1、 - 1 - 江西省红色七校 2019届高三数学第一次联考试题 理 考试时间： 120分钟 满分 150分 一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5分，共 60分） 1 已知复数 201812iz i? ? ，则复数 z 的虚部为（ ） A. 25? B. 25i? C. 15i D. 15 2.已知集合 ? ?421| ? xxP ， ? ?30| ? xNxQ 则 ?QP? （ ） A. 1,2 B. (0,2) C. 1,2 D. 1 3. 已知向量 ba?, 的夹角为 2|2|2|60 ? baa ? ， ，则 ?|? （ ） A 4 B 2 C. 2 D 1 4.执行如图所示的程
2、序框图，如果输出 s 4，那么判断框内应填入的条件是（ ） A. k 14? B. k 15? C. k 16? D. k 17? 5. 已 知直线 m ， n ，平面 ? ， ? ；命题 :p 若 ? / ? ,m / ? ,则 m /? ；命题 :q 若m / ? ,m / ? , n? ,则 m / n ，下列是真命题的是 ( ) A pq? B. ()pq? C. ()pq? D.()pq? ? 6.二项式 ? ? ?2 1011x x x? ? ?展开式中 4x 的系数为（ ） A. 120 B. 135 C. 140 D. 100 7.设 0a? ，则函数 ? ?y x x a?的
3、图象的大致形状是（ ） - 2 - 8.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ） A 12 B 13 C.41? D 42? 9. 一个半径为 1的球对称的消去了三部分，其俯视图如图所示，那么该 立体图形的表面积为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 10.函数 y=sin（ 2x 6? ）的图象与函数 y=cos（ x 3? ）的图象（ ） A有相同的对称 轴但无相同的对称中心 B有相同的对称中心但无相同的对称轴 C既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D既无相同的对称中心也无相同
4、的对称轴 11. 设抛物线 2 8yx? 的焦点为 F ，过点 ? ?4,0M 的直线与抛物线相交于 A ， B 两点，与抛物线的准线相交于 C ， 4BF? ，则 BCF 与 ACF 的面积之比 BCFACFSS ? （ ） A. 34 B. 45 C. 56 D. 25 12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： 1， 1， 2， 3， 5，- 3 - 8， 13? ，该数列的特点是：前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列 na 称为 “ 斐波那契数列 ” ，则 2017 2019aa ( )22018a
5、等于 ( ) A 1 B 1 C.2017 D 2017 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5分，共 20分） 13.设 x， y满足约束条件? x y 70 ，x 3y 10 ，3x y 50 ，则 z 2x y的最大值为 _. 14.已知 F1， F2为双曲线 C： x2 y2 2 的左、右焦点，点 P 在 C 上， |PF1| 2|PF2|，则 cosF1PF2 _ _. 15.小明有中国古代四大名著：三国演义，西游记，水浒传，红楼梦各一本，他 要将这四本书全部借给三位同学，每位同学至少一本，但西游记，红楼梦这两本书不能借给同一人，则不同的借法有 _. 16.定义：如果函数 )(x
6、f 在 ? ?ba, 上存在 )(, 2121 bxxaxx ? 满足， ab afbfxf ? )()()(1ab afbfxf ? )()()( 2 则称函数 )(xf 是 ? ?ba, 上的 “ 中值函数 ”. 已知函数mxxxf ? 23 2131)( 是 ? ?m,0 上的 “ 中值函数 ” ，则实数 的取值范围是 _. 三、解答题（本题共 6道小题 ,第 17题 10分 ,第 18 题 12分 ,第 19题 12分 ,第 20题 12分 ,第21题 12分 ,第 22题 12 分 ,共 70分） 17. ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 a（ sinA
7、 sinB） =（ c b）（ sinC+sinB） （ ）求角 C； （ ）若 c= 7 ， ABC的面积为 233 ，求 ABC 的周长 - 4 - 18.数列 ?na 满足 2111, 2 ( )nna a a n N ? ? ? ?. （ 1）求证：数列 ?2na 是等差数列，并求出 ?na 的通项公式； （ 2）若12nnnb aa? ?，求数列 ?nb 的前 n项和 . 19.如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长是 2，侧棱长是 3 ， D是 AC的中点。 （ 1）求二面角 A1-BD-A的大小； （ 2）在线段 AA1上是否存在一点 E，使得平面 B1C1E 平面 A1
8、BD，若存在，求出 AE的长；若不存在，说明理由。 20. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过 300） - 5 - 空气质量指数 ? ?50,0 ? ?100,50 ? ?150,100 ? ?200,150 ? ?250,200 ? ?300,250 空气质量等级 1级优 2级良 3级轻度污染 4级中度污染 5级重度污染 6级严重污染 该社团将该校区在 2018年 100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率 . （ ）请估 算 2018年（以 365
9、天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）； （ ）该校 2018年 6月 7、 8、 9日将作为高考考场，若这三天中某天出现 5级重度污染， 则该天 需要净化空气费用 1万 元，出现 6级严重污染， 则该天 需要净化空气费用 2万 元， 假设每天的空气质量等级相互独立， 记这三天净化空气总费用 X 万 元，求 X 的分布列及数学期望 . 21. 已知椭圆 )0(1:2222 ? babyaxC ，圆 0324: 22 ? yxyxQ 的圆心 Q 在椭圆 C上，点 )1,0(P 到椭圆 C 的右焦点的 距离为 2 （ ） 求椭圆 C 的方程； （ ） 过点 P 作直线 l 交椭圆 C
10、 于 BA, 两点，若 AQBS AQB ? tan ，求直线 l 的方程 - 6 - 22.已知函数 21( ) ln 12f x x ax bx? ? ? ?的图像在 1x? 处的切线 l 过点 11( , )22 . （ 1）若函数 ( ) ( ) ( 1) ( 0 )g x f x a x a? ? ? ?，求 ()gx的最大值（用 a 表示）； （ 2）若 4a? ， 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 3 2f x f x x x x x? ? ? ? ?，证明：1212xx?. - 7 - 2019 届高三红色七校第一次联考理科数学参考答案 1-12 ADDBD BBCCA D
11、A 13. 8 14 . 34 15.30 16. 33( , )42 17.解：（ ）由已知 a（ sinA sinB） =（ c b）（ sinC+sinB） 由正弦定理，得 a（ a b） =（ c b）（ c+b），（ 2 分） 即 a2+b2 c2=ab（ 3分） 所以 cosC= = ，又 C （ 0， ），所以 C= （ 5分） （ ）由（ ）知 a2+b2 c2=ab所以（ a+b） 2 3ab=c2=7， 又 S= sinC= ab= ， 所以 ab=6， 所以（ a+b） 2=7+3ab=25， 即 a+b=5（ 9分） 所以 ABC 周长为 a+b+c=5+ （ 10分）
12、 18. .6分.12分 19.（ 1）作 COAB 于 O，所以 CO 平面 ABB1A1， 所以在正三棱柱 ABC-A1B1C1中如图建立空间直角坐标系 O-xyz。 因为 AB=2， AA1= 3 ， D是 AC的中点。 所以 A（ 1， 0， 0）， B（ -l， 0， 0）， C（ 0， 0， 3 ）， A1（ 1， 3 ， 0），所以 D（ 21 ， 0， 23 ），BD =（ 23 ， 0， 23 ）， 1BA =（ 2， 3 ， 0）。 设 n=（ x， y， z）是平面 A1BD的法向量， - 8 - 所以?，001BAnBDn 即?,032,02323yxzx 令 x=-
13、3 ，则 y=2， z=3， 所以 n=（ - 3 ， 2， 3）是平面 A1BD 的一个法向量。 由题意可知 1AA =（ 0， 3 ， 0）是平面 ABD的一个法向量， 所以 cos=3432=21 。 由题知二面角 A1-BD-A为锐角，所以它的大小为3?。 .6分 （ 2）设 E（ 1， x， 0），则 EC1 =（ 1， x- 3 ， - 3 ）， 11 BC =（ -1， 0， - 3 ）， 设平面 B1C1E的法向量 m=（ x1， y1， z1）， 所以?，00111BCmECm 即?,03,03)3(11111 zx zyxx 令 z1=- 3 ，则 x1=3， y1=x?3
14、6， m=（ 3，x?36， - 3 ）， 又 mn=0 ，即 -3 3 +x?312-3 3 =0，解得 x= 33 ， 所以存在点 E，使得平面 B1C1E 平面 A1BD且 AE= 33 。 .12分 20试题解析 : （ ）由直方图可估算 2017年（以 365天计算）全年空气质量优良的天数为1105.1093653.0365)2.01.0( ? （天） .4分 （ ）由题可知， X 的所有可能取值 为： 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 则： 12564)54()0( 3 ?XP ， 12524)54(101)1( 213 ? CXP12527500108)54()101()
15、54()101()2( 2131223 ? CCXP 10004954101)101()101()3( 12133 ? CCXP 10002754)101(101)101()4( 223223 ? CCXP - 9 - 10003101)101()5( 223 ? CXP 10001)101()6( 3 ?XP .8 分 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 12564 12524 12527 100049 100027 10003 10001 . .10分 万元）(9.010001610003510002741000493125272125241125640?EX.12分 21
16、： 试题解析： （ 1）因为椭圆 C 的右焦点 )0,(cF ， 2?PF ，所以 3?c ， :因为 )1,2(Q 在椭圆 C 上，所以 11422 ?ba，由 322 ?ba ，得 62?a ， 32?b ，所以椭圆 C 的方程为136 22 ?yx .4分 （ 2）由 AQBS AQB ? tan 得： A Q BA Q BQBQA ? t a ns in21 ，即2cos ?AQBQBQA ，可得 ， 2?QBQA .6分 当 l 垂直 x 轴时， 2314)13,2()13,2( ? QBQA ， 此时满足题意，所以此时直线 l 的方程为 0?x ； .7分 当 l 不垂直 x 轴时
17、，设直线 l 的方程为 1?kxy ，由?1136 22kxyyx 消去 y 得044)21( 22 ? kxxk ， 设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 所以221 21 4kkxx ?，221 21 4kxx ?，代 2?QBQA 入 可得：2)1,2()1,2( 2211 ? yxyx ，代入 111 ?kxy ， 122 ?kxy ， ，得2)2()2( 21221 ? xxkxx ， - 10 - 代入化简得： 0221 821 )1(4222 ? ? kkkk ，解得 41?k ，经检验满足题意，则直线 l 的方程为 ： 044 ? yx 综上所述直线 l 的方程为 0?x 或 044 ? yx .
