1、 1 第 5 题图 湖北省部分重点中学 2017-2018 学年度上学期新高三起点考试 数 学 试 卷（理科） 一、选择题 （本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1. 已知集合 034| 2 ? xxxA ， 12| xxB ? ，则 ?BA? A )0,13,( ? ? B 1,3 ? C 0,1(3,( ? ? D )0,(? 2. 已知复数 z 满足 izii 4311 ? ，则 z = A.5 B. 7 C. 25 D. 62 3. 已知随机变量 ? 服从正态分布 2( , )N? ，若( 2) ( 6)PP? ? ?0.15? ，则 (2 4)P ? 等于 A. 0.3
2、B. 0.35 C. 0.5 D. 0.7 4 已知数列 ?na 为等差数列，其前 n 项和为 nS ，7825aa?，则 11S 为 A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定 5.某几何体的三视图如图所示 (单位： cm )，则该几何体的体积等于 ( ) 3cm A 24 3? B 34 2? C 26 3? D 36 2? 6. 在 ABC? 中， “ A B C?”“ co s 2 co s 2 B co s 2 CA ?” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既 不充分也不必要条件 7.美索不 达米亚平原是人类文明的发祥地之一。美索不达米亚人善
3、于计算，他们 创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的。程序框图如图所示，若输入 ?,na 的值分别为 8 ,2 ,0.5 ，（ 每次运算都精确到小数点后两位 ）则输出结果为（ ） A. 2.81 B. 2.82 C. 2.83 D. 2.84 2 8偶函数 f(x)在 (0， +) 上递增， ),23(,31(lo g2 fbfa ? ）)2(log3fc? 则下列关系式中正确的是 A a b c B a c b C c a b D c b a 9.若 yx, 满足条件?206202xyxyx，则目标函数 22 yxz ? 的最小值是 A 2 B 2 C 4 D 968 10 若
4、点(,)Pxy的坐标满足1ln 1xy?，则点 P 的轨迹图像大致是 11抛物线 2 2 ( 0)y px p?的焦点 为 F ，过焦点 F 倾斜角为 3? 的直线与抛物线相交于两点 ,AB两点，若 8AB? ，则抛物线的方程为 A 2 3yx? B 2 4yx? C 2 6yx? D 2 8yx? 12.已知函数 ? ? ? ?2 s in 0 , 2f x x ? ? ? ? ? ? ?的图象过点 )3,0( ?B ，且在 ,18 3?上单调，同时 ?fx的图象向左平移 ? 个单位之后与原来的图象重合，当 )32,34(,21 ? ?xx，且 12xx?时， ? ? ? ?12f x f
5、x? ，则 ? ?12f x x? A. 3? B. 1? C. 1 D. 3 3 二、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13 已知向量 (3,4)a? ， ( ,1)bx? ，若 ()a b a?，则实数 x 等于 14 设 2 5 2 1 00 1 2 1 0( 3 2 )x x a a x a x a x? ? ? ? ? ? ?，则 1a 等于 15 已知等腰梯形 ABCD 中 AB /CD ， 2 4 , 6 0A B C D B A D? ? ? ? ?，双曲线以 ,AB为焦点，且与线段 CD (包括端点 C 、 D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围
6、是 16 若函数 22( ) ( 4 ) | 2 | 2f x x x a x a? ? ? ? ?有四个零点 ,则实数 a 的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6小题， 70分） 17.（本小题满分 12分）等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，数列 nb 是等比数列，满足 113, 1ab?，2 2 5 2 31 0, 2 .b S a b a? ? ? ? （ 1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （ 2）令 n n nc a b? ,设数列 nc 的前 n 项和为 nT ,求 nT . 18.(本小题满分 12分 ) 在如图所示的多面体 ABCDEF 中， 四边形 ABCD
7、为正方形，底面 ABFE 为直角梯形， ABF?为直角， 1/ / , 1,2B F A BA BFE ?平面 ABCD ? 平面 ABFE . （ 1）求证： ECDB? ； （ 2）若 ,ABAE? 求二面角 BEFC ? 的余弦值 . 19.（本小题 12分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取 10名购物者进行采访， 5名男性购物者中有 3名倾向于选择网购， 2名倾向于选择实体店， 54 名女性购物者中有 2名倾向于选择网购， 3名倾向于选择实体店 （ 1）若从 10名购物者中随机抽取 2名，其中男、女各一名，求至少 1名倾向于选择实体店的概率；（
8、 2）若从这 10名购物者中随机抽取 3名，设 X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望 20 （本小题满分 12分）已知椭圆 C： )0(12222 ? babyax 的离心率为 22 ，左焦点为 )0,1(?F ，过点 )2,0(D 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A， B两点 （ 1）求椭圆 C的标准方程； （ 2）在 y 轴上，是否存在定点 E，使 BEAE? 恒为定值？若存在，求出 E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由 21.（本小题满分 12 分）设函数 ( ) ln( 1)f x a x?， ( ) e 1xgx?， 其中 a? R， e=2.
9、718 ? 为自然对数的底数 （ ）当 0x 时， ( ) ( )f x g x 恒成立，求 a 的取值范围； （ ）求证： 101095 2000e1000 1791? (参考数据： ln1.1 0.095? ) 22 （本小题满分 10分） 已知 ( ) | 2 3 | | 2 1 |f x x x? ? ? ? （ ）求不等式 ( ) 2fx? 的解集； （ ）若存在 xR? ，使得 ( ) |3 2|f x a?成立，求实数 a 的取值范围 5 x y z 湖北省部分重点中学 2017-2018学年度上学期新高三起点考试 数学试卷 (理科）参考答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5
10、6 7 8 9 10 11 12 答案 A A B B D C D D B B C A 13 7 14 240? 15 3 1, )? ? 16 256( 8, 0) (0 , ) 27? ? ? 17.解析： (1)设数列 na 的公差为 d ,数列 nb 的 公比为 q ,则 由 225 2 310,2,bSa b a? ? 得 6 10,3 4 2 3 2 ,qdd q d? ? ? ? ? ? ? 解得 2,2,dq? 所以 3 2( 1) 2 1na n n? ? ? ? ?， 12nnb ? ? 6分 (2)由 (1)可知 1(2 1) 2 ,nncn ? ? ? 0 1 2 2
11、13 2 5 2 7 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2nnnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 12 3 2 5 2 7 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2nnnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 得 : 1 2 13 2 2 2 2 2 2 ( 2 1 ) 2nnnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 2 2 2 ( 2 1) 2nnn? ? ? ? ? ? ? ? 12 1 ( 2 1 ) 2 (1 2 ) 2 1n n nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 1
12、) 2 1.nnTn? ? ? ? ? ? 12 分 18. 解：（ 1） ? 90,/ ? EABBFAEABFE 为直角梯形，底面 ABBFABAE ? , ABABFEA B C DABFEA B C D ? 平面平面平面平面 ? , A B C DBFA B C DAE 平面平面 ? . BCBF? 设 轴建立如图坐标系所在的直线分别为以 zyxBCBFBAtAE ,? ， ? ? )0,1(),1,0,1(),1,0,0(,0,0,0 tEDCB则)1,1(),1,0,1( tECDB ? ECDBECDB ? 0? ? 6分 (2) 的一个法向量是平面）知由（ BEFBC )1,0
13、,0(1 ? 的法向量是平面设 C E Fzyxn ),(? 6 )0,2,0(),0,1,1(,1 FEABAE ? )1,2,0(),1,1,1( ? CFCE 00 ? zyxnCE由 , 020 ? zynCF由 的一个法向量是平面故得令 C E Fnyxz )2,1,1(,1,1,2 ? 36,c o s ? BCn BCnBCn ,即二面角 36的余弦值为BEFC ? ? 12分 19 解：（ 1）设 “ 至少 1名倾向于选择实体店 ” 为事件 A， 则 表示事件 “ 随机抽取 2名，（其中男、女各一名）都选择网购 ” ， 则 P（ A） =1 P =1 = ? 6分 （ 2） X
14、的取值为 0， 1， 2， 3 P（ X=k） = ， P（ X=0） = ， P（ X=1） = ， P（ X=2） = ， P（ X=3） = E（ X） =0 +1 +2 +3 = ? 12 分 20.（ 1）由已知可得?122cac， 解得1,2 22 ? ba所求的椭圆方程为12 22 ? yx? 4分 （ 2）设过点 D（ 0,2）且斜率为 k的直线 l的方程为 y=kx+2, 由?2122kxyyx消去 y 整理 得 ：068)21（ 22 ? kxxk设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）则 x1+x2= 又 y1y2=（ kx1+2）（ kx2+2） =k2x1x2
15、+2k（ x1+x2） +4= ， 7 y1+y2=（ kx1+2） +（ kx2+2） =k（ x1+x2） +4= 设存在点 E（ 0， m），则 ， 所以 = = ? 8分 要使得 （ t为常数）， 只要 =t，从而（ 2m2 2 2t） k2+m2 4m+10 t=0 即 由（ 1）得 t=m2 1，代入（ 2）解得 m= ，从而 t= ， 故存在定点 ，使 恒为定值 ? 12分 21 ( )令 ? ? ? ? ? ? ? ?1 ln ( 1 ) 0xH x g x f x e a x x? ? ? ? ? ? ?，则 ? ? ? ?01x aH x e xx? ? ? ? 若 1a?
16、 ，则 11 xa ex ? ， ( ) 0Hx? ? ， ()Hx在 ? ?0,? 递增， ( ) (0) 0H x H?， 即 ? ?()f x g x? 在 ? ?0,? 恒成立，满足，所以 1a? ； 若 1a? ， () 1x aH x e x? ?在 ? ?0,? 递增， ( ) (0) 1H x H a? ? ?且 10? 且 x? 时， ()Hx? ? ，则 0 (0 )x? ? ?， 使 0( ) 0Hx? ? ， 则 ()Hx在 ? ?00x， 递减，在 0()x ?， 递增， 所以当 ? ?00xx? ， 时 ( ) (0) 0H x H?，即当 ? ?00xx? ， 时
17、， ? ?()f x g x? ， 不满足题意，舍去； 综合 ， 知 a 的取值范围为 ? ?,1? . ? ?5 分 ( )由 ( )知，当 1a? 时， 1 ln( 1)xex? ? ? 对 0x? 恒成立， 令 110x? ，则 110 10951 ln 1 .1 1 .0 9 51000e ? ? ? ?即 10 10951000e? ； ? ?7 分 由 ( )知，当 1a? 时，则 ()Hx在 ? ?00x， 递减，在 0()x ?， 递增， 8 则 0( ) (0) 0H x H?，即 0 01 ln( 1) 0xe a x? ? ? ?，又 0( ) 0Hx? ? ，即 00 1x ae x? ? ， 令 11011 110ae?，即0 110x?，则 110 1 20001 1.1 ln 1.1 1791e ?， 故有 101095 20001000 1791e?. ? ?12 分 22 （ ）不等式 ( ) 2fx? 等价于 32(2 3) (2 1) 2xxx? ? ? ? ? ?或 3122(2 3) (2 1) 2xxx? ? ? ? ? ? ?或 12(2 3) (2 1) 2xxx? ? ? ? ? ?，解得 32x? 或 3 02 x? ? ? ， 所以 不
