1、 - 1 - 江苏省 2017 届高三数学 2 月联考试题 第卷 一、 填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分） 已知集合 ? ? ? ?2| 2 3 , | 2A x x B y y x? ? ? ? ? ? ?，则 AB? . 1. 若复数 121 , 2z i z i? ? ? ?（ i 为虚数单位），则 12zz 的模为 . 3.已知某高中共有 2400 人，其中高一年级 600 人，现对该高中全体学生利用分层抽样 的方法进行一项调查，需要从高一年级抽取 20 人，则全校应一共抽取 人 . 4.分别从集合 ? ?1,2,3M 和集合 ? ?4,5,6N? 中各取一
2、个数，则这两个数之和为偶数的概率为 . 5如图是一个算法的流程图，当输入 10, 2ab?的时，输出的 y 值为 . 6.已知 F 为 双曲线 22:142xyC ?的一个焦点，则点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 . 7.已知在等比数列 ?na 中， 5 1 4 215, 6a a a a? ? ? ?则公比 q 的所有可能的值是 . 8.将函数 ? ? cos2f x x? 的图象向左平移 ? ?0? 个单位后，若所得的图象经过点 ,03?，则 ? 的最小值为 . 9.已知正四面体 P ABC? 的棱长为 2，若 M,N 分别是 PA,BC 的中点，则三棱锥 P BMN? 的体积为
3、 . 10.设函数 ? ? ?y f x x R?则“ ? ?y f x? 是偶函数”是“ ? ?y f x? 的图象关于原 点对称”的为 条件 .（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 11.如图，在直角梯形 ABCD 中，已知/ , , 2 , 1 ,A B D C A B A D A B A D E? ? ?为 BC 的中点，若 2B AC?，- 2 - 则 AEBD? 的值为 . 12.已知函数 ? ? 2 , 11, 1x xxfxx? ? ? ?，则不等式 ? ? 2f x fx? ?的解集是为 . 13.若实数 ,xy满 足 2220x y y? ?
4、 ? ，且 ? ?1 3 5 0k x y k? ? ? ? ?恒成立，则实数 k 的取值范围为 . 14.在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别 为 ,abc，若 3 cos 0a C b?，则 tanB 的最大值为 . 二、解答题：本大题 共 6 小题，共 90 分 .解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 . 15.（本题满分 14 分）已知函数 ? ? 23 s in 2 2 c o s .f x x x? （ 1）若 0,2? ?，求 ? ?f ? 的取值范围； （ 2）若 tan 2 3? ，求 ? ?f ? 的值 . 16.（本题满分 14 分）如图， ACQP 所在的平面
5、与菱形 ABCD 所在的平面相互垂直，交线为 AC ，若 2 , ,AC AP E F? 分别是 ,PQCQ 的中点 . 求证： （ 1） /CE 平面 PBD ； （ 2）平面 FBD? 平面 PBD . 17.（本题满分 14 分） 某校园内有一块三角形绿地 AEF （如图 1），其中 22 0 , 1 0 , 3A E m A F m E A F ? ? ? ?，绿地内种- 3 - 植有一呈扇形 AMN 的花卉景观，扇形 AMN 的两边分别落在 AE 和 AF 上，圆弧 MN 与 EF 相切于点 P . （ 1）求扇形花卉景观的面积； （ 2）学校计划 2017 年年整治校园环境，为美观
6、起见，设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形ABCD （如图 2），其中 23BAD ?，并种植两块面积相同的扇形花卉景观，两扇形的边都分别落在平行四边形 ABCD 的边上，圆弧都与 BD 相切，若扇形的半径为 8m ，求平行四边形 ABCD 绿地占地面积的最小值 . 18.（本题满分 16 分） 已知在平面直角坐标系 xoy 中， 椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的离心 率为 32 ， A 是椭圆的左顶点， ,MN是椭圆上的两个动点，直线 AM 交 y 轴于点 P . （ 1）若 78AP AM? ，求直线 AM 的斜率； （ 2）若 1ab?，圆 ? ? ? ?22
7、21 : 1 0 1C x y r r? ? ? ? ?，直线 AM 和直线 AN 都与圆 1C 相切，当 r变化时，试问直线 MN 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由 . 19.（本题满分 16 分） 已知函数 ? ? ? ? ? ? ? ? 2ln 0 , .f x a x x a g x x? ? ? ?. - 4 - （ 1）若 ?fx的图象在 1x? 处的切线恰好也是 ?gx图象的切线 . 求实数 a 的值； 若方程 ? ?f x mx? 在区间 1,e?内有唯一实数解，求实数 m 的取值范围 . （ 2）当 01a?时，求证：对于 区间 ? ?1,2 上的任意两个
8、不相等的实数 12,xx，都有? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2f x f x g x g x? ? ?成立 . 20.（本题满分 16 分） 设数列 ?na 的各项均为不等 的正整数，其前 n 项和为 nS ，我们成满足条件“对任意的,mn N? ，均有 ? ? ? ? ?m n n mn m S m n S S? ? ? ?”的数列 ?na 为“好”数列 . （ 1）试判断数列 ? ? ?,nnab是否 为“好”数列，其中 12 1, 2 ,nnna n b n N? ? ? ?，并给出证明 . （ 2）已知数列 ?nc 为“好”数列 . 2016 2017c ? ，求数列的通项
9、公式； 若 1cp? ，且对任意的给定正整数 ? ?,1ps s? ，有 1,stcc c 成等比数列，求证： 2ts? . 江苏省联盟大联考数学试卷 第卷（附加题） 21【选做题】在 A,B,C,D 四个小题中只 能选择两题，每小题 10 分，共计 20 分 . A. 选修 4 1： 几何证明选讲 如图，圆 O 的半径 OA 与 OB 相互垂直， E 为圆 O 上一点，直线 OB 与圆 O 交于另 一点 F ，- 5 - 与直线 AE 交于点 D ，过点 E 的切线 CE 交线段于点 C ，求证： 2 .CD CB CF? B.选修 4 2：矩阵与变换 已知 ,xy R? ，向量 11a ?
10、使二阶矩阵 24aA b?的属于特征值 3 的一个特征向量，求直线:2 3 0l x y? ? ? 在矩阵 A 对应的变换作用下得到的直线 l? 的方程 . C.选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线 l 的方程为 cos 24?，圆 C 的方程为 4 sin 2 cos? ? ?，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 . D.选修 4-5：不等式选讲 对任意实数 t ，不等式 3 2 1 2 1 2t t x x? ? ? ? ? ? ?恒成立，求实数 x 的取值范围 . 【必做题】第 22、 23 题，每小题 10 分，共计 20 分 . 22.（本题满 分 10 分） 如
11、图，在四棱锥 P ABCD? 中， PA? 平面 ABCD ，底面 ABCD 为直角梯形，/ , 90BC AD ABC?,且 1 12P A A B B C A D? ? ? ?，点 E 在棱 PD 上（点 E 异于端点），且.PE PD? （ 1）当 23? 时，求异面直线 PC 与 AE 所成角的余弦值； - 6 - （ 2）若二面角 P AC E?的余弦值为 33 ，求 ? 的值 . 23.（本题满 分 10 分） 设 ? ? ? ? ? ?0, 1 , ,n k kmn n mk mP n m C Q n m Cmk ? ? ?，其中 ,.mn N? （ 1）当 1m? 时，求 ? ? ? ?,1 , ,1P n Q n 的值； （ 2）对 mN? ，证明： ? ? ? ?,P n m Q n m? 恒为定值 . - 7 - - 8 - - 9 - - 10 -
