1、 1 2017 届高三年级第二学期周考（ 6） 数 学 试 题 (总分 160分，考试时 间 120分钟 ) 一、填空题：（本大题共 14个小题 ， 每小题 5分 ， 共 70分，将答案填在答题纸上） 1 设集合 ? ?31| ? xxA ，集合 ? ?4| 2 ? xxB ，则集合 BA? 等于 _ _ 2 已知复数 2)1( ? iaz 为纯虚数，则实数 ?a _ _ 3 某高中共有 1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列现用分层抽样的方法从中抽取 48 人，那么高二年级被抽取的人数为 _ _ 4 执行右边的伪代码后，输出的结果是 5 若抛物线 pxy 22 ? 的准线经
2、过双曲线 1322 ? yx 的左焦点， 则实数 ?p _ _ 6 若非零向量 ba, 满足 0)( ? baa ， ba?2 ，则向量 ba, 夹角 的大小为 7 将甲、乙两个 不同的 球随机放入编号为 1， 2， 3的 3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则 恰有两个盒子 各有 1个球的概率为 8 若圆柱的侧面展开图是边长为 4cm的正方形，则圆柱的体积为 3cm 9 设 等 差 数列 ?na 满足 133 ?a ， 37?a ，其前 n 项和为 nS ，则 nS 的最小值为 10 已知奇函数 ()fx在 ( , )? 上为单调减函数，则不等式 (lg ) (1) 0f x f?的解集为
3、11 已 知 1sin( )33x? ， 则 5 s in ( ) c o s ( 2 )33xx? ? ?的 值为 _ _ 12 已知函数? ? ,0c o s ,01)( 2 xx xxxf ? 若关于 x 的方程 0)( ?axf 在 ),0( ? 内有唯一实根，则实数 a 的最小值是 13 对于给定的实数 0?k ，函数 xkxf ?)( 的图象上总存在点 C ，使得 以 C 为圆心， 1为半径的圆上有两个不同的点 到原点 O 的距离为 1，则 k 的取值范围是 1i? 4x? While i 10 2x x i? 3ii? End While Print x 第 4 题图 2 14
4、已知函数 ),()( 2 Rbabaxxxf ? ，若存在非零实数 t 使得 2)1()( ? tftf ，则 22 4ba ?的最小值为 二、解答题 （本大题共 6小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15 （本小题满分 14分） 在 ABC? 中，角 CBA , 的对边分别为 cba, ，且 AcCa sin2tan ? . （ 1）求 角 C 的大小 ； （ 2） 求 BA sinsin ? 的最大值 . 16 （本小题满分 14分） 在四棱锥 ABCDP? 中，底面 ABCD 为矩形， ?PA 平面 ABCD ， ABPA? ， FE, 分别是 PDPB,的中点
5、求证：（ 1） /PB 平面 FAC ； （ 2）平面 ?EAD 平面 FAC PEAB CDF3 17 （本小题满分 14分） 如图，是一形状为三 棱锥 ABCO? 的帐篷，三个侧面 OBCOACOAB , 所需布料 的和 为 212m ，三个钢骨架 OCOBOA , 两两垂直，且长度之和为 m9 （ 1）设 )(mxOA? ，求 x 的取值范围； （ 2）求帐篷体积的最大值 18 （本小题满分 16分） 已知椭圆 )0(1:2222 ? babyaxC 的离心率为 21 ， F 为椭圆 C 的右焦点， )0,( aA? ， 3?AF （ 1）求椭圆 C 的方程 ； （ 2）设 O 为原点，
6、 P 为椭圆上一点， AP 的中点为 M 直线 OM 与直线 4?x 交于点 D ，过 O 作DFOE? ，交直线 4?x 于点 E 请问 OE 与 AP 是否平行，若平行，请证 明；若不平行，请说明理由； 求证： OEFODF ? BCAOyADxMPFOE4 19.（本小题满分 16分） 已知函数 3( ) 2 lnf x a x x x? ? ?， a?R （ 1）若曲线 ()y f x? 在 1x? 处的切线方程为 yb? ，求 ab? 的值； （ 2）在（ 1）的 条件下，求函数 ()fx 零点的个数； （ 3）若不等式 ( ) 2( ) 1f x x a? 对任意 (01x? ，
7、都成立，求 a 的取值范围 20.（本小题满分 16分） 已知数列 na 的首项为 2，前 n 项的和为 nS ，且11 1 241n n na a S? ?（ *n?N ） （ 1）求 2a 的值； （ 2）设1nnnnab aa? ? ，求 数列 nb 的通项公式； （ 3）若 m p ra a a， ， （ *m p r?， ， N ， m p r? ，）成 等比数列，试比较 2p 与 mr 的大小，并证明 5 江苏省海头高中 2017届高三年级第二学期周考（ 6） 数学 试题加试部分 (总分 40分，考试时间 30 分钟 ) 21 选做题 在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做 2
8、题 ,每小题 10分 ,计 20分 .请把答案写在答题纸的指定区域内 . A.（选修 4 1：几何证明选讲） 如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，延长 BC 到 D 使 BC CD? ，过 C 作圆 O 的切线交 AD 于E . 若 10AB? ， 3ED? ， 求 BC 的长 . B.（选修 4 2：矩阵与变换） 已知直线 :1l ax y?在矩阵 2 30 1A ?对应的变换作用下变为 直线 :1l x by? ?. （ 1）求实数 a ， b 的值； （ 2）若点 ),( 00 yxP 在直线 l 上，且 00xxAyy? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，求点 P
9、的坐标 C（选修 4 4：坐标系与参数方程） 已知曲线 C 的参数方程为 2cos2sinxtyt? ?（ t 为参数）， 曲线 C 在点 (1 3)， 处的切线为 l .以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 求 l 的极坐标方程 . D (选修 4-5：不等式选讲） 设 Rxy?， ， z ，且满足： 2 2 2+ +z 1xy ? ， 2 3 14xy? ? ?z ， 求证： 3 147x y z? ? ? . B A C DE O6 必做题 第 22、 23题 ,每小题 10分 ,计 20分 .请把答案 写在答题纸的指定区域内 . 22（ 本小题满分 10分 ） 如图，
10、 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， 1 2AA AB? （ 1）求 1AD 与面 11BBDD 所成角的正弦值； （ 2）点 E 在侧棱 1AA 上 ，若二面角 E BD C1的余弦值为 33，求1AEAA 的值 23（本小题满分 10分） 已知数列 na 和 nb 的通项公式分别为 3 19nan?， 2nnb? .将 na 与 nb 中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为 nc . （ 1）试写出 1c ， 2c ， 3c ， 4c 的值，并由此归纳数列 nc 的通项公式； （ 2）证明你在（ 1）所猜想的结论 . 1、 )3,2( ； 2、 2； 3、 16； 4、
11、28； 5、 4； 6、 32? ； 7、 32 ； 8、 ?16 ； 9、 -66； 10、 ? 101,0； 11、 ；A B C D A1 B1 C1 D1 （ 第 22 题） 7 12、 21? ； 13、 )2,0( ； 14、 516 15、 8 18、 9 19 （ 1） 2 1( ) 3 2f x ax x? ? ? ?， 由题意， (1) 0f? ? ， (1)fb? ，解得， 1a? ， 1b? ， 所以 0ab? （ 2）由（ 1）知， 3( ) 2 lnf x x x x? ? ?， 232 ( 1 ) ( 3 3 1 )1 3 2 1( ) 3 2 x x xxxf
12、x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?， 令 ( ) 0fx? ? ，得 1x? ， 且当 01x?时， ( ) 0fx? ? ；当 1x? 时， ( ) 0fx? ? ， 所以函数 ()fx在 (0,1) 上单调递减，在 (1, )? 上单调递增 因为 (1) 1 0f ? ? ，31 1 2( ) 1 0eeef ? ? ? ?， 3(e) e 2e 1 0f ? ? ? ?，函数 ()fx在 区间 1,1e 和 1,e上 的图象 是一 条不间断的曲线， 由 零点存在性定理 ， 所以 函数 ()fx有两个零点 （ 3）设 ( ) ( ) 2( )g x f x x a? ? ?，
13、即 3( ) 2 lng x ax a x? ? ?， (01x?， 32 1 3 1( ) 3 axg x a x xx? ? ? ?， 当 0a 时， ( ) 0gx? ? ，所以函数 ()gx 在 (01， 单调递减， 所以 ()gx 最小值为 (1) 3 0ga? ，不合题意； 10 当 0a? 时， 223 3 31 1 13 ( ) ( ( ) )3 3 3() a x x xa a agx x? ? ? ? ， 令 ( ) 0gx? ? ，得 3 13x a? 若 3 1 13a ，即 10 3a? 时，函数 ()gx 在 (01， 单调递减， 所以 ()gx 最小值为 (1)
14、3 0ga?，只需 31a ，即 13a ， 所以 13a? 符合； 若 3 1 13a? ，即 13a? 时，函数 ()gx 在 3 1(0, )3a 上单调减，在 3 1( ,13a 上单调增， 所以 ()gx 的最小值为 3 1 1 1( ) 2 ln 3 13 3 3g a aa ? ? ? ?， 所以 13a? 符合 综上， a 的取值范围是 13a 20、 （ 1）易得2 143a? （ 2）由11 1 241n n na a S? ?，得11241nnn n naaa a S? ? ?， 所以11241 nnnnnaaS aa? ? 所以12121241 nnnnnaaS aa?
15、 ? ， 由 - ，得1 2 112 1 12n n n nnn n n na a a aa a a a a? ? ? ? ?因为 1 0n? ? ，所以22 1 12nnn n n naaa a a a? ? ? 所以12 1 112nnn n n naaa a a a? ? ? ? ?，即12 1 1 1nnn n n naaa a a a? ? ?， 即 1 1nnbb? ?，所以数列 nb 是公差为 1的等差数列 因为112134ab aa? ，所以数列 nb 的通项公式为 14nbn? （ 3）由（ 2）知，114nnna naa? ?，所以1 1 4 311 4 14nna nan
16、n? ? ? ? ? ， 所以14( 1) 1 4 1nnaa? ? ? ?，所以数列41nan?是常数列由 1 24 1 1 3a ? ，所以 2(4 1)3nan? （方法一）由m p ra a a， ，（ m p r?）成等比数列， 则 41m? ， 41p? ， 41r? 成等比数列，所以 2( 4 1) ( 4 1)( 4 1)p m r? ? ? ?， 所以 21 6 8 1 6 4 ( ) 0p p m r m r? ? ? ? ?，即 24 2 4 ( ) 0p p m r m r? ? ? ? ?（ *） （途径一）（ *）式即为 24 2 4 ( ) 4 2p p m r m r m r m r? ? ? ? ? ?， 所以 2211(2 ) (2 )p m r? ? ?，即 112222p mr? ? ?，所以 p mr? ，即 2p mr? （途径二）（ *）式即为 24241p p rm r? ?
