1、 1 河北省衡水中学 2017届高三下学期二调考试 理科数学 第 卷 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 | 2A x x?， | 2 1, xB y y x A? ? ? ?，则 AB? （ ） A ( ,3)? B 2,3) C ( ,2)? D (1,2)? 2.已知复数 1zi? （ i 为虚数单位），则 22 zz? 的共轭复数的虚部是（ ） A 13i? B 13i? C 13i? D 13i? 3.有一长、宽分别为 50m 、 30m 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出
2、现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出 15 2m ，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ） A 34 B 38 C 316? D 12 332? 4.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长五尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 ,ab分别为 5、 2，则输出的 n? （ ） A 2 B 3 C. 4 D 5 5.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 2 ( 2)nnS a n? ? ?，且 1 2a? ，则 20S? （ ） A 1921?
3、B 2122? C. 1921? D 2122? 6.已知圆 C ： 224xy?，点 P 为直线 2 9 0xy? ? ? 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 ,PAPB ，,AB为切点，则直线 AB 经过定点（ ） A 48( , )99 B 24( , )99 C. (2,0) D (9,0) 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 2 A 43 B 53 C. 63 D 83 8. 212( ) lo g ( 2 1)f x ax x? ? ?， 2 2 sin (2 )6()sin 3 co sxgxxx? ? ，若不论 2x 取何值，对 12( ) ( )f
4、x g x? 任意1 73 , 10 2x ?总是恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A 7( , )10? B 4( , )5? C. 63( , )80? ? D 40 4( , )49 5? 9.如图，三个边长为 2的等边三角形有一条边在同一直线上，边 33BC 上有 10 个不同的点1 2 10,P P P ，记 2 ( 1, 2 , ,1 0 )iim A B A P i? ? ?，则 1 2 10m m m? ? ? 的值为（ ） A 153 B 45 C. 603 D 180 10.已知函数 ()fx是定义在 R 上的单调函数，且对任意的 ,xy R? 都有 ( ) ( ) (
5、)f x y f x f y? ? ?，若动点 ( , )Pxy 满足等式 22( 2 2 ) ( 8 3 ) 0f x x f y y? ? ? ? ? ?，则 xy? 的最大值为（ ） A 2 6 5? B -5 C. 2 6 5? D 5 11.数列 na 满足1 43a?， *1 ( 1)( )n n na a a n N? ? ? ?，且121 1 1nnS a a a? ? ? ?，则 nS 的整数部分3 的所有可能值构成的集合是（ ） A 0,1,2 B 0,1,2,3 C. 1,2 D 0,2 12.等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 2 2 ( 0)y px p?， O 为
6、抛物线的顶点， OA OB? ， AOB?的面积是 16，抛物线的焦点为 F ，若 M 是抛物线上的动点，则 |OMMF的最大值为（ ） A 33 B 63 C. 233 D 263 第 卷 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.某校今年计划招聘女教师 x 人，男教师 y 人，若 ,xy满足 2526xyxyx?，则该学校今年计划招聘教师最多 人 14.已知函数 2( ) 2 sin ( ) 12f x x x x? ? ?的两个零点分别为 , ( )mnm n? ，则21nm x dx? 15.已知四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的表面上， 5AB AC
7、?， 8BC? ， AD? 底面 ABC ，G 为 ABC? 的重心，且直线 DG 与底面 ABC 所成角的正切值为 12 ，则球 O 的表面积为 16.已知是定义在 R 上的函数，且满足 (4) 0f ? ；曲线 ( 1)y f x?关于点 (1,0)? 对称；当( 4,0)x? 时， 2 |( ) lo g ( 1)xxxf x e me? ? ? ?，若 ()y f x? 在 4,4x? 上有 5个零点，则实数 m的取值范围为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知向量 ( 3 sin ,1)mx? ， 2(cos ,
8、cos 1)n x x?，设函数 ()f x m n b? ? ? （ 1）若函数 ()fx的图象关于直线 6x ? 对称，且 0,3? 时，求函数 ()fx的单调增区间； （ 2）在（ 1）的条件下，当 70, 12x ? 时，函数 ()fx有且只有一 个零点，求实数 b 的取值范围 18. 如图，已知四棱锥 S ABCD? 中， SA? 平面 ABCD ， 90ABC BCD? ? ? ?，且2SA AB BC CD? ? ?， E 是边 SB 的中点 4 （ 1）求证： /CE 平面 SAD ； （ 2）求二面角 D EC B?的余弦值大小 19. 某公司准备将 1000万元资金投入到市
9、环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为 1? （万元）的概率分布列如表所示： 且 1? 的期望 1( ) 120E? ? ；若投资乙项目一年后可获得的利润 2? （万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将 根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为 (0 1)pp?和 1p? ，乙项目产品价格一年内调整次数 X（次）与 2? 的关系如表所示： （ 1）求 ,mn的值； （ 2）求 2? 的分布列 ； （ 3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当 p 在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资
10、乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率 =年均利润 /投资总额 100%） 20. 如图，曲线 ? 由曲线 221 : 1 ( 0 , 0 )xyC a b yab? ? ? ? ?和曲线5 222 22: 1 ( 0 , 0 , 0 )xyC a b yab? ? ? ? ?组成，其中点 12,FF为曲线 1C 所在圆锥曲线的焦点，点 34,FF为曲线 2C 所在圆锥曲线的焦点 （ 1）若 23(2,0), ( 6,0)FF? ，求曲线 ? 的方程； （ 2）如图，作直线 l 平行于曲线 2C 的渐近线，交曲线 1C 于点 ,AB，求证 ：弦 AB 的中点 M 必在曲线 2C 的另一条渐
11、近线上； （ 3）对于（ 1）中的曲线 ? ，若直线 1l 过点 4F 交曲线 1C 于点 ,CD，求 1CDF? 的面积的最大值 21. 设 (4 ) ln() 31x a xfx x? ?，曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线与直线 10xy? ? ? 垂直 （ 1）求 a 的值； （ 2）若对于任意的 1, )x? ? ， ( ) ( 1)f x m x?恒成立，求 m 的取值范围； （ 3）求证： *1ln ( 4 1 ) 1 6 ( )( 4 1 ) ( 4 3 )niin n Nii? ? ? 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
12、记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 cossinxy ? ?（ ? 为参数），曲线 2C 的参数方程 为cossinxayb? ? （ 0,ab? 为参数），在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l ? 与 12,CC各有一个交点，当 0? 时，这两个交点间的距离为 2，当 2? 时，这两个交点重合 6 （ 1）分别说明 12,CC是什么曲线，并求 a 与 b 的值； （ 2）设当 4? 时， l 与 12,CC的交点分别为 11,AB，当 4? ? 时， l 与 12,CC的交点分别为 22,AB，求直
13、线 1 2 1 2,AA BB 的极坐标方程 23.选修 4-5：不等式选讲 设 函数 ( ) | |, 0f x x a a? ? ? （ 1）证明： 1( ) ( ) 2f x f x? ? ?； （ 2）若不等式 1( ) (2 ) 2f x f x?的解集是非空集，求 a 的范围 7 试卷答案 1-12 DABCC AADDA BC 13. 10 14. 2? 15. 6349? 16. 42 3 ,1) ee? 17. 解：向量 ( 3 sin ,1)mx? ， (co s , co s 2 1)n x x?， 2( ) 3 s i n c o s c o s 1f x m n b
14、x x x b? ? ? ? ? ? ? ? ?3 1 3 3s i n 2 c o s 2 s i n ( 2 )2 2 2 6 2x x b x b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 1） 函数 ()fx图象关于直线 6x ? 对称， 2 ( )6 6 2k k Z? ? ? ? ? ? ?，解得： 3 1( )k k Z? ? ? ? ， 0,3? ， 1? ， 3( ) sin (2 )62f x x b? ? ? ?，由 2 2 22 6 2k x k? ? ? ? ? ? ?， 解得： ()36k x k k Z? ? ? ? ?， 所以函数 ()fx的单调增区间为 , (
15、)36k k k Z? ? ? （ 2）由（ 1）知 3( ) sin (2 )62f x x b? ? ? ?， 70, 12x ? ， 42 , 6 6 3x ? ? ? ， 2 , 6 6 2x ? ? ? ，即 0, 6x ? 时，函数 ()fx单调递增； 42 , 6 6 3x ? ? ? ，即 7 , 6 12x ? 时，函数 ()fx单调递减 又 (0) ( )3ff? ， 当 7( ) 0 ( )3 12ff? 或 ( ) 06f ? ? 时函数 ()fx有且只有一个零点 即 4 3 5sin sin3 2 6b? ? ? ?或 3102 b? ? ? ， 所以满足条件的 3
16、3 5( 2, 22b ? ? ? 18（ 1）证明：取 SA 中点 F ，连接 EF ， FD ， 8 E 是边 SB 的中点， /EF AB ，且 12EF AB? ， 又 90ABC BCD? ? ? ?， /AB CD ，又 2AB CD? ，即 12CD AB? /EF CD ，且EF CD? ， 四边形 EFDC 为平行四边形， /FD EC ，又 FD? 面 SAD ， CE? 面 SAD ， CE 面 SAD （ 2）解：在底面内过点 A 作直线 /AM BC ，则 AB AM? ，又 SA? 平面 ABCD ， 以 ,AB AM AS 所在直线分别为 ,xyz 轴 ，建立空间
17、直角坐标系，如图 设 2AB? ，则 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , (1 , 2 , 0 ) , (1 , 0 ,1 )A B C D E， 则 (0 , 2 , 0 ), ( 1, 0 ,1)B C B E? ? ?， ( 1, 0 , 0 ), ( 1, 2 ,1)C D C E? ? ? ? ?， 设面 BCE 的一个法向量为 ( , , )n x y z? ，则 00n BCn BE? ?， 即 200yxz? ? ?令 1x? ，则 1z? ， (1,0,1)n? 同理可求面 DEC 的一个法向量为 (0,1,2)m? ， 10c o s ,5| | |nmnm nm? ? ?， 由图可知，二面角 D EC B?是钝二面角， 所以其平面角的余弦值为 105? 9 19. 解：（ 1）由题意得： 0 .4 11 1 0 1 2 0 0 .4 1 7 0 1 2 0mnmn? ? ? ? ? ? ?， 得： 0.5, 0.1mn? （ 2） 2? 的可能取值为 41.2， 117.6
