1、 1 江苏省丹阳市 2017届高三数学下学期期初考试试题 一、填空题： （本大题共 14 小题，每小题 5分，计 70分 . 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1. 设全集 UR? ，集合 1,0,1, 2,3A ? ， | 2B x x?，则 UA C B? 2.复数 z (a ?i)(1+i)（ a R ， i为虚数单位） 在复平面内对应的点在实轴上， 则 a 3. 设向量 )3,2(),2,1( ? ba ， 若向量 ba? 与向量 )7,4( ?c 共线，则实数 ? = 4. 某校为了解高三同学暑假期间学习情况，抽查了 100 名同学，统计他们每天平均学习时间 ,绘成
2、频率分布直方图（如图）则这 100名同学中学习时间在 68小时内的人数为 5. 如图是一个算法的流程图， 若输入的 x 的值为 1， 则输出的 S 的值 为 第 4题 第 5题 6. 已知 5瓶饮料中有且仅有 2瓶是果汁类饮料从这 5瓶饮料中随机取 2瓶，则所取 2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料 的概率为 7. 如图，在正三棱柱 111 CBAABC ? 中， D 为棱 1AA 的中点若 41?AA ， 2?AB ，则四棱锥DACCB 1? 的体积为 8.已知圆 22: ( 1) ( 3 ) 9C x y? ? ? ?上存在两点 ,PQ关于直线 40x my? ? ? 对称，那么 m? 9. 设
3、,?为两个不重合的平面， ,mn为两条不重合的直线，给出下列的四个命题： （ 1）若 ,m n m ?，则 /n? ； （ 2）若 ,nm? 与 ? 相交且不垂直，则 n 与 m 不垂直 （ 3）若 , , , ,m n n m? ? ? ? ? ? ? ? ?则 n ? （ 4）若 / , , / ,m n n ? ? ? 则 m? 其中，所有真命题的 序号 是 第 7 题 A1 B1 C1 D A C B 0.040.050.120.14小 时频 率 /组 距108642 12x2 10. 将 25个数排成五行五列： 1 1 1 2 1 3 1 4 1 52 1 2 2 2 3 2 4 2
4、 53 1 3 2 3 3 3 4 3 54 1 4 2 4 3 4 4 4 55 1 5 2 5 3 5 4 5 5a a a a aa a a a aa a a a aa a a a aa a a a a已知第一行成等差数列，而每一列都成等比数列，且五个公比全相等 . 若 24 4a ? , 41 2a ? , 43 10a ? ,则 11 55aa? 的值为 11. 已知函数 2( ) logf x x? ，若实数 , ( )a b a b? 满足 ( ) ( )f a f b? ，则 ba 2017? 的范围 是 12. 在平面直角坐标系中， )2,1(),0,0( BA 两点绕定点
5、P 顺时针方向旋转 ? 角后，分别到)2,5(),4,4( BA ? 两点，则 ?cos 的值为 13. 21,FF 是椭圆 )0(12222 ? babyax 的两个焦点， P 为椭圆上一点，如果 21FPF? 的面积为 3，,3t a n,31t a n 1221 ? FPFFPF 则 ?a 14. 已知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21, , ( )21 nnfxf x f x f x f x f f xx? ? ?个则 )21(10f= 二、解答题 （ 本大题共 6 小题，计 90 分 .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内 ） 15（
6、本小题满分 14分） 在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c设向量 ( , )m ac? ， (cos ,cos )n C A? （ 1）若 mn ， 3ca? ，求角 A； （ 2）若 3 sinm n b B? ， 4cos5A?，求 cosC 的值 16. （本小题满分 14 分） 如图所示，四棱锥 P-ABCD的底面为直角梯形， , , 2 .A B A D C D A D C D A B?.点 E是 PC的中点。 （ I）求证： BE平面 PAD； （ II）已知平面 PCD底面 ABCD，且 PC=DC。在棱 PD 上是否存在点 F，使 CF PA?请说明理由
7、。 C A B D P E 3 17（本小题满分 15分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， A， B 分别是椭圆 G: 2 2 14x y?的左、右 顶 点，? ? ?2 , , 0P t t t?R 且 为直线 2x? 上的一个动点，过点 P 任意作一条直线 l 与椭圆 G 交于 C， D，直线 PO分别与直线 AC， AD交于 E， F. （ 1）当直线 l 恰好经过椭圆 G的右焦点和上顶点时，求 t 的值； （ 2） 记直线 AC， AD的斜率分别为 12,kk. 若 1t? ，求证：1211kk? 为定值； 求证：四边形 AFBE为平行四边形 . 18 (本小题满分 15分 )
8、如图所示，直立在地面上的两根钢管 AB和 CD 10 3AB? m， 33CD? m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法： （ 1）如图（ 1）设两根钢管相距 1m，在 AB 上取一点 E，以 C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示）则 BE多长时所用钢丝绳最短？ （ 2）如图（ 2）设两根钢管相距 33m，在 AB上取一点 E，以 C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F处，再将钢丝绳依次拉直固定在 D处、 B处和 E处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）则 BE多长时所用钢丝绳最短？ 19. (本小题满分 16分 ) A E D C B F
9、A E D C B F 图 1 图 2 （第 17 题图） xyOPFEDCBA4 已知数列 na 满足 11?a ， )0(2 ? rra ，且 1?nnaa 是公比为 )0( ?qq 的等比数列，设)( *212 Nnaab nnn ? ? ， （ 1）求使 )( *32211 Nnaaaaaa nnnnnn ? ? 成立的 q 的取值范围； （ 2）求数列 nb 的前 n 项和 nS ； （ 3）试证明：当 2?q 时，对任意正整数 2?n ， nS 不可能是 数列 nb 中的某一项 . 20. (本小题满分 16分 ) 已知函数 xxgxxxf ln)(,)( 2 ? （ 1）求函数
10、)(xxgy? 的单调区间； （ 2）若 1,21?t ，求 )( txxgfy ? 在 ,1 ex? 上的最小值（结果用 t 表示）； （ 3）设 )()12()12(21)()( 2 xgaxaxxfxh ? ，若 3,ea? ， )(2,1, 2121 xxxx ? 都有212121 |)()(| xx mxx xhxh ? 恒成立，求实数 m 的取值范围。 答案 1. 1,0， 1 2. 1 3. 2 4. 30 5.73 6.7107. 23 5 8. 1? 9. （ 3）（ 4） 10. -11 11. ),2018( ? 12. 35? 13. 10 14. 13 11024?1
11、5. 解： （ 1） mn ， cos cosa A c C? 由正弦定理，得 sin cos sin cosA A C C? 化简，得 sin2 sin2AC? 2分 , (0, )AC p? ， 22AC? 或 ? CA 22 ， 从而 AC? （舍）或 2?CA 2?B 4分 在 Rt ABC中， 3tan3aA c?， 6?A 6分 （ 2） 3 cosm n b B? ， c o s c o s 3 sina C c A b B? 由正弦定理，得 2s in c o s s in c o s 3 s inA C C A B?，从而 2sin( ) 3sinA C? ? CBA ， s
12、in( ) sinA C B? 从而 1sin3B? 8分 4cos 05A?， ),0( ?A ， 3sin5A? 10分 sin sinAB? ， ab? ，从而 AB? ， B为锐角， 22cos3B? 12分 c o s c o s ( ) c o s c o s s i n s i nC A B A B A B? ? ? ? ? ?= 4 2 2 3 1 3 8 25 3 5 3 1 5? ? ? ? ? 14 分 16. 6 17. 解 （ 1）由题意：上顶点 ? ?0,1C ，右焦点 ? ?3,0E ? ，所以 : 3 1l y x? ? ， 令 2x? ，得 231 3t? .
13、 （ 2）直线 ? ?1:2AC y k x?与 2 2 14x y?联立，得 211222 8 4,1 4 1 4kkC ?， 同理得 2222 8 4,1 4 1 4kkD ?,由 ,CDP 三点共线得 CP DPkk? , 即12221222441 4 1 42 8 2 8221 4 1 4kkttkk?，化简得 ? ?1 2 1 24k k t k k?， 1t? 时，12114kk? ? （定值） 要证四边形 AFBE为平行四边形，即只需证 E， F的中点即点 O， 由? ?1,22tyxy k x? ? ?得 1142E kx tk? ? ，同理 2242F kx tk? ? ，
14、将 12124kkt kk? ? 分别代入得 ? ?1211 2 124 2E kkkx t k k k?， ? ?1222 1 224 2F kkkx t k k k?， 所以 0EFxx?, ? ? 02E F E Fty y x x? ? ? ?. 即四边形 AFBE为平行四边形 . 18. （ 1）设钢丝绳长为 ym， CFD ?，则 33 1 33 1ta nc o s s in c o sy ? ? ? ? ? ?（其中 00 ? ， 0tan 7? ? ） 3分 223 3 c o s sinsin c o sy ? ? ?当 tan 3? 时，即 34?BE 时， min 8y
15、 ? 6分 （ 2） 设钢丝绳长为 ym， CFD ?，则 ? ?3 3 3 3 1 c o s s i ns i n c o sy ? ? ? ?（其中 00 ? ， 0 1 2 3 3 3tan 333? ?） 9分 7 ? ? ? ?223 3 c o s 3 3 3 3s i n 1 s i n c o s c o s s i ns i n c o ss i n c o sy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 0y? 得 sin cos? ，当 4? 时，即 36?BE 时 ? ?min 6 3 2 2y ? 12 分 答：按方
16、法（ 1）， 34?BE 米时，钢丝绳最短； 按方法（ 2）， 36?BE 米时，钢丝绳最短 . 14 分 19.（ 1）依题意得 11 ? ? nnn qqq ，即 012 ?qq ， 2 150 ? q . （ 2） )0(212121222212212122212212221222121 ? qqaaqa aaqa aaaaaaaaaaaaaabbnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn ， 且 01211 ? raab ， 数列 nb 是以 r?1 为首项， q 为公比的等比数列 ， 11,1 )1)(1(),1(? ? qqqqr rnS nn . （ 3） 当 2?q 时，q
17、qrSnn ? ? 1 )1)(1(， )1()1(11)1(1 )1)(1(1 qqqqrqrq qraS nnnnnn ? ? ? 0)2(111 ? qqqr n ， 1? nn aS ， 又 nn aaaS ? ?21 ， *,0 Nnan ? ， nn aS? ， 故 当 2?q 时，对任意正整数 2?n ， nS 不可能是数列 nb 中的某一项 . 8 20. 高三数学附加卷（ 1 8,13,14 班） 2017.2 21（本小题满分 10分） 设矩阵 12Mxy?， 2411N ?，若 025 13MN ?， 求矩阵 M的 特征值 22（ 本小题满分 10分） 9 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 ： 122xtyt? ?(t 为参数 )以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 2cos 直线 l 与圆相交于 A， B两点，求线段 AB 的长 23（本小题满分 10分） 在某学校组织的一次蓝球定 点投蓝训练中，规定每人最多投 3次；在 A处每投进一球得 3分，在B 处每投进一球得 2 分；如
