1、 - 1 - 2017-2018 学年度高三第一次摸底考试 数学试卷（理） （试卷满分： 150分答题时间： 120分钟） 一选择题 1设集合 | 0 3A x x? ? ?， | 2B x x?，则 AB?（） A. ? ?,2?B. ? ?,3?C. ? ?0,2D. ? ?0,3 2.已知 xR?，则“ 1x?”是“2 1x?”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3 已知函数 ? ?2 sin ( 0 , 0 )yx? ? ? ? ? ? ? ? ?的部分图象如图所示，则 ?（） A. 6?B. 4?C. 3?D. 2?4.
2、要得到函数 cos 2 3yx?的图像，只需将函数13sin 2 c o s 222y x x?的图像（） A. 向左平移 8?个单位 B. 向右平移 2?个单位 C. 向右平移 3?个单位 D. 向左平移 4?个单位 5.已知函数 352 )1()( ? mxmmxf 是幂函数且是 (0， )上减函数，则 m的值为 ( ) A. 2 B. 1 C. 1或 2 D. 0 6.某工厂从 1970 年的年产值 200 万元增加到 40 年后 2010 年的 1000 万元，假设每年产值增长率相同，则每年年产值增长率是 ( ) （ x为很小的正数时， ln (1 ) , ln 5 1 .6 1xx?
3、 ? ?） A 3% B 4% C 5% D 6% 7.如图所示，阴影部分的面积为（） A.12B. 1C. 23D. 768.若函数 ? ? lnf x kx x?在区间 ? ?2,?单调递增，则 的取值范围是（） A. 1, 2? ?B. ? ?,1?C. 1,2?D. ? ?1,? - 2 - 9已知函数 在 单调递减，则的取值范围是（） A. B. C. D. 10.已知定义在 R上的函数 ? ?y f x?满足：对于任意的 xR?，都有 ? ? ? ?33f x f x? ? ?； 函数 ? ?3y f x?是 偶 函 数 ； 当 ? ?0,3x?时 , ? ?1xf x e x?，
4、? ? 19 415 , ,24a f b f c f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 ,abc的大小关系是（） A. abc? B. c a b?C. a c b?D. bac? 11.已知函数 ?fx的导函数为 ?fx?，满足 )()( xfxf ? ，且当 ? ?0,x? ?时，? ? ? ? 0xf x f x? ?，若 ? ? 0f e ?，则 ? ? 0xf x ?的解集为（） A. ? ? ? ?,ee? ? ? ?B. ? ? ? ?0? ? ?， ，C. ? ? ? ?, 1 1,? ? ? ? D. ? ? ?1,0 1,? ? ? 12.设函数 ?
5、?lnxfx x?，关于 x的方程 0161)()( 2 ? xmfxf 有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（） A. 11( , ) ( , )22? ? ? ?B. , 162 ee?C. 1 1 1( , ) ( , )2 2 1 6ee? ? ? ?D. 1,16ee? ? 二填空题 13.已知函数 ?fx为偶函数，当 0x?时， ? ? lnf x x x x?，则曲线 ? ?y f?在点 ? ? ?,e f e?处的切线方程为 _ 14.若锐角 ,?满足 ? ?43c o s , c o s , s i n55? ? ? ? ? ? ?则_. 15.已知函数 xxkxxxf
6、1lnln)( ? 有两个极值点，则 k的取值范围是 _。 16.给出下列命题：其中所有正确命题的序号为 _ 定义在 R上的函数 ?fx满足 ? ? ? ?21ff?，则 ?fx一定不是 R上的减函数； 用反证法证明命题“若实数 ,ab，满足 220ab?，则 ,ab都为 0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设 ,都不为 0”； 把 sin 2 3yx?的图象向右平移 6?个单位长度，所得到的图象的函数解析式为- 3 - sin2yx?； 函数 ? ?1sin 63f x x ?的一条对称轴方程是 2x ?； 函数 ? ? sin 26f x x?的增区间是 ,63k k k Z? ?
7、 ? ?； 三 .解答题 17.已知函数 ? ? logaf x x?， ? ? ? ?lo g 2 2ag x x t? ? ?，其中 0a?且 1?， tR? （）若 01a?，且1,24x ?时，有 ? ? ? ?2f x g x?恒成立，求实数 t的取值范围； （）若 4t?，且1,24x ?时， ? ? ? ? ? ?2F x g x f x?的最小值是 ?，求实数 a的值 . 18已知函数 ? ? 22 3 si n c os 2c os 1f x x x x? ? ?， （ 1）求 ?fx的最大值和对称中心坐标； (2 )讨论 ?在 ? ?0,?上的单调性。 19.如图，四棱锥
8、P ABCD?的底面 CD是平行四边形，侧面 PAD是边长为 2的正三角形，5AB BD?， 7PB? （ 1）求证：若点 P在 AD上的射影为 O,求证 PO? 平面 ABCD； （ 2）设 Q是棱 PC上的点，当 /PA平面 BDQ时， 求二面角 A BD Q?的余弦值 . 20 xxxaexf ax ln)1()( ? ?已知函数 的取值范围。求实数有两个极值点若）（ 数；在定义域内为单调增函时，求证：当 axxxf xfa ,)(.2 )(1).1( 21?21. 2)1()2()( ? xaexxf x已知函数 处的切线；在时，求当 2)(2).1( ? xxfa 0)2()()(1
9、.2 ? xfxfxgx 时，求证：当）（ .2,)(0).3( 21,21 ? xxxxxfa 证明：有两个零点为时，当 - 4 - (请考生在 22题和 23 题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 ) 22在平面直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为1x tcosy tsin ?，（ ?为参数， t为常数）；在以 O为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2C的极坐标方程为 2cos sin .? ? ? (1)求 1C的极坐标方程和 2C的直角坐标方程； (2)当 1?t 时，若射线 ? ?:0l y kx x?分别交 12,CC于 ,AB两点（ ,AB异于原点），
10、当?1, 3k ? ?时，求 OA OB?的取值范围 . 23.已知函数 ? ? 2 1 1f x x x? ? ? ?. （ 1）求不等式 ? ? 3fx?的解集； （ 2）若函数 ? ?y f x?的最小值记为 m，设 ,ab R?，且有 22a b m?，试证明：221 4 181 1 7ab?. 辽源市第五中学 2017-2018学年度高三第一次摸底考试 数学答案（理） 一 选择 B B C D A B B C D C A B 二 填空： 13. y x e? ? 14. 25 15. )10e，（ 16. 三 解答题： 17.（ 1） ? ? ? ?2f x g x?恒成立，即 ?
11、?2l og log 2 2aa x t? ? ?恒成立， 即 ? ?2log log 2 2aax x t? ? ?， 又因为 ? ?0,1a?，1,24x ?， 所以 2 22x x t? ? ?恒成立，即 2 22t x x? ? ?对1,24x ?恒成立， 所以 ? ?2 m a x2 2 2t x x? ? ? ?，故 t的取值范围为 ? ?2,? (2) 4t?， - 5 - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 241 12l og 2 2 l og l og l og 4 2a a a axF x g x f x x x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 易知
12、? ?142h x x x? ? ?在1,14?单调递减，在 ? ?1,2单调递增，且? ?1 24hh?， 所以 ? ? ? ?m in 1 16h x h?， ? ?m a x1 254h x h ?， 所以当 1a?时， ? ?min log 16aFx ?，由 log 16 2a ?，即 4a?（舍去）； 当 01a?时， ? ?min log 25aFx ?，由 log 25a ?，即1 综上15a? 18.( ) ? ? 2 si n 2 6f x x?，所以最大值为 ，由2 6xk? ?，解得 x= 2 ,12k?,r 所以对称中心为： ? ?,02 12k kZ?； ( ) 先
13、求 f(x) 的 单 调 增 区 间 ， 由 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得,63k k k Z? ? ? ?，在 ? ?0,?上的增区间有 0,3?和5 ,6?。 同理可求得 f(x)的单调减区间5,36k k k Z? ? ?，在 ? ?0,?上的减速区间有5,36?. 递增区间：0,3?和5 ,6?；递减区间：5,36?. 19.（ 1）取 AD中点 O，连接 OP， OB，因为 PAD?是边长为 2的正三角形，所以 OP AD?，3OP?， 5AB BD?， O AD?， 2OB?， 2 2 2OB OP PB?， P OB?， OP
14、?平面 ACD （ 2）连接 AC交 BD于 E，连接 QE， - 6 - /PA平面 BDQ， /PA QE， 又 E为 AC的中点， 为 PC的中点 . 以 O为原点，分别以 OA、 OB、 OP所在直线为 x、 y、轴建立空间直角坐标系， 则 ? ?1,0,0A， ? ?0,2,0B， ? ?1,0,0D ?，31,1, 2Q?， ? ?1,2,0DB?， 30,1, 2DQ ?. 设平面 BDQ的一个法向量为 ? ?,m x y z?， 由0, 0,m DBm DQ?得2 0,3 0,2xyyz?取 23z?，得 ? ?6, 3, 2 3m ?. 由图可知，平面 ABCD的一个法向量
15、? ?0,0,1n?， 2 1 9c o s , 19mnmn mn?， 二面角 A BD Q?的余弦值为2 1919?. 20. - 7 - . 21. - 8 - 22.（ 1）由1,x tcosy tsin ?可得 ? ? 2 2 2 2 21 (c o s s i n )x y t? ? ? ?, 即 1C的普通方程为 ? ?2 221x y t? ? ?，所以1C极 坐标方程为 2 c o s 1 0t? ? ? ? ? ? 方程 2cos sin? ? ?可化为 22cos sin? ? ? ?*, 将x cosy sin?,代入方程?*，可得2xy?, 所以 2C的直角坐标方程为
16、2?， （ 2）当 t=1时联立方程组? ?2 21 1, ,xyy kx? ? ?解得 22,11kA kk?- 9 - 联立方程组2, ,y kxyx?可得 ? ?2,Bkk，故 222 21 1 21O A O B k k k kk? ? ? ? ? ? ? ?, 又 ?1, 3k? ?,所以 ?2 , 2 3OA OB ? ? （法二：极坐标解法直线极坐标方程为 )34(, ? ? ，则分别联立得 2sin2 c o s 2 ta nc o sABO A O B ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 ? , 2 3OA OB ? ? 23. （ 1）因为 ? ? 2 1 1f x x
17、 x? ? ? ? ?3 , 1,1 2, 1 ,213 , .2xxxxxx? ? ? ? ? ? ? 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式 ? ? 3fx?的解集为 ? ?1,1?. （ 2）证明：由图可知函数 ? ?y f x?的最小值为32，即32m?. 所以2232ab?，从而22 7112ab? ? ? ?， 从而 221411ab? ? ? ?22 222 1 41171ab a a b? ? ? ? ? ? ?2222412157 1 1abab? ? ? ?2222412 1 1 8527 1 1 7abab? ? ?. 当且仅当? ?222241111abab? ?时，等号成立， 即2 16a?，2 43b?时，有最小值， 所以 221 4 181 1 7ab?得证 . （法 二柯西不等式）
