1、 1 吉林省长春市 2017 届高三数学第五次摸底考试试题 理 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 ， 考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2选择题必 须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不 得 折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
2、 第 卷（选择题 60 分） 一、 选择题 （本大题包括 12 个 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） （ 1） 若集合 2 | 5 4 0 | 3 A x x x B x x? ? ? ? ? ? ?N ， ，则 AB等于 （ A） ( 1 3)?， （ B） 1 2， （ C） 03)， （ D） 0 1 2， ， （ 2） 复数 2aiz i? ? （ i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数 a 的取值范围是 （ A） 1( 2 )2?， （ B） 1( 2)2? ， （ C） (
3、 2)? ?， （ D） 1( + )2 ?， （ 3） 在 梯形 ABCD 中 ， 3AB DC? ， 则 BC 等于 （ A） 1233AB AD? （ B） 2433AB AD? （ C） 23AB AD? （ D） 23AB AD? （ 4） 等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 5261Sa?， ，则公差 d 等于 （ A） 15 （ B） 35 （ C） 65 （ D） 2 （ 5） “勾股定理”在西方被称为“毕 达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用 数 形结合的方法给出了勾股定理的详细证明 .如图所示的 “ 勾股圆方图 ” 中，四? 2 个
4、相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 6? ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 （ A） 312?（ B） 32（ C） 434?（ D） 34（ 6） 考拉兹猜想又名 31n? 猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数，则对它除以 2.如此循环，最终都能得到 1.阅读如图所示的程序框图，运行 相应程序，输出的结果 i? （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 （ 7） 某 三棱锥的三 视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积 为 （ A）
5、 32 （ B） 327 （ C） 167 （ D） 647 （ 8） 已知 xy， 满足约束条件 20626xxyxy?， 则目标函数 442yz x ? ? 的最大值为 （ A） 6 （ B） 5 （ C） 2 （ D） 1? （ 9） 以下四个命题中是 假 命题的是 （ A） “ 昆虫都是 6 条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有 6 条腿 ” 此推理属于演绎推理 . 第 （ 6）题 第 （ 7）题 是 否 2aa?1ii? 结束 开始 10 1ai?， 1?a? 31aa? a 是奇数 ？ 是 输出 i 否 10 8 27 正视图 侧视图 俯视图 3 （ B） “ 在平面中，对于三条不同的
6、直线 a ， b ， c ，若 ab ， bc 则 ac ，将此结论放到空间中也成立 ” 此推理属于 合情 推理 . （ C） “ a 0 ” 是 “ 函数 ( ) lnf x ax x? 存在极值 ” 的必要不充分条件 . （ D） 若 (0 2x ? ， ， 则 2sin sinx x? 的最 小 值为 22. （ 10） 如图，南北方向的公路 l ， A 地在公路正东 2km 处， B 地在 A 东偏北 30? 方向 23km 处，河流沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 l 和到 A 地距离相等现要在曲线 PQ 上一处 M 建一座码头，向 AB， 两地运货物，经测算，从 M 到 A 、 M
7、 到 B 修建费用都为 a 万元 /km ，那么，修建这条公路的总费用最低是（ ）万元 （ A） (2 3)a? （ B） 2( 3 1)a? （ C） 5a （ D） 6a （ 11） 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的 A B C D， ， ， 四个家庭各有两个小孩共 8 人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名（乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置），其中 A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有 （ A） 18 种 （ B） 24 种 （
8、 C） 36 种 （ D） 48 种 否 是 否 2aa?1ii? 结束 开始 10 1ai?， 1?a? 31aa? a 是奇数 ？ 是 输出 i l A P Q B M 4 （ 12） 设函 数 ()fx的定义域为 D ，如果 x D y D? ? ? ?， ，使得 ( ) ( )f x f y? 成立，则称函数 ()fx为“ ? 函数” . 给出下列四个函数： sinyx? ； 2xy? ； 11y x? ? ； lnyx? , 则其中“ ?函数”共有 （ A） 1个 （ B） 2 个 （ C） 3 个 （ D） 4 个 第 卷（非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第
9、 13 题 21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答，第 22题、 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、 填空题 （ 本大题包括 4 个 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上 ） （ 13） 函数 sin cosy x x?的单调递增区间为 （ 14） 6(3 2 )ab? 的展开式中的第 3 项的二项式系数为 （用数字作答） （ 15） 已知命题 :P 对任意的 21 2 0x x a?， ， ，命题 :Q 存在 2 2 2 0x x ax a? ? ? ? ?R ， ，若命题“ P 且 Q ”是真命题，则实数 a 的取值范围是 _ （ 16） 已知数
10、列 na 为等比数列，且 2 22 0 1 5 2 0 1 7 0 d4a a xx?，则 2016 2014 2018()a a a? 的最小值 为 三、 解答题 （本大题包括 6 个 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （ 17） （本小题满分 12 分） 在 ABC 中， abc， ， 分别是角 A B C， ， 的对边，且 coscos 2BbC a c? ? . （）求角 B 的大小； （）若 13 4b a c? ? ?， ，求 ABC 的面积 . （ 18） （本小题满分 12 分） 5 在四边形 ABCD 中，对角线 AC BD， 垂直相交于点 O ，
11、且 43O A O B O D O C? ? ? ?，. 将 BCD 沿 BD 折到 BED 的位置，使得二面角 E BD A?的大小为 90? （如图） 已知 Q 为 EO的中点， 点 P 在线段 AB 上，且 2AP? （） 证明：直线 /PQ 平面 ADE ； （） 求直线 BD 与平面 ADE 所成角 ? 的正弦值 （ 19） （本小题满分 12 分） 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班 25 位女同学， 15 位男同学中随机 抽取一个容量为 8 的样本进行分析 . （）如果按性别比例分层抽样， 求样本中男生 、 女生人数分别是多少 ； （）随机抽取 8 位同学，数学成
12、绩由低到高依次为： 6 0 6 5 7 0 7 5 8 0 8 5 9 0 9 5， ， ， ， ， ， ，； 物理成绩由低到高依次为： 7 2 7 7 8 0 8 4 8 8 9 0 9 3 9 5， ， ， ， ， ， ，若规定 90 分（含 90 分）以上为优秀，记 ? 为这 8 位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求 ? 的分布列和数学期望 . （ 20） （本小题满分 12 分） 已知 12FF， 是椭圆 22+ 1( 0)xy abab ? ? ?的左、右焦点， O 为坐标原点，点 2( 1 )2P? ，在椭圆上，线段 2PF 与 y 轴的交点 M 满足 2PM FM?0 （）
13、求椭圆的标准方程； （） 圆 O 是以 12FF 为直径的圆，一直线 :l y kx m?与 圆 O 相切，并与椭圆交于不同的两点 A 、B ，当 OA OB ?，且满足 2334? 时，求 OAB 的面积 S 的取值范围 （ 21） （本小题满分 12 分） 设 (4 ) ln() 31x a xfx x? ? ，曲线 ()y f x? 在点 (1 (1)f， 处的切线与直线 10xy? ? ? 垂直 . （）求 a 的值； P AB Q D E O 6 （）若对于任意的 1 ) ( ) ( 1 )x f x m x? ? ? ?， ， 恒成立，求 m 的取值范围； （）求证：1l n (
14、4 1 ) 1 6 ( )( 4 1 ) ( 4 3 )niinnii?*N . 请考生在第 22、 23 题中任 选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 （ 22） （本小题满分 10 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的方程为 2 44xy? （） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （） 直线 l 的参数方程是 cossinxtyt? ?（ t 为参数）， l 与 C 交于 AB， 两点， | | 8AB? ，求 l 的斜率 （ 23） （ 本小题满分 10 分 ） 选修 4 5：不等式选讲 已知函
15、数 ( ) | 2 1 | | 2 3 |f x x x x? ? ? ? ? R，. （）解不等式 ( ) 5fx ； （）若 1() ()gx f x m? ? 的定义域为 R ，求实数 m 的取值范围 7 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 ， 考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2选择题必须使 用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题
16、无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不 得 折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第 卷（选择题 60 分） 一、选择题 （本大题包括 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每 小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） （ 24） 若集合 2 | 5 4 0 | 3 A x x x B x x? ? ? ? ? ? ?N ， ，则 AB等于 （ A） ( 1 3)?， （ B） 1 2， （ C） 03)， （ D） 0 1 2， ， 【答案】 （ D） （ 25） 复数 2aiz i? ? （ i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数 a 的取值范围是 （ A） 1( 2 )2?， （ B） 1( 2)2? ， （ C） ( 2)? ?， （ D） 1( + )2 ?， 【
