， BO ， 因为 EA ED? ，所以 EO AD? ， 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AB AD? ， 因为 60DAB? ? ? ，所以 BO AD? 因为 BO EO O? ，所 以 AD? 平面 BEO ， 因为 BE? 平面 BEO ，所以 AD BE? （ 2）在 EAD? 中， 3EA ED?， 2AD? ，所以
14、 22 2E O A E A O? ? ? 因为 ABD? 是等边三角形，所以 2AB BD AD? ? ?， 3BO? 因为 5BE? ，所以 2 2 2EO OB BE?，所以 EO OB? 7 又因为 EO AD? ， AD OB O? ，所以 EO? 平面 ABCD ， 因为 /EF AC ， 11 2 3 322ABDS A D O B? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 1 1 6323 3 3F A B D E A B D A B DV V S E D? ? ? ? ? ? ? ? ? 19.解：（ 1）由所给数据计算得： 2.5x? ， 40y? ， 41 4 70iii x
15、 y xy? ?， 4 221 45ii xx? ?， 414 2214144iiiiix y x ybxx?， 5a y bx? ? ? ， 所求回归直线方程是 14 5yx?， 由 100 14 5x?，得 6.79x? 预测答题正确率是 100%的强化训练次数为 7 次 （ 2）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为 5,6,8,9，平均数是 7， “强化均值”的标准差是 2 2 2 2( 5 7 ) ( 6 7 ) ( 8 7 ) ( 9 7 ) 2 . 5 24s ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以这个班的强化训练有效 20.解：（ 1）点 (2,)Pt， 52 22p?，
16、解得 1p? ， 故抛物 线 C 的方程为 2 2yx? ，当 2x? 时， 2t? ， 1l 的方程为 4255yx?，联立 2 2yx? 可得， 18Qx ?， 又 1| 8QQF x?， 1| 2PPF x?，11| | 1821| | 422QFPF? （ 2）设直线 AB 的方程为 x ty m?，代入抛物线方程可得 2 2 2 0y ty m? ? ?， 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ，则 122y y t?， 12 2yy m? ， 由 OA OB? 得： 1 2 1 2( )( ) 0ty m ty m y y? ? ? ?，整理得 221 2 1 2
17、( 1 ) ( ) 0t y y tm y y m? ? ? ? ?， 将代入解得 2m? ，直线 l ： 2x ty?， 8 圆心到直线 l 的距离2| 2|1ad t? ? ， 22 2( 2)| | 2 1 1aDE t? ?， 显然当 2a? 时， | | 2DE? ， |DE 的长为定值 21.解：（ 1）221( ) ( 0 )a x af x xx x x? ? ? ?， 因为曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线与直线 10xy? ? ? 垂直， 所以 (1) 1f ? ，即 11a? ? ，解得 2a? 所以22( ) xfx x?，当 (0,2)x? 时，
18、 ( ) 0fx? ， ()fx在 (0,2) 上单调递减； 当 (2, )x? ? 时， ( ) 0fx? ， ()fx在 (2, )? 上单调递增； 当 2x? 时， ()fx取得极小值 2(2 ) ln 2 1 ln 22f ? ? ? ? （ 2）令 ? ?11( ) ( ) 1 ln mh x x m f x x m xx x x? ? ? ? ? ? ? ?， 则 ? ?2( 1) ( 1)( ) x m xhx x? ? ?，欲使在区间 ? ?1,e 上存在 0x ， 使得 00( ) ( )g x mf x? ， 只需在区间 ? ?1,e 上 ()hx 的最小值小于零，令 ( ) 0hx? 得， 1xm?或 1x? 当 1me? ，即 1me?时， ()hx 在 ? ?1,e 上单调递减，则 ()hx 的最小值为 ()he ， 所以 1( ) 0mh e e me? ?
