1、 1 第 7 题 P D A B C E 2017 届高三年级第二学期周考（ 2） 数 学 试 题 (总分 160分，考试时间 120分钟 ) 一、填空题：（本大题共 14个小题 ， 每小题 5分 ， 共 70分，将答案填在答题纸上） 1 已知 RU? ， 集合 | | 1 , A x x x? ? ? Z， 0B x x?，则 )( BCA U? =_ 2. 已知复数 (1 2i) 2 iz? ? ? ,其中 i 为虚数单位， 则 z 的共轭复数 的模 为 _ 3. 一个 盒子里 有 2只 红球 、 1只白球 和 1只 蓝球，从中摸出 两 只球 ，至少 有 1只红球 的 概率为_ 4. 运行
2、如图所示的伪代码，其结果为 _ 5.抛物线 xy 82? 的焦点到双曲线 2 2 13x y?的渐近线 的 距离为 _ 6. 已 知 ( ) s in 2 3 c o s 2f x x x?的图象向右 平移 ? （ 0 2? ? ）个单位后，所得函数为 偶函数，则 ? _ 7. 如图，四棱锥 P ABCD中， PA 底面 ABCD ，底面 ABCD 是 矩形， 2AB? ， 3AD? ，点 E为棱 CD上一点，若三棱锥 E PAB 的体积为 4，则 PA 的长为 8. 在锐角 三角形 ABC 中 ， 若 bBa 3sin2 ? ，则 A? =_ 9. 已知等差数列?n满足1210aa?，432
3、?则数列第 10 项10a? 10. 设不等式组? ? ? 063 0103 yx yx表示的平面区域 D ，若 函数 )1(log ? axy a 的图象上存在区域D 上的点，则实数 a 的取值范围是 _ 11. 在平面直角坐标系 xoy 中，已知 ? ?1,OA t? ， ? ?2,2OB? ，若 ABC? 为直角三角形，则实数t 的值为 12. 若 存在实数 x ，使不等式 2e 2e 1 0xxa ?- 成立，则实数 a 的取值范 围为 S 2, I 1 While 8?I S 11S?I I+1 End While Print S 第 4 题图 2 13. 已知点 (2,3)A ，点
4、 (6, 3)B ? ，点 P 在直线 3 4 3 0xy? ? ? 上，若满足等式 20AP BP ? ? ?的点 P 有两个，则实数 ? 的取值范围是 14.设实数 yx, 满足 134324 22 ? yxyx ，则 22 4yx ? 的取值范围是 二、解答题 （本大题共 6小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分 14 分） 已知 1sin 3? ， ( , )2? ?. （ 1）求 tan? 的值； （ 2）求 cos(2 )3? ? 的值 . 16. （本小题满分 14 分） 如图，在 四棱锥 ABCDP? 中， ?PC 平面 PAD ， C
5、DAB/ ， BCABCD 22 ? ， NM, 分别是棱 CDPA, 的中点 . 求证：（ 1） PC 平面 BMN ； （ 2） 平面 ?BMN 平面 PAC . ABCDPMN3 17. （本小题满分 14 分） 如图所示的钢板的边界 APB 是抛物线的一部分 ， 且 AB 垂直于抛物线对称轴，现欲从钢板上截取一块以 AB 为下底边的等腰梯形钢板 ABCD ，其中 ,CD均在抛物线弧上 .设 2CD x? （米），且01x?. （ 1） 当 12x? 时，求等腰梯形钢板的面积 ; （ 2）当 x 为何值时，等腰梯形钢板的面积最大？并求出最大值 . 18 （本小题满分 16分） 已知椭圆
6、)(: 012222 ? babyaxC 的离心率为 23 ，且过点 ),( 12?P （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设点 Q 在椭圆 C 上，且 PQ 与 x 轴平行，过 P 点作两条直线分别交椭圆 C 于 ),( 11 yxA ),( 22 yxB 两点，若直线 PQ 平分 APB? ，求证：直线 AB 的斜率是定值，并求出这个定 值 4 19.（本小题满分 16分） 已知数列 na 中， 121,a a a?，且 12()n n na k a a?对任意正整数 n 都成立，数列 na 的前 n 项和为 nS . （ 1）若 12k? ，且 2017 2017S ? ，求 a ；
7、（ 2）是否存在实数 k ，使数列 na 是公比不为 1的等比数列，且任意相邻三项 12,m m ma a a? 按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有 k 的 值；若不存在，请说明理由； （ 3）若 1 ,2nkS? 求. 20.（本小题满分 16分） 已知函数 32( ) 2 ( )f x x a x b x c a b c? ? ? ? ? R， ， （ 1）若函数 ()fx为奇函数，且图象过点 ( 1 2)?， ，求 ()fx的解析式； （ 2）若 1x? 和 2x? 是函数 ()fx的两个极值点 求 a， b的值； 求函数 ()fx在区间 03， 上的零点个数 19 12k? 时
8、，121 ()2n n na a a?， 2 1 1n n n na a a a? ? ?，所以 数列 na 是 等差数列， 5 此时 首项 1 1a? ， 公 差 21 1d a a a? ? ? ?， 数列 na 的前 n 项和 1 ( 1)( 1)2nS n n n a? ? ? ?， 故 12 0 7 2 0 1 7 2 0 1 7 2 0 1 6 ( 1 )2aa? ? ? ? ?， 得 1a? ； 设数列 na 是 等比数列，则它的公比 21aqaa?，所 以 1mmaa? ， 1 mmaa? ? ， 12 mmaa? ? ， 若 1ma? 为 等差 中项 ，则 122 m m m
9、a a a?，即 112 m m ma a a?， 解得 1a? ， 不合题意； 若 ma 为 等差 中项 ，则 122 m m ma a a?，即 112 m m ma a a?，化 简得： 2 20aa? ? ? ，解得 2a? , 1a? （ 舍 去 ）； 1 1 1 22215mm mmmma aak a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?； 若 2ma? 为 等差 中项 ，则 212 m m ma a a?，即 112 m m ma a a?，化 简得： 22 1 0aa? ? ? ，解得 12a? ； 11 1 22 215mmmmmma aak a a a a a? ?
10、 ? ? ? ? ? ?； 综 上可得， 满足 要求 的实 数 k 有 且仅有一个 ， 25k? ； 12k? 则121 ()2n n na a a? ? ?， 2 1 1()n n n na a a a? ? ? ? ? ?， 3 2 2 1 1()n n n n n na a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 n 是 偶数时， 1 2 3 4 1n n nS a a a a a a? ? ? ? ? ? ?1 2 3 4 1( ) ( ) ( )nna a a a a? ? ? ? ? ? 12( ) ( 1)22nna a a? ? ? ?， 当 n 是 奇数时
11、， 1 2 3 4 1n n nS a a a a a a? ? ? ? ? ? ?1 2 3 4 5 1( ) ( ) ( )nna a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 31 ()2na a a? ? ? 1 1 21 ( )2na a a? ? ? ? 11 ( 1)2n a? ? ?， 1n? 也 适合上式， 综 上可得，nS ?11 ( 1),2( 1),2n an a?nn是 奇 数是 偶 数 19 （ 1） 因为函数 ()fx为偶函数， 6 所以 ( ) ( )f x f x? ? ，即 ? ? ? ? ? ?32 3222x a x b x c x a
12、x b x c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 整理得， 2 0ax c? ，所以 0ac? ，从而 3( ) 2f x x bx?，又函数 ()fx图象过点 ( 1 2)?， ， 所以 4b? 从而 3( ) 2 4f x x x? （ 2） 32( ) 2 ( )f x x a x b x c a b c? ? ? ? ? R， ，的导函数 2( ) 6 2f x x ax b? ? ? ? 因为 ()fx在 1x? 和 2x? 处取得极值，所以 (1) 0 (2) 0ff?， ， 即 6 2 024 4 0abab? ? ? ? ? ? ， ，解得 9 12ab? ?， 由
13、（ 1） 得 32( ) 2 9 1 2 ( )f x x x x c c? ? ? ? ? R， ( ) 6( 1)( 2)f x x x? ? ? ? 列表： x 0 (0， 1) 1 (1， 2) 2 (2， 3) 3 ()fx? 0 0 ()fx c 单调增 5 c 单调减 4 c 单调增 9 c 显然 ，函数 ()fx在 0， 3上的图象是一条不间断的曲线 由表知，函数 ()fx在 0， 3上的最小值为 (0)fc? ，最大值为 (3) 9fc? 所以当 0c? 或 90c? （即 9c? ）时，函数 ()fx在区间 03， 上的零点个数为 0 当 50c? ? ? 时，因为 (0)
14、 (1) (5 ) 0f f c c? ? ?，且函数 ()fx在 (0， 1)上是单调增函数， 所以函数 ()fx在 (0， 1)上有 1个零点 当 54c? ? ? 时，因为 (1) ( 2 ) (5 )( 4 ) 0f f c c? ? ? ?，且 ()fx在 (1， 2)上是单调减函数， 所以函数 ()fx在 (1， 2)上有 1个零点 当 94c? ? ? 时，因为 ( 2 ) (3 ) ( 4 )(9 ) 0f f c c? ? ? ?，且 ()fx在 (2， 3)上 是单调增函数， 所以函数 ()fx在 (2， 3)上有 1个 零点 综上，当 0c? 或 9c? 时，函数 ()fx在区间 03， 上 的零点个数为 0； 当 95c? ? 或 40c? 时，零点个数为 1； 当 4c? 或 5c? 时，零点个数为 2；当 54c? ? ? 时，零点个数为 3
