1、 1 河北定州 2016-2017 学年第二学期高三第 1 次月考数学试卷 一、选择题 1如图，设地球半径为 R，点 A、 B 在赤道上， O 为地心，点 C 在北纬 30的纬线（ O?为其圆心）上，且点 A、 C、 D、 O?、 O 共面，点 D、 ?、 O 共线 .若 ?90?AOB，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 （ ） A 46B 46?C 426?D 426?2若抛物线 y2=2px的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 p的值为（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 3 5名同学去听同时进行的 3 个名师讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个讲座 ，则不同的选择种数是（ ）
2、 A. 35B. 53C. 345 ? D. 45 4原命题“若 A B B，则 A B A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 4个 5 若集合 | 01xAxx? , 2 | 2 B x x x?,则 AB? （ ） A. |0 1xx? B. |0 1xx? C. |0 1xx? D. |0 1xx? 6一个由正数组成的等 比数列，它的前 4项和是前 2 项和的 5倍，则此数列的公比为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 7已知点 (3, 3)A ， O是坐标原点，点 ( , )Px y 的坐标满足303 2 00xyxyy? ?
3、? ? ，设 z为 OA 在 OP 上的投影，则 z=| OA | cos ,OA OP?的取值范围是（ ） A. 3, 3? B. 3,3? C. 3,3? D. 3, 3? 8直角坐标系中，点 )3,1( ?的极坐标可以是 2 A.)65,2( ?B. )611,2( ?C. )34,2( ?D. )35,2( ?9如图，平行四 边形 ABCD中， (2, 0 ), ( 3, 2 )A B A D? ? ?，则 BD AC? A 6? B 4 C 9 D 13 10下列四类函数中， 具有性质“对任意的 0?x ， 0?y ，函数 )(xf 满足 yxf )( = )(xyf ”的是（ ）
4、A指数函数 B对数函数 C一次函数 D余弦函数 11 如图，在四面体 ABCD中， EF、分别是棱 AD BC、的中点，则向量 EF与 AB、 CD的关系是（ ） A、1122EF AB CD?B、 -EF AB CD C、11-22EF AB CD?D、 -EF AB CD? 12点（ 3， 1）和（ -4， 6）在直线 3x-2y+a=0的两侧，则 a的范围是（ ） A a7或 a? 24 B.-7a24 C.a=-7或 a=24 D.以上都不对 二、填空题 13若实数 0x?，则4x x?的最小值是 _ _. 3 14 对于命题：如果 O 是线段 AB 上一点，则 | | | |OB O
5、A OA OB? ? ? ? 0；将它类比到平面 的情形是：若 O 是 ABC 内一点，有 O B C O C A O B AS O A S O B S O C? ? ? ? ? ? ? ? 0；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体 ABCD 内一点，则有 _. 15 如图，等腰直角三角形 ABC，点 G是 ABC?的重心，过点 G作直线与 ,CACB两边分别交于 ,MN两点，且 CM CA?， CN CB?，则 4?的最小值为 . 16己知 0a?， 0b?， 1c?，且 1ab?，则2 12( 2) 1a cab c? ? ? ? ?的最小值为 三、解答题 17已知函数 2( ) l
6、n ( 0 , 1 ).xf x a x x a a a? ? ? ? ? (1)求函数 ()fx在点 (0, (0)f处的切线方程； (2)求 函数 单调增区间； (3)若存在 12, 1,1xx?，使 得 12( ) ( ) 1(f x f x e e? ? ?是自然对数的底数），求实数 a的取值范围 . 18已知三个数成等差数列，其和为 21，若第二个数减去 1 ，第三个数加上 1，则三个数成等比数列 . 求原来的三个数 . 19 如图，三棱 柱 ABC A1B1C1的侧棱 AA1底面 ABC， ACB = 90， E是棱 CC1上动点， F是 AB中点， AC = 1， BC = 2，
7、 AA1 = 4. 4 FEABB1A1C1C（） 当 E是棱 CC1中点时，求证： CF平面 AEB1； （） 在棱 CC1上是否存在点 E，使得二面角 A EB1 B的余弦值是21717，若存在，求 CE的长，若不存在，请说明理由 . 20在如图所示的几何体中 EA平面 ABC， DB平面 ABC， AC BC，且 AC BC BD 2AE=2， M 是 AB 的中点 （）求证： CM EM ； （）求多面体 ABCDE的体积 （）求直线 DE 与平面 EMC 所成角的正 切值 21已知 ABC为锐角三角形， a， b， c分别为角 A， B， C所对的边，且 3 2 sina c A=。
8、 （ I）求角 C； （ II）当 23c=时，求 ABC面积的最大值 14323 已知圆 x2 y2 2ax 2ay 2a2 4a 0（ 0 a 4）的圆心为 C，直线 l： y x m （ 1）若 m 4，求直线 l被圆 C所截得弦长的最大 值； 5 （ 2）若直线 l是圆心下方的切线，当 a在 ? ?0,4的变化时，求 m的取值范围 24 已知点 C为圆 ? ?2 218xy? ? ?的圆心， P是圆上的动点，点Q在圆的半径 CP上，且有点 ? ?1,0A和 AP上的点 M，满足 0 , 2MQ AP AP AM? （ 1）当点 P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程； （ 2）若斜率为 k的
9、直线 l与圆221xy?相切，与（ 1）中所求点Q的轨迹交于不同的两点 ,FHO是坐标原点，且3445OF OH?时，求 k的取值范围 6 参考答案 ADBDA BBBCA 11 C 12 B 13 4 14 O B C D O A C D O A B D O A B CV O A V O B V O C V O D? ? ? ? ? ? ? ? 0 15 3 16 4 2 2? 17 (1) 1y? (2) 单调增区间为 (0, )?+ (3) 1(0, e, )ea?+因为函数 2( ) ln ( 0 , 1 )xf x a x x a a a? ? ? ?+， 所以 ( ) ln 2 l
10、nxf x a a x a? ?+， (0) 0f? ?， 又因为 (0) 1f ?，所以函数 ()fx在点 (0, (0)f处的切线方程为 1y? 由， ( ) ln 2 ln 2 ( 1 ) lnxxf x a a x a x a a? ? ? ? ?+ 因为当 0, 1aa?时，总有 ()fx?在 R上是增函数， 又 (0) 0f? ?，所以不等式 ? ? 0? ?的解集为 (0, )?+， 故函数 ()fx的单调增区间为 (0, )?+ 因为存在 12, 1,1xx?，使得 12( ) ( ) e 1f x f x?成立， 而当 1,1x?时， 1 2 m a x m in( ) (
11、) ( ) ( )f x f x f x f x， 所以只要 m ax m in( ) ( ) e 1f x f x 即可 又因为， ()fx?， 的变化情况如下表所示： x( ,0)? 0 (0, )?+ ()fx? + 减函数 极小值 增函数 所以 ()fx在 1,0?上是减函数，在 0,1上是增函数，所以当 1,1x?时， ?fx的最小值7 ? ? ? ?min 01f x f?， ?fx的最大值 ? ?maxfx为 (1) (0) e 1ff? ?1f ?和 ?f中的最大值 因为 x 11(1 ) ( 1 ) ( 1 l n ) ( 1 l n ) 2 l nf f a a a a a
12、aa? ? ? ? ? ? ? ?+ + +， 令，因为 221 2 1( ) 1 (1 ) 0ga a a a? ? ? ? ? ?+， 所以1( ) 2 lng a a aa? ? ?在 ? ?0,a? ?上是增函数 而 (1) 0g ?，故当 1a?时， ? ? 0ga?，即 (1) ( 1)ff?； 当 01a?时， ? ? 0ga?，即 (1) ( 1)? 所以， 当 1a?时，即 ln e 1aa?，函数 lny a a?在 (1, )a? ?上是增函数，解得 e；当a?时， ( 1) (0) e 1ff? ? ?，即1 ln e 1aa?，函数1 lnyaa?在 (0,1)?上是
13、减函数，解得10 ea? 综上可知，所求 a的取值范围为1(0, e, )ea?+ 18解：设原来的三个数为 x-d,x,x+d, 3分 由和为 21得 x=7 5分 , 又 7-d,6,8+d 成等比数列 ?d=4或 -5 10分 , 求得原来三个数为 3,7,11或 12,7,2. 12分 19（） 详见试题解析 ;（） 在棱 1CC上存在点 E使得二面角 A EB1 B 的余弦值是21717，且1CE?（）根据直线平行平面的判定定理，需要在平面 AEB1内找一条与 CF平行的直线 .根据题设，可 取 1AB的中点 G，通过证明四边形 FGEC是平行四边形来证明 /CF EG，从而使问题得
14、证； （）由于1,CACB CC两两垂直，故可以 为坐标原点，射线 1,CACB CC为 xyz轴的正半轴建立空间坐标系，利用空间向量求解 . 试题解析：（）证明：取 1AB的中点 G，联结 ,EGFG ,FG分别是棱 AB、 1AB的中点， 111/ , 2FG BB FG BB?8 又 11/ , ,2FG EC EC C C FG EC? 四边形 FGEC是平行四边形， /CF EG ?平面 1AB， EG?平面 1ABE /CF平面 1ABE （）解：由于 1,CACB CC两两垂直，故可以 为坐标原点，射线 1,CACB CC为 xyz轴的正半轴建立空间坐标系如图所示 则 1(0 ,
15、 0 , 0 ), (1, 0 , 0 ), (0 , 2 , 4 )C A B 设 (0 ,0, )(0 4)E m m?，平面 1AEB的法向量 1 ( , , )n x y z?， 则 1 ( 1, 2 , 4 ), ( 1, 0 , )A B A E m? ? ? ? 由 1 1 1,AB n AE n? 得2400x y zx mz? ? ? ? ? ?,取 2z?得： 1 (2 , 4,2)n m m? CA?平面 11CCBB 是平面 1EBB的法向量，则平面 1EBB的法向量 2 (1,0,0)n CA? 二面角 1A EB B?的平面角的余弦值为21717 12 22122
16、1 7 2174 ( 4 ) 4nn mnnmm? ? ? ? 解之得 1m? 在棱 1CC上存在点 E使得二面角 A EB1 B的余弦值是21717，且 1CE?. 20见解析 【解析】解 :（ I）证明： ? AC BC? ， M 是 AB 的中点， ? CM AB? 又 ? EA? 平面 ABC ， ?CM EM? E D CMA B 9 （ II）解：连结 MD ，设 AE a? ，则 2BD BC AC a? ? ?， 在直角梯形 EABD 中， 22AB a? ， M 是 AB 的中点 ? 3DE a? ， 3EM a? ， 6MD a? ? DM EM? ?CM? 平面 EMD
17、， ?CM DM? ， ?DM? 平面 EMC ， ? DEM? 是直线 DE 和平面 EMC 所成的角 在 Rt EMD 中， 6MD a? ， 3EM a? ， tan 2MDDEM EM? ? ? 所以直线 DE 与平面 EMC 所成的角的正切值为 2 21（ I） 3C p=； （ II） 33 （ I） 利用正弦定理化简等式 3 2 sina c A=，可以得到3sin 2C=，再利用 ABC 为锐角三角 形，解出 3C p=； （ II）利用余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C= + -，得到 221 2 2a b a b a b a b a b= + - ? =，再代入面积公式1 sin2S ab C=，可以得出 S的最大值 试题解析：（ I）由正弦定理得 sin sinacAC=，将已知代入得3sin 2C=，因为 ABC 为锐角三角形，所以0 2C p, 所以 3=（ II）由余弦定理得 2 2 2 2 cosc a b ab C= + -， 即 2212 a b ab= + -， 又 2a b ab ab ab+ ? =，所以 12ab，所以 ABC的面积13sin 3 324S a b C a b= = ?，当且仅当 ab=，即 ABC为等边三角形时，
