1、 - 1 - 湖北省百所重点校 2018 届高三数学联合考试试题 理 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知函数 ()fx的图象如图所示，设集合 | ( ) 0A x f x?， 2 | 4B x x?，则 AB?（ ） A ( 2, 1) (0,2)? B (1,1)? C ( 2, 1) (1,2)? D ( ,3)? 2.曲线 4siny x x? 在 43x ? 处的切线的斜率为（ ） A -2 B -1 C 0 D 1 3.下列命题中，为真命题的是（ ） A (
2、0, )x? ? ? ， 2 1x? B (1, )x? ? ? ， lgxx? C (0, )a? ? ? ， 2aa? D (0, )a? ? ? ， 2 1xa?对 xR? 恒成立 4.下列函数中，定义域与值域相同的是（ ） A 1yx? B lnyx? C. 131xy? ?D 11xy x? ? 5.若将函数 ()fx的图象向左平移 1 个单位长度后得到 ()gx 的图象，则称 ()gx 为 ()fx的单位间隔函数，那么，函数 ( ) sin 2xfx ? 的单位间隔函数为（ ） A ( ) sin( 1)2g x x? B ( ) cos 2xgx ? C. 1( ) sin( )
3、22g x x? D ( ) cos 2xgx ? 6.函数 2( ) 6 2 xf x x x e? ? ?的极值点所在区间为（ ） A (0,1) B (1,0)? C. (1,2) D ( 2, 1)? 7.某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销量 y （万件）与广告费 x （万元）之间的函数关系为 31 ( 0)2xyxx? ? ? .已知生产此产品的年固定投入为 4 万- 2 - 元，每生产 1 万件此产品仍需再投入 30 万元，且能全部销售完 . 若每件甲产品售价（元）定为：“平均每件甲产品生产成本的 150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的 50%”之和
4、，则当广告费为 1 万元时，该企业甲产品的年利润为（ ） A 30.5 万元 B 31.5 万元 C.32.5 万元 D 33.5 万元 8.“ 1a? ”是“ (1, )x? ? ? ， ln( 1)x x a? ? ? ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D既不充分也不必要条件 9.若对任意 xR? 都有 ( ) 2 ( ) 3 c o s s inf x f x x x? ? ? ?，则函数 ()fx的图象的对称轴方程为（ ） A ()4x k x Z? ? ? B ()4x k x Z? ? ? C. ()6x k x Z? ? ? D ()6x k x Z
5、? ? ? 10.已知定义在 R 上的函数 ()fx的周期为 6，当 3,3)x? 时， 1( ) ( ) 12 xf x x? ? ?，则22( lo g 3) (lo g 1 2 )ff? ? ?（ ） A 373 B 403 C. 433 D 463 11.函数 1( ) | | (tan )tanf x x x x?， ( ,0) (0 , )22x ? 的图象为（ ） A B C. D 12.定义在 0, )2? 上的可导函数 ()fx的导数为 ()fx，且 ( ) co s ( ) sin 0f x x f x x?，- 3 - (0) 0f ? ，则下列判断中，一定正确的是（ ）
6、 A ( ) 2 ( )63ff? B ( ) 2 ( )43ff? C. (ln2) 0f ? D ( ) 2 ( )64ff? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数 4( ) ( 1)( )f x x x a x? ? ?为 R 上的偶函数，则 a? 14.若 2 tan tan 420? ? ，则 tan( )3? 15.若函数 3323 1 , 0 ,() 3 , 0x x a xfx x x a x? ? ? ? ? ? ? ? ?恰有 3 个零点，则 a 的取值范围为 16.如图，多边形 ABCEFGD 由一个矩形
7、ABCD 和一个去掉一个角的正方形组成，4AD EF?， 3CE DG?， 现有距离为 2 且与边 AB 平行的两条直 线 12ll， ，截取该多边形所得图形（阴影部分）的面积记为 ()St ，其中 t 表示 1l 与 AB 间的距离，当 34t? 时，()St? 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知 3sin3?， ( , )2? ， ( ,0)2? ， 给出下列两个命题： 命题 :p 若 4cos 5? ，则 4 3 3 6sin ( )15? ?. 命题 :q 若 3tan 4? ，则 cos |cos |? . -
8、 4 - （ 1）判断命题 p 、命题 q 的真假，并说明理由； （ 2）判断命题 p? ， pq? ， pq? 的真假 . 18. 已知函数 2 14( ) ( 4 ) ( 0 )3f x a x ax? ? ? ?. （ 1）当 1a? 时，计算定积分 21 ()f x dx?； （ 2）求 ()fx的单调区间和极值 . 19. 已知函数 ( ) sin( )f x A x b? ? ?( 0 , 2 4 ,| | )2A ? ? ? ?. （ 1）求函数 ()fx的解析式； （ 2）求 ()fx的图象的对称中心及 (2)fx的 递减区间 . 20. 已知函数 ( ) sin 2 2f x
9、 x?， 2( ) ( ) 2 3 c o s 3g x f x x? ? ?. （ 1）求角 ? 满足 1tan 3tan? ?，求 ()f? ； （ 2）若圆心角为 ? 半径为 2 的扇形的弧长为 l ，且 g( ) 2? ? ， (0, )? ，求 l ； （ 3）若函数 g()x 的最大值与 2( ) 2 5 (0 2 )p x a x x x? ? ? ? ?的最小值相等，求 a . 21. 已知函数 32( ) 3f x x x?. （ 1）证明：函数 ( ) ( ) lng x f x x?在区间 1( ,1)2 与 (2 2,4) 上均有零点；（提示 ln2 0.69? ） （
10、 2）若关于 x 的方程 ( 4 )f x x m? ? ?存在非负实数解，求 m 的取值范围 . 22.已知函数 2( ) ( 1)( 2) xf x x x e? ? ?2( 2)xx? ? ? . （ 1）求曲线 ()y f x? 在点 (0, (0)f 处的切线方程； （ 2）证明： (0,1)k? ， ( ) ( 2)f x x kx k? ? ?对 xR? 恒成立 . - 5 - 高三数学试卷参考答案（理科） 一、选择题 1-5: CBDDB 6-10: ABBAC 11、 12： CA 二、填空题 13. -1 14. 33? 15.( 1,0) 1,4)? 16. 2 4 2
11、2 4tt? ? ? 三、解答题 17.解：（ 1） 3sin 3? ， ( , )2? ， 6cos 3? . 4cos 5? ， ( ,0)2? ， 3sin 5? . sin ( ) sin co s? ? ? ? ? ? 4 3 3 6co s sin 15? ? . 故命题 p 为真命题 . 若 3tan 4? ， ( ,0)2? ，则 4cos 5? ， 6|cos |= 3? ， 2224|cos | ( )35? ? 1625? ， cos |cos |? ， 故命题 q 为假命题 . （ 2）由（ 1）知 p? 为假命题， pq? 为假命题， pq? 为真命题 . 18.解：
12、（ 1）当 1a? 时， 22 231121 4 4 4( ) ( 4 ) ( l n ) 13 3 3f x d x x d x x x xx? ? ? ? ? ? 344(2 1) ln 2 ln 133? ? ? ? ?8 ln2? . （ 2）21( ) (8 )f x a x x? ? ?32(8 1)axx ?， 当 0a? 时，令 ( ) 0fx? 得 12x? ；令 ( ) 0fx? 得 12x? 且 0x? . - 6 - ()fx的增区间为 1( , )2? ，减区间为 ( ,0)? ， 1(0, )2 . ()fx的极小值为 14( ) 323fa?， ()fx无极大值
13、. 当 0a? 时，令 ( ) 0fx? 得 12x? 且 0x? ；令 ( ) 0fx? 得 12x? . ()fx的减区间为 1( , )2? ，增区间为 ( ,0)? ， 1(0, )2 . ()fx的极大值为 14( ) 323fa?， ()fx无极小值 . 19.解：（ 1）由图可知， 31 12b ? ? ， 1 ( 3) 22A ?， (0) 2 sin 1 2f ? ? ? ?， 1sin 2? ， |2? ， 6? . (1) 2 sin ( ) 1 06f ? ? ? ?， 1sin( )62?， 24?， ? . ( ) 2 sin ( ) 16f x x ? ? ?.
14、（ 2）令 ()6x k k Z? ? ?得 1 ()6x k k Z? ? ? ， 则 ()fx的图象的对称中心为 1( , 1)( )6k k Z? ? ?. (2 ) 2 sin (2 ) 16f x x ? ? ?， 令 2226kx? ? ? 32 ( )2k k Z? ? ?得 15()36k x k k Z? ? ? ? ?， 故 (2)fx的递减区间为 15 , ( )36k k k Z? ? ?. 20.解：（ 1） 1tan tan? ?sin coscos sin? 12 3sin co s sin 2? ? ? ? ?， 2sin2 3? ，8()3f ? ? . （
15、2） ( ) sin 2 2g x x? ? ? 23 cos 3x? sin 2 3 co s 2 2xx? ? ? ?2 2sin(2 )3x ?， ( ) 2 2 s in ( 2 ) 23g ? ? ? ?， sin(2 ) 03? ?， (0, )? ， 3? 或 6? . 22 3l ?或 3? . （ 2） ( ) 2 2 sin (2 )3g x x ? ? ?， ()gx的最大 值为 4. 对于函数 2( ) 2 5 (0 2 )p x a x x x? ? ? ? ?，显然 0a? 不符合题意， (0) 5 4p ? ， ()px 的最小值为 1min (2), ( )pp
16、a. - 7 - 若 (2) 4 1 4pa? ? ?， 34a? ，此时 140,23a ? ，故不合题意， 若 11( ) 5 4p aa? ? ? ?，此时 1 1 0,2a? ，故 1a? . 21.（ 1）证明： 1 1 1( ) ( ) ln2 2 2gf? ? ?5 ln2 08? ? ? ， (1) (1) ln 1 2 0gf? ? ? ? ?， ( ) ( ) lng x f x x?在区间 1( ,1)2 上有零点 . (2 2 ) (2 2 ) ln 2 2gf? 38(2 2 3) ln 2 02? ? ? ?， (4) (4) ln 4gf? ? ?16 2ln2
17、0?， ( ) ( ) lng x f x x?在区间 (2 2,4) 上有零点 . 从而 ( ) ( ) lng x f x x?在区间 1( ,1)2 与 (2 2,4) 上均有零点 . （ 2）解：设 ( ) 4 ( 0 )u x x x x? ? ? ?，令 4 0,2tx? ? ? ， 则 2( ) 4v t t t? ? ? ? 21 17()24t? ? ? ， 0,2t? ， 17( ) 2, 4vt? . 2( ) 3 6f x x x? ? ?3 ( 2)xx? ，当 172, 4x? 时， ( ) 0fx? . 则 32( ) 3f x x x?在 172, 4 上递增，
18、 1445( ) 4, 64fx? ，故 1445 4, 64m? . 22.（ 1）解： ( ) 2 ( 1) xf x x x e? ? ?2( 2) 4 2xx x e x? ? ?， (0) 2f ? . (0) 2f ? ，曲线 ()y f x? 在点 (0, (0)f 处的切线方程为 22yx?. （ 2）证明：要证 ( ) ( 2)f x x kx k? ? ?，只需证 2( 1)( 2) xx x e? 222( 2) ( 1)x k x? ? ? ?， 即证 ( 1) 2xxe? ? ? 22 12xk x ? ?. 设 ( ) ( 1) 2xh x x e? ? ?，则 ( ) xh x xe? ， 令 ( ) 0hx? 得 0x? ；令 ( ) 0hx? 得 0x? . min( ) (0) 1h x h?， ( ) 1hx? . 222111022xxx? ? ?， 22 1 12xx ? ?， (0,1)k? ， 22 1 12xk x ?， 22 1() 2xh x k x ? ?，即 22 1( 1) 2 2x xx e k x ? ? ? ? ?. - 8 - 从而 ( ) ( 2)f x x kx k? ? ?.
