1、 1 河北省涞水波峰中学 2017届高三数学下学期周考试题（ 2.4）理 一、 选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1.已知 aR? ，若 12aii? 为实数，则 a? A. 2? B. 12? C.12 D.2 2.下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间 (0,1) 内单调递增的是 A yx? B siny x x? C 1lg1 xy x? ? D xxy e e? 3.已知实数 x 、 y 满足 0 2010xxyxy? ? ? ? ?，则 2z x y? 的最大值为 A. 12 B. 1 C. 2
2、D. 4 4.直线 0x y m? ? ? 与圆 22 2 1 0x y x? ? ? ?有两个不同交点的一个充分不必要条件是 A 01m? B 42m? ? ? C 1m? D 31m? ? ? 5.已 知 sin 2 cos 3?，则 tan? A. 2 B. 22 C. 2? D. 22? 6.执行如图所示的程序框图，若输入 5, 6pq?，则输出 的 ,ai值分别为 A.5， 1 B.5， 2 C.15， 3 D.30， 6 7.将函数 ( ) s in ( 2 )(| | )2f x x ? ? ?的图象向左平移 6? 个单位后的图象关于原点对称，则函数 ()fx在 0, 2? 上的
3、最小值为 A. 32? B. 12? C.12 D. 32 8.在菱形 ABCD 中，对角线 4AC? ， E 为 CD 的中点，则 AE AC? A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 2 A. 6 B. 5 C. 4 D. 5.5 10.某校高三理科实验班有 5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校若这三所高校中每个学校都至少有 1名同学报考，那么这 5名同学不同的报考方法种数共有 A.144种 B.150种 C.196种 D.256种 11.设 12,FF为椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?
4、的左、右焦点，且 12| | 2FF c? ，若椭圆上存在点 P 使得212| | | | 2PF PF c?，则椭圆的离心率的最小值为 A.12 B.13 C. 22 D. 33 12.设函数 ( ) (2 1)xf x e x ax a? ? ? ?，其中 1a? ，若关于 x 不等式 ( ) 0fx? 的整数解有且只有一个，则实数 a 的取值范围为 A. 3( 1, 2e? B 3( 1, 2e? C 33( , 42e? D 33( , 42e? 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 .请将答案填写在答题纸上 . 13.在 6(1 ) (2 )xx? ? ? 的展开式中含 3x
5、的项的系数是 14.已知数列 na 满足 151?a ， 1 2nnaan? ? ? ，则 nan 的最小值为 15.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的棱长为 1，点 E 是线段 1BC的中点，则三棱锥 1A DED? 外接球体积为 16.F 是双曲线 22:14yCx?的右焦点， C 的右支 上一 点 P 到一条渐近线的距离为 2，在另一条渐近线上有一点 Q 满足 FP PQ? ，则 ? 三、解答题 (本大题 6小题 ,共 70分 ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上 ) 17. (本小题 满分 12分 ) 已知函数 f（ x） =2
6、 sinxcosx 3sin2x cos2x+3 （ 1）当 x 0， 时，求 f（ x）的值域； （ 2）若 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且满足 = ， 3 =2+2cos（ A+C），求 f（ B）的值 18.（ 12分）已知数列 ?na 前 n 项和为 nS ，满足 )(22 ? NnnaS nn （ 1）证明： ? ?2?na 是等比数列，并求 ?na 的通项公式； （ 2）数列 ?nb 满足 22log ? nanb ， nT 为数列?11nnbb的前 n项和，若 aTn? 对正实数 a都成立，求a 的取值范围 . 19. (本小题 满分 12分 ) 某
7、网站用“ 10分制”调查一社区人们的幸福度现从调查人群中随机抽取 16名，如图所示茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一 位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）： （ 1）指出这组数据的众数和中位数； （ 2）若幸福度不低于 9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”求从这 16人中随机选取 3人，至多有 1人是“极幸福”的概率； （ 3）以这 16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选 3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望 4 20. (本小题 满分 12分 ) 如图：四 棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， ACB 90 ，平面
8、 PAD 平面 ABCD， PA=BC=1， PD=AB= 2 ,E、 F 分别为线段 PD 和 BC的中点 (1) 求证： CE 平面 PAF； (2) 在线段 BC 上是否存在一点 G，使得平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60 ？若存在，试确定 G 的位置；若不存在，请说明理由 21 (本小题 满分 12分 ) 定长为 3的线段 AB的两个端点 A、 B分别在 x轴、 y轴上滑动，动点 P满足 =2 （ 1）求点 P的轨迹曲线 C的方程； （ 2）若过点（ 1， 0）的直线与曲线 C交于 M、 N两点，求 ? 的最大值 22.(本小题 满分 12) 分 已知函数() 1(
9、 0, )xfxeaxae?为自然对数的底数. （ 1） 求函数 ()fx的最小值； （ 2） 若 0 对任意的 x?R恒成立，求实数 a 的值； （ 3） 在 （ 2） 的条件下，证明：1 2 1() () ( ) () ( *)1n n n nn n e nn n n n e? ? ? ? ? N其中AB CDPFE5 6 波峰中学 2016-2017学年度第 一 学期 期末模拟卷（五） 参考答案 一、 CDCAB DACBB DA 二、 13. 55? 14. 274 15. 916? 16.4 17：（ 1） f（ x） =2 sinxcosx 3sin2x cos2x+3 = sin
10、2x 3? +3= sin2x cos2x+1=2sin（ 2x+ ） +1， x 0， ， 2x+ ， ， sin（ 2x+ ） ， 1， f（ x） =2sin（ 2x+ ） +1 0， 3； （ 2） =2+2cos（ A+C）， sin（ 2A+C） =2sinA+2sinAcos（ A+C）， sinAcos（ A+C） +cosAsin（ A+C） =2sinA+2sinAcos（ A+C）， sinAcos（ A+C） +cosAsin（ A+C） =2sinA，即 sinC=2sinA， 由正弦定理可得 c=2a，又由 = 可得 b= a， 由余弦定理可得 cosA= = =
11、， A=30， 由正弦定理可得 sinC=2sinA=1， C=90， 由三角形的内角和可得 B=60， f（ B） =f（ 60） =2 18 解：（ 1）由题由题设 )2)(1(22),(22 11 ? ? nnaSNnnaS nnnn 两式相减得 22 1? ?nn aa .2分 即 )2(22 1 ? ?nn aa 又 421 ?a ，所以 ? ?2?na 是以 4为首项， 2为公比的等比数列 .4 分 )2(22224,242 111 ? ? naa nnnnn 又 ,21?a 所以 )(22 1 ? ? Nna nn .6分 （ 2） 因为 7 .8分 所以 212121)2111
12、(.)4131()3121( ? nnnTn.10 分 依题意得： 21?a .12分 19.解：（ 1）由茎叶图得到所有的数据从小到大排， 8.6 出现次数最多， 众数： 8.6；中位数： 8.75； （ 2）设 Ai表示所取 3人中有 i个人是“极幸福”， 至多有 1人是“极幸福”记为事件 A，则（ 3）的可能取值为 0、 1、 2、 3.； ， 0 1 2 3 P 所以 E = 另解 : 所以 E = 20 1）取 PA中点为 H，连结 CE、 HE、 FH， 因为 H、 E分别为 PA、 PD的中点，所以 HE AD, ADHE 21? , 因为 ABCD是平行四边形，且 F为线段 B
13、C的中点 所以 FC AD, ADFC 21? 所以 HE FC, FCHE? 四边形 FCEH是平行四边形 所以 EC HF 又因为 PAFHFPAFCE 平面平面 ? , 所以 CE 平面 PAF ? 4分 （ 2）因为四边形 ABCD 为平行四边形且 ACB 90 ， 所以 CA AD 又由平面 PAD 平面 ABCD 可得 CA 平面 PAD 所以 CA PA 所以可建立如图所示的平面直角坐标系 A-xyz 由 PA=AD=1， PD= 2 可知， PA AD? 5分 因为 PA=BC=1， AB= 2 所以 AC=1 所以 (1, 1, 0 ), (1, 0 , 0 ), (0 ,
14、0 ,1 )B C P? 8 假设 BC 上存在一点 G， 使得平面 PAG和平面 PGC 所成二面角的大小为 60 ， 设点 G的坐标为（ 1， a， 0）， 01 ? a 所以 )1,0,0(),0,1( ? APaAG 设平面 PAG的法向量为 ),( zyxm? 则? ? ?0 0z ayx令 0,1, ? zyax 所以 )0,1,( ? am 又 (0 , , 0 ), ( 1, 0 ,1)C G a C P? ? ? 设平面 PCG的法向量为 ),( zyxn? 则 00ayxz? ? ?令 1,0,1 ? zyx 所以 )1,0,1(?n ? 9分 因为平面 PAG和平面 PG
15、C所成二面角的大小为 60 ，所以2121,c o s 2 ? a anm所以 1?a 又 01 ? a 所以 1?a ? 11分 所以线段 BC 上存在一点 G，使得平面 PAG和平面 PGC所成二面角的大小为 60 点 G即为 B点 ? 12分 21解：（）设 A（ x0， 0）， B（ 0， y0）， P（ x， y）， 由 得，（ x， y y0） =2（ x0 x， y） 即 ，（ 2分），又因为 ，所以（ ） 2+（ 3y） 2=9， 化简得： ，这就是点 P的轨迹方程（ 4分） （）当过点（ 1， 0）的直线为 y=0时， ， 当过点（ 1， 0）的直线不为 y=0时，可设为 x
16、=ty+1， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 联立 ，化简得：（ t2+4） y2+2ty 3=0， . E . H 9 由韦达定理得： ， ，（ 6分） 又由 =4t2+12（ t2+4） =16t2+48 0恒成立，（ 10 分） 得 t R，对于上式，当 t=0 时， 综上所述 的最大值为 ?（ 12分） 22 解 析 ：（ 1）由题意0, () xa fx e a? ?， 由() 0xfx e a? ?得 lnxa. 当 ( ,ln)?时 , () 0fx? ?；当 (ln, )? ?时， () 0fx? ?. ()fx在 ( ,ln)a?单调递减，在 ( , )?单调递 增 . 即 在 ln?处取得极小值，且 为 最小值 ， 其最小值为ln(ln) ln1 ln1.afae aa aaa? ? ? 4分 （ 2） ()0fx对任意的 x?R恒成立，即在 x?R上， min(
