1、 - 1 - 河南省豫南九校 2018 届高三数学下学期第一次联考试题 理 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ? ? ? ?22 1 0 , 1 0A x x B x x? ? ? ? ? ?， 则 AB?（ ） A ? ?1xx? B ? ?1xx? C 112xx? ? ?D 1 12xx?2.复数 ? ? 20183z i i i? ? ? (i 为虚数单位 ）， 则 z? （ ） A 2 B 3 C 1 D 2 3.2 7log cos 4?的值为 （
2、 ） A 1? B 12?C 12D 224.抛物线 2 0)2 (x p y p?的焦点坐标为 （ ） A ,02p?B 1,08p?C 0,2p?D 10,8p?5.将函数 sin4yx?的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变 ）， 再向右平移6?个单位，则所得函数图像的解析式为 （ ） A 5sin2 24xy ?B sin23xy ?C 5sin2 12xy ?D 7sin 212yx?6.某空间几何体的三视图如图所示，均为腰长为 1 的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为 （ ） - 2 - A 21? B 332?C 212?D 3 32?7.九章算 术中的“两鼠穿墙
3、”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题 .现执行该程序框图，输入的的 d 的 值为 33， 则输出的 i 的值为 （ ） A 4 B 5 C 6 D 7 8. 已知直三棱拄 1 1 1ABC ABC? 中， 1120 , 2 1ABC AB BC C C? ? ? ? ? ?， 则异面直线 1AB 与 1BC所成角的余弦值为 （ ） A 32B 155C 105D 339.已知两定点 ? ?1,0A? 和 ? ?1,0B ，动点 ? ?,Pxy 在直线 :3l y x? 上移动，椭圆 C 以 ,AB为
4、焦点且经 过点 P ，则椭圆 C 的离心率的最大值为 （ ） A 55B 105C 255D 210510.已知 ABC? 的三个内角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ， 若 2sin 126A ?，且 2a? ， 则ABC? 的面积的最大值为 （ ） A 3 B 33C 32D 23 - 3 - 11.在 1220182017axx?的展开式中， 5x 项的系数等于 264， 则 ? ?0 2a xe x dx?等于 （ ） A 2 3e? B 2 4e? C 1e? D 2e? 12.已知实数 ,xy满足 ? ? ? ?3 ln 2 3 ln 2 3 5x y x y x
5、 y? ? ? ? ? ? ?， 则 （ ） A 125B 145C 167D 187第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知实数 ,xy满足 1, 3 0,2 2 0,xxyxy? ? ? ? ?则 z x y? 的最大值为 14.已知向量 ,ab满足 ? ?2, 3a a b a? ? ? ?， 则向量 b 在 a 方向上的投影为 15. 已知直线 (2 )2 0,ax by a b? ? ? ? 0过圆 22 4 2 1 0x y x y? ? ? ? ?的 圆心 ， 则 4121ab?的最小值为 16.下列结论： 若 00x
6、y?, ，则 “ 2 2 2x y xy? ”成立的一个充分不必要条件是 “ 2x? ，且 1y? ”； 存在 1, 0ax?， 使得 logx aax? ； 若 ?fx在 ? ?,ab 上连续且 ? ? 0ba f x dx?，则 ?fx在 ? ?,ab 上恒正； 在锐角 ABC? 中，若 ? ?s in 1 2 c o s 2 s in c o s c o s s inB C A C A C? ? ?，则必有 2AB? ； 平面上的动点 P 到定点 ? ?1,0F 的距离比 P 到 y 轴的距离大 1 的点 P 的轨迹方程为 2 4yx? . 其中正确结论的序号为 (填写所有正确的结论序号
7、） 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 设正项等比数列 ?na ， 4 81a? ，且 23,aa的等差中项为 ? ?1232 aa?. （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）若 3 2 1lognnba? ，数列 ?nb 的前 n 项和为 nS ，数列 ?nc 满足 141n nc S? ?， nT 为数列 ?nc的前 n 项和，若 nTn? 恒成立，求 ? 的取值范围 . - 4 - 18. 四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为矩形， 2 2 ,A B B C P A P B? ? ?， .侧面 PAB?
8、 底面ABCD . （ 1）证明： PC BD? ； （ 2）设 BD 与平面 PAD 所成的角为 45? ，求二面角 B PC D?的余弦值 . 19.某地区某农产品近几年的产 量 统计如下表 : （ 1） 根据表中数据，建立 y 关于 x 的线性回归方程 y bt a?； （ 2） 若近几年该农产品每千克的价格 v (单位 :元）与年产量 y 满足的函数关系式为4.5 0.3vy? ， 且每年该农产品都能售完 . 根据 （ 1） 中所建立的回 归 方程 预测 该地区 ? ?2018 7t? 年该农产品的产量 ； 当 ? ?17tt? 为何值时，销售额 S 最大？ 附：对于一组数据 ? ?
9、? ? ? ?1 1 2 2, , , , , ,nnt y t y t y，其 回归直线 y bt a?的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ? ? ? ?121niiiniit t y ybtt?， a y bt? . 20.已知点 ? ?1 2,0F ?，圆 ? ?2 22 : 2 16F x y? ? ?，点 M 是圆上一动点， 1MF 的垂直平分线与线段 2MF 交于点 N . （ 1） 求点 N 的轨迹方程； （ 2） 设点 N 的轨迹为曲线 E ，过点 ? ?0,1P 且斜率不为 0 的直线 l 与 E 交于 ,AB两点，点 B 关- 5 - 于 y 轴的对称点为 B? ，证明直线
10、 AB? 过定点，并求 PAB? 面积的最大值 . 21.设函数 ? ? sinxf x e a x b? ? ?. （ 1） 当 ? ?1, 0,ax? ? ? 时， ? ? 0fx? 恒成立，求 b 的范围； （ 2） 若 ?fx在 0x? 处的切 线 为 10xy? ? ? ， 求 ab、 的值 .并证明当 ? ?0,x? ? )时，? ? lnf x x? . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为312132xtyt? ? ? ?（ t 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正
11、半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 24cos3?. （ 1） 求圆 C 的直角坐标方程； （ 2） 若 ? ?,Pxy 是直线 l 与圆面 24cos3?的公共点， 求 3xy? 的取值范围 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知 ,xyz 均为实数 . （ 1） 求证： 4 3 21 2 2x x x? ? ? ； （ 2） 若 2 3 6x y z? ? ? ， 求 2 2 2x y z?的最小值 . - 6 - 试卷答案 一、选择题 1-5: DCBBB 6-10: ACCAB 11、 12： AC 二、填空题 13. 1 14. 1215.9416. 三、解答题 17.
12、 （ 1） 设等比数列 ?na 的公比为 ? ?0qq? ， 由题意 ， 得 ? ?34121 1 1 1813a a qa q a q a a q? ? ? ? ?解得 1 33aq?所以 11 3nnna aq ? （ 2） 由 （ 1） 得 213log 3 2 1nnbn? ? ?， ? ? ? ?1 21 2 122nn nnn b bSn? ? ? ? 21 1 1 14 1 2 2 1 2 1nc n n n? ? ? ? ?， 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13、 ? ? ? ? ? ? ? ?若21n nTnn ?恒成立，则 ? ?*121nNn? ?恒成立， 则max121n? ?， 所以 13? . 18.解：（ 1）证法一：设 AB 中点为 O ，连接 PO ， 由已知 PA PB? ，所以 PO AB? ， 而平面 PAB? 平面 ABCD ，交线为 AB 故 PO? 平面 ABCD - 7 - 以 O 为原点 ， OP 为 z 轴， OB 为 y 轴，如图建立空间直角坐标系 ， 并设 POh? ， 则 ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 0 , , 0 ,1 , 0 , 2 ,1 , 0 , 2 , 1 , 0P h B C D ? 所以
14、 ? ? ? ?2 ,1, , 2 , 2 , 0P C h B D? ? ? ? 0PC BD?，所以 PC BD? . 证法二：设 AB 中点为 O ，连接 PO ，由已知 PA PB? ，所以 PO AB? ， 而平面 PAB? 平面 ABCD ，交线为 AB 故 PO? 平面 ABCD ， 从而 BD PO? 在矩形 ABCD 中 ， 连接 CO ， 设 CO 与 BD 交于 M ， 则由 :CD CB BC BO? 知 BCD OBC?， 所以 BCO CDB? ? 所以 90B C M C B M C D B C B M? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故 BD CO? 由 知
15、 BD? 平面 PCO 所以 PC BD? . （ 2）由 AD AB? ，平面 PAB? 平面 ABCD ， 交线为 AB ， 可得 AD? 平面 PAB ， 所以 平面 PAB? 平面 PAD ， 交线为 PA 过 B 作 BH PA? ， 垂 足为 H ， 则 BH? 平面 PAD BD 与平面 PAD 所成的角即为角 BDH? 所以 22 63B H B D? ? ? ? 从而三角形 PAB 为等边三角形， 3PO? （也可以用向量法求出 PO ， 设 ? ?0,0,Ph，则 ? ? ? ? ? ?0 , 1, 0 , 0 ,1, 0 , 2 , 1, 0A B D?，可求得平面PAD
16、 的一个法向量为 ? ?0, , 1ph?，而 ? ?2, 2,0BD ?，由 cos , sin 45p BD ?可解得 3h? ） - 8 - 设平面 BPC 的一个法向量为 m ，则 00m BPm BC? ?， ? ? ? ?0 , 1, 3 , 2 , 0 , 0B P B C? ? ?， 可取 ?0, 3,1m? 设平面 DPC 的一个法向量为 n ，则 00n DPn DC? ?， ? ? ? ?2 ,1, 3 , 0 , 2 , 0D P D C? ? ?，可取 ? ?3, , 2n ? ? ? 于是 10cos ,10mn ?， 故二面角 B PC D?的余弦值为 1010?
17、. 19.解： （ 1） 由题， 1 2 3 4 5 6 3 .56t ? ? ? ? ?， 6 .6 6 .7 7 7 .1 7 .2 7 .4 76y ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6 1 2 . 5 0 . 4 1 . 5 0 . 3 0 0 . 5 0 . 1 1 . 5 0 . 2 2 . 5 0 . 4 2 . 8iii t t y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ?6 2 222 2 2 21 2 .5 1 .5 0 .5 0 .5 1 .5 2 .5 1 7 .5
18、ii tt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 2.8 0.1617.5b?，又 a y bt? ， 得 7 0.16 3.5 6.44a ? ? ? ?， 所以 y 关于 t 的线性回归方程为 0.16 6.44yt?. （ 2） 由 （ 1） 知 0.16 6.44yt?， 当 7t? 时 ， 0.16 7 6.44 7.56y ? ? ? ?， 即 2018 年该农产品的产量为 7. 56 万吨 . 当年产量为 y 时，销售额 ? ? ? ?3 2 34 .5 0 .3 1 0 0 .3 4 .5 1 0S y y y y? ? ? ? ? ? ?(万元）， 当 7.5y? 时，函数 S 取得最大值， 又因 ? ?6 .6 , 6 .7 , 7 , 7 .1, 7 .2 , 7 .4 , 7 .5 6y ? ， 计算得当 7.56y? ，即 7t? 时， 即 2018 年销售额最大 . 20.解： （ 1） 由已知得： 1NF NM? ， 所以 1 2 2 4N F N F M N N F? ? ? ? 又 12 22FF? ,所以点 N 的轨迹是以 12,FF为焦点，长轴长等于 4 的椭圆， 所以 点 N 轨迹方程
