1、 第 1 页（共 17 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题八专题八 分段函数分段函数（学生版）（学生版） 一选择题（共一选择题（共 19 小题）小题） 1 （2010天津）设函数 2 ( )2g xx， ( )4,( ) ( ) ( ),( ) g xxxg x f x g xx x g x ，则( )f x的值域是( ) A 9 ,0(1,) 4 B0，) C 9 ,0 4 D 9 ,0(2,) 4 2 （2010陕西）已知函数 2 32,1 ( ) ,1 xx f x xax x 若( (0)4f fa，则实数a等于( ) A 1 2 B 4 5 C2 D9 3 （2008天津
2、）已知函数 1,0 ( ) 1,0 xx f x xx ，则不等式(1) (1) 1xxf x 的解集是( ) A | 121xx剟 B |1x x C |21x x D |2121xx剟 4 （2006北京）已知 (31)4 ,1 ( ) log,1 a axa x f x x x 是(,) 上的减函数，那么a的取值范围 是( ) A(0,1) B 1 (0, ) 3 C 1 1 , ) 7 3 D 1 ,1) 7 5 （2006山东）设 1 2 3 2,2 ( ) log (1),2 x ex f x xx 则不等式( )2f x 的解集为( ) A(1，2)(3，) B( 10，) C(
3、1，2)( 10，) D(1,2) 6 （2005山东）函数 2 1 sin(), 10 ( ) ,0 x xx f x ex 若f（1）f（a）2，则a的所有可能 第 2 页（共 17 页） 值为( ) A1 B 2 2 C1， 2 2 D1， 2 2 7 （2018新课标）设函数 2,0 ( ) 1,0 x x f x x ，则满足(1)(2 )f xfx的x的取值范围是( ) A(，1 B(0,) C( 1,0) D(,0) 8 （2018新课标）已知函数 ,0 ( ) ,0 x ex f x lnx x ，( )( )g xf xxa若( )g x存在 2 个零 点，则a的取值范围是(
4、 ) A 1，0) B0，) C 1，) D1，) 9 （2019天津）已知函数 2,01, ( ) 1 ,1 xx f x x x 剟 若关于x的方程 1 ( )() 4 f xxa aR 恰有两 个互异的实数解，则a的取值范围为( ) A 5 4 ， 9 4 B 5 ( 4 ， 9 4 C 5 ( 4 ， 9 1 4 D 5 4 ， 9 1 4 10 （2010全国新课标） 已知函数 |,010 ( ) 1 6,10 2 lgxx f x xx ， 若a，b，c互不相等， 且f（a） f（b）f（c） ，则abc的取值范围是( ) A(1,10) B(5,6) C(10,12) D(20,
5、24) 11（2017天津） 已知函数 2 3,1 ( ) 2 ,1 xxx f x xx x ， 设aR， 若关于x的不等式( )| 2 x f xa 在R上恒成立，则a的取值范围是( ) A 47 16 ，2 B 47 16 ， 39 16 C 2 3，2 D 2 3， 39 16 12 （2017山东）设 ,01 ( ) 2(1),1 xx f x xx 若f（a）(1)f a，则 1 ( )(f a ) A2 B4 C6 D8 13 （2016天津）已知函数 2 (43)3 ,0 ( )(0,1) (1)1,0 a xaxa x f xaa logxx 在R上单调递减，且 第 3 页（
6、共 17 页） 关于x的方程|( )| 2f xx恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( ) A(0， 2 3 B 2 3 ， 3 4 C 1 3， 23 34 D 1 3， 23 ) 34 14 （2014上海）设 2 () ,0 ( ) 1 ,0 xax f x xa x x ，若(0)f是( )f x的最小值，则a的取值范围为( ) A 1，2 B 1，0 C1，2 D0，2 15 （2014辽宁）已知( )f x为偶函数，当0 x时， 1 cos,0, 2 ( ) 1 21,( ,) 2 x x f x xx ，则不等式 1 (1) 2 f x 的解集为( ) A 1 4 ， 2
7、4 33 ， 7 4 B 3 4 ， 11 34 ， 2 3 C 1 3， 34 43 ， 7 4 D 3 4 ， 11 33 ， 3 4 16 （2014重庆） 已知函数 1 3,( 1,0 ( )1 ,(0,1 x f xx xx ， 且( )( )g xf xm x m在( 1，1内 有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( ) A 9 ( 4 ，2(0， 1 2 B 11 ( 4 ，2(0， 1 2 C 9 ( 4 ，2(0， 2 3 D 11 ( 4 ，2(0， 2 3 17 （2009山东）定义在R上的函数( )f x满足 2 log (1),0 ( ) (1)(2),0 x
8、 x f x f xf xx ，则(2017)f 的值为( ) A1 B0 C1 D2 18（2009海南） 用min a，b，c表示a，b，c三个数中的最小值， 设( )2xf xmin，2x ， 10(0)xx，则( )f x的最大值为( ) A7 B6 C5 D4 19 （2003全国）设函数 1 2 210 ( ) 0 x x f x xx 若 0 ()1f x，则 0 x的取值范围是( ) A( 1,1) B( 1,) 第 4 页（共 17 页） C(，2)(0，) D(，1)(1，) 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 20 （2018天津）已知0a ，函数 2 2 2,0
9、 ( ) 22 ,0 xaxa x f x xaxa x 若关于x的方程( )f xax 恰有 2 个互异的实数解，则a的取值范围是 21 （2016江苏）设( )f x是定义在R上且周期为 2 的函数，在区间 1，1)上， , 10 ( ) 2 |,01 5 xax f x xx ，其中aR，若 59 ()( ) 22 ff，则(5 )fa的值是 22（2014新课标） 设函数 1 1 3 ,1 ( ) ,1 x ex f x xx ， 则使得( ) 2f x 成立的x的取值范围是 23 （2014安徽）若函数( )()f x xR是周期为 4 的奇函数，且在0，2上的解析式为 (1),01
10、 ( ) sin,12 xxx f x xx 剟 ，则 2941 ()() 46 ff 24 （2016北京）设函数 3 3 , ( ) 2 , xx x a f x x xa 若0a ，则( )f x的最大值为 ； 若( )f x无最大值，则实数a的取值范围是 第 5 页（共 17 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题八专题八 分段函数分段函数（教师版）（教师版） 一选择题（共一选择题（共 19 小题）小题） 1 （2010天津）设函数 2 ( )2g xx， ( )4,( ) ( ) ( ),( ) g xxxg x f x g xx x g x ，则( )f x的值域是( )
11、A 9 ,0(1,) 4 B0，) C 9 ,0 4 D 9 ,0(2,) 4 【答案】D 【解析】( )xg x，即 2 2xx，即 1x 或 2x ( )x g x，即12x 剟 由题意 22 22 2( )2(,1)( 2 ,) ( ) 2( )2 , 1,2 xxxg xxxx f x xxx g xxxx 2 2 17 (),(, 1)(2,) 24 19 (), 1,2 24 xx xx ， 所以当(x ，1)(2，)时，由二次函数的性质可得( )(2f x ，)； 1x ，2时，由二次函数的性质可得 9 ( ) 4 f x ，0， 2 （2010陕西）已知函数 2 32,1 (
12、) ,1 xx f x xax x 若( (0)4f fa，则实数a等于( ) A 1 2 B 4 5 C2 D9 【答案】C 【解析】由题知(0)2f，f（2）42a，由424aa，解得2a 3 （2008天津）已知函数 1,0 ( ) 1,0 xx f x xx ，则不等式(1) (1) 1xxf x 的解集是( ) A | 121xx剟 B |1x x C |21x x D |2121xx剟 第 6 页（共 17 页） 【答案】C 【解析】依题意得 101 0 1111 xx xxxxxx 或 剟 所以 1 1 112121 2121 x x xxx xRx 或或 剟? 剟 故选：C 4
13、 （2006北京）已知 (31)4 ,1 ( ) log,1 a axa x f x x x 是(,) 上的减函数，那么a的取值范围 是( ) A(0,1) B 1 (0, ) 3 C 1 1 , ) 7 3 D 1 ,1) 7 【答案】C 【解析】依题意，有01a且310a ，解得 1 0 3 a， 又当1x 时，(31)471axaa，当1x 时，log0 ax ， 因为( )f x在R上单调递减，所以71 0a 解得 1 7 a 综上： 11 73 a 5 （2006山东）设 1 2 3 2,2 ( ) log (1),2 x ex f x xx 则不等式( )2f x 的解集为( )
14、A(1，2)(3，) B( 10，) C(1，2)( 10，) D(1,2) 【答案】C 【解析】令 1 22(2) x ex ，解得12x 令 2 3 log (1)2(2)xx ，解得 x为( 10，) 6 （2005山东）函数 2 1 sin(), 10 ( ) ,0 x xx f x ex 若f（1）f（a）2，则a的所有可能 值为( ) A1 B 2 2 C1， 2 2 D1， 2 2 第 7 页（共 17 页） 【答案】C 【解析】由题意知，当10 x 时， 2 ( )sin()f xx； 当0 x时， 1 ( ) x f xe ；f（1） 1 1 1e 若f（1）f（a）2，则f
15、（a）1； 当0a时， 1 1 a e ，1a；当10a 时， 2 sin()1x， 2 1 2 x ， 2 2 x （不满足条件，舍去） ，或 2 2 x 所以a的所有可能值为：1， 2 2 7 （2018新课标）设函数 2,0 ( ) 1,0 x x f x x ，则满足(1)(2 )f xfx的x的取值范围是( ) A(，1 B(0,) C( 1,0) D(,0) 【答案】D 【解析】函数 2 ,0 ( ) 1,0 x x f x x ，的图象如图： 满足(1)(2 )f xfx，可得：201xx或21 0 xx ，解得(,0)x 故选：D 8 （2018新课标）已知函数 ,0 ( )
16、,0 x ex f x lnx x ，( )( )g xf xxa若( )g x存在 2 个零 点，则a的取值范围是( ) A 1，0) B0，) C 1，) D1，) 【答案】C 第 8 页（共 17 页） 【解析】由( )0g x 得( )f xxa ，作出函数( )f x和yxa 的图象如图： 当直线yxa 的截距1a ，即1a时，两个函数的图象都有 2 个交点， 即函数( )g x存在 2 个零点，故实数a的取值范围是 1，)，故选：C 9 （2019天津）已知函数 2,01, ( ) 1 ,1 xx f x x x 剟 若关于x的方程 1 ( )() 4 f xxa aR 恰有两 个
17、互异的实数解，则a的取值范围为( ) A 5 4 ， 9 4 B 5 ( 4 ， 9 4 C 5 ( 4 ， 9 1 4 D 5 4 ， 9 1 4 【答案】D 【解析】作出函数 2,01, ( ) 1 ,1 xx f x x x 剟 的图象，以及直线 1 4 yx 的图象， 关于x的方程 1 ( )() 4 f xxa aR 恰有两个互异的实数解， 即为( )yf x和 1 4 yxa 的图象有两个交点， 平移直线 1 4 yx ，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时， 有两个交点，可得 9 4 a 或 5 4 a ， 考虑直线与 1 y x 在1x 相切，可得 2 1 1 4 axx，
18、由 2 10a ，解得1( 1a 舍去） ， 综上可得a的范围是 5 4 ， 9 1 4 第 9 页（共 17 页） 故选：D 10 （2010全国新课标） 已知函数 |,010 ( ) 1 6,10 2 lgxx f x xx ， 若a，b，c互不相等， 且f（a） f（b）f（c） ，则abc的取值范围是( ) A(1,10) B(5,6) C(10,12) D(20,24) 【答案】C 【解析】作出函数( )f x的图象如图，不妨设abc，则 1 6(0,1) 2 lgalgbc 1ab ， 1 061 2 c ， 则(10,12)abcc 故选：C 11（2017天津） 已知函数 2
19、3,1 ( ) 2 ,1 xxx f x xx x ， 设aR， 若关于x的不等式( )| 2 x f xa 在R上恒成立，则a的取值范围是( ) A 47 16 ，2 B 47 16 ， 39 16 C 2 3，2 D 2 3， 39 16 【答案】A 【解析】当1x时，关于x的不等式( )| 2 x f xa在R上恒成立， 即为 22 33 2 x xxa xx剟，即有 22 13 33 22 xxa xx剟， 由 2 1 3 2 yxx 的对称轴为 1 1 4 x ，可得 1 4 x 处取得最大值 47 16 ； 第 10 页（共 17 页） 由 2 3 3 2 yxx的对称轴为 3 1
20、 4 x ，可得 3 4 x 处取得最小值 39 16 ， 则 4739 1616 a剟 当1x 时，关于x的不等式( )| 2 x f xa在R上恒成立， 即为 22 () 2 x xa x xx 剟，即有 322 () 22 x xa xx 剟， 由 3232 ()22 3 22 x yx xx （当且仅当 2 1) 3 x 取得最大值2 3； 由 1212 22 22 yxx xx （当且仅当21)x 取得最小值 2 则2 32a剟 由可得， 47 2 16 a剟 12 （2017山东）设 ,01 ( ) 2(1),1 xx f x xx 若f（a）(1)f a，则 1 ( )(f a
21、) A2 B4 C6 D8 【答案】C 【解析】当(0,1)a时， ,01 ( ) 2(1),1 xx f x xx ，若f（a）(1)f a，可得2aa， 解得 1 4 a ，则： 1 ( )ff a （4）2(41)6 当1a，)时 ,01 ( ) 2(1),1 xx f x xx ，若f（a）(1)f a， 可得2(1)2aa，显然无解 13 （2016天津）已知函数 2 (43)3 ,0 ( )(0,1) (1)1,0 a xaxa x f xaa logxx 在R上单调递减，且 关于x的方程|( )| 2f xx恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( ) A(0， 2 3 B
22、2 3 ， 3 4 C 1 3， 23 34 D 1 3， 23 ) 34 【答案】C 【解析】log (1)1ya x在0，)递减，则01a， 函数( )f x在R上单调递减，则： 第 11 页（共 17 页） 2 34 0 2 01 0(43) 03(01)1 a a a aa log ；解得， 13 34 a剟； 由图象可知，在0，)上，|( )| 2f xx有且仅有一个解， 故在(,0)上，|( )| 2f xx同样有且仅有一个解， 当32a 即 2 3 a 时，联立 2 |(43)3 | 2xaxax， 则 2 (42)4(32)0aa，解得 3 4 a 或 1（舍去） ， 当1 3
23、2a剟时，由图象可知，符合条件， 综上：a的取值范围为 1 3， 23 34 ，故选：C 14 （2014上海）设 2 () ,0 ( ) 1 ,0 xax f x xa x x ，若(0)f是( )f x的最小值，则a的取值范围为( ) A 1，2 B 1，0 C1，2 D0，2 【答案】D 【解析】当0a 时，显然(0)f不是( )f x的最小值， 当0a时， 2 (0)fa，由题意得： 2 1 axa x ， 解不等式： 2 2 0aa ，得12a 剟，02a 剟， 15 （2014辽宁）已知( )f x为偶函数，当0 x时， 1 cos,0, 2 ( ) 1 21,( ,) 2 x x
24、 f x xx ，则不等式 第 12 页（共 17 页） 1 (1) 2 f x 的解集为( ) A 1 4 ， 24 33 ， 7 4 B 3 4 ， 11 34 ， 2 3 C 1 3， 34 43 ， 7 4 D 3 4 ， 11 33 ， 3 4 【答案】A 【解析】当0 x， 1 2 ，由 1 ( ) 2 f x ，即 1 cos 2 x，则 3 x ，即 1 3 x ， 当 1 2 x 时，由 1 ( ) 2 f x ，得 1 21 2 x ，解得 3 4 x ， 则当0 x时，不等式 1 ( ) 2 f x 的解为 13 34 x剟， （如图）则由( )f x为偶函数， 当0 x
25、 时，不等式 1 ( ) 2 f x 的解为 31 43 x剟， 即不等式 1 ( ) 2 f x 的解为 13 34 x剟或 31 43 x剟， 则由 13 1 34 x 剟或 31 1 43 x剟，解得 47 34 x剟或 12 43 x剟， 即不等式 1 (1) 2 f x 的解集为 12 | 43 xx剟或 47 34 x剟，故选：A 16 （2014重庆） 已知函数 1 3,( 1,0 ( )1 ,(0,1 x f xx xx ， 且( )( )g xf xm x m在( 1，1内 有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( ) A 9 ( 4 ，2(0， 1 2 B 11 (
26、4 ，2(0， 1 2 C 9 ( 4 ，2(0， 2 3 D 11 ( 4 ，2(0， 2 3 【答案】A 【解析】由( )( )0g xf xmxm，即( )(1)f xm x， 分别作出函数( )f x和( )(1)yh xm x的图象如图： 第 13 页（共 17 页） 由图象可知f（1）1，( )h x表示过定点( 1,0)A 的直线， 当( )h x过(1,1)时， 1 2 m 此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是 1 0 2 m， 当( )h x过(0, 2)时，(0)2h ，解得2m ，此时两个函数有两个交点， 当( )h x与( )f x相切时，两个函数只有一
27、个交点，此时 1 3(1) 1 m x x ， 即 2 (1)3(1) 10m xx ， 当0m 时， 2 3 x ，只有 1 解， 当0m ，由940m得 9 4 m ，此时直线和( )f x相切， 要使函数有两个零点，则 9 2 4 m或 1 0 2 m，故选：A 17 （2009山东）定义在R上的函数( )f x满足 2 log (1),0 ( ) (1)(2),0 x x f x f xf xx ，则(2017)f 的值为( ) A1 B0 C1 D2 【答案】A 【解析】定义在R上的函数( )f x满足 2 log (1),0 ( ) (1)(2),0 x x f x f xf xx
28、 ， ( 1)1f，(0)0f，f（1）(0)( 1)1ff ，f（2）f（1）(0)1f ， f（3）f（2）f（1）0，f（4）f（3）f（2）1， f（5）f（4）f（3）1，f（6）f（5）f（4）0， 第 14 页（共 17 页） f（7）f（6）f（5）1 ， 故当xN时，函数值以 6 为周期，呈现周期性变化，故(2017)ff（1）1 ， 18（2009海南） 用min a，b，c表示a，b，c三个数中的最小值， 设( )2xf xmin，2x ， 10(0)xx，则( )f x的最大值为( ) A7 B6 C5 D4 【答案】B 【解析】 画出2xy ，2yx，10yx的图象，
29、 观察图象可知， 当02x剟时，( )2xf x ， 当24x剟时，( )2f xx，当4x 时，( )10f xx，( )f x的最大值在4x 时取得为 6， 故选：B 19 （2003全国）设函数 1 2 210 ( ) 0 x x f x xx 若 0 ()1f x，则 0 x的取值范围是( ) A( 1,1) B( 1,) C(，2)(0，) D(，1)(1，) 【答案】D 【解析】当 0 0 x 时， 0 21 1 x ，则 0 1x ， 当 0 0 x 时， 1 2 0 1x则 0 1x ，故 0 x的取值范围是(，1)(1，)，故选：D 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题）
30、 20 （2018天津）已知0a ，函数 2 2 2,0 ( ) 22 ,0 xaxa x f x xaxa x 若关于x的方程( )f xax 恰有 2 个互异的实数解，则a的取值范围是 【答案】(4,8) 第 15 页（共 17 页） 【解析】当0 x时，由( )f xax得 2 2xaxaax，得 2 0 xaxa， 得 2 (1)a xx，得 2 1 x a x ， 设 2 ( ) 1 x g x x ，则 22 22 2 (1)2 ( ) (1)(1) x xxxx g x xx ， 由( )0g x得21x 或10 x ，此时递增， 由( )0g x得2x ，此时递减，即当2x 时
31、，( )g x取得极小值为( 2)4g ， 当0 x 时，由( )f xax得 2 22xaxaax，得 2 20 xaxa， 得 2 (2)a xx，当2x 时，方程不成立，当2x 时， 2 2 x a x 设 2 ( ) 2 x h x x ，则 22 22 2 (2)4 ( ) (2)(2) x xxxx h x xx ，由( )0h x得4x ，此时递增， 由( )0h x得02x或24x， 此时递减， 即当4x 时，( )h x取得极小值为h（4）8， 要使( )f xax恰有 2 个互异的实数解，则由图象知48a， 故答案为：(4,8) 21 （2016江苏）设( )f x是定义在
32、R上且周期为 2 的函数，在区间 1，1)上， , 10 ( ) 2 |,01 5 xax f x xx ，其中aR，若 59 ()( ) 22 ff，则(5 )fa的值是 第 16 页（共 17 页） 【答案】 2 5 【解析】( )f x是定义在R上且周期为 2 的函数， 在区间 1，1)上， , 10 ( ) 2 |,01 5 xax f x xx ， 511 ()() 222 ffa ， 91211 ( )( ) | 225210 ff， 3 5 a， (5 )faf（3） 32 ( 1)1 55 f ，故答案为： 2 5 22（2014新课标） 设函数 1 1 3 ,1 ( ) ,1
33、 x ex f x xx ， 则使得( ) 2f x 成立的x的取值范围是 【答案】8x 【解析】1x 时， 1 2 x e ，2 1x ln，1x；1x时， 1 3 2x ，8x ， 18x 剟， 综上，使得( ) 2f x 成立的x的取值范围是8x故答案为：8x 23 （2014安徽）若函数( )()f x xR是周期为 4 的奇函数，且在0，2上的解析式为 (1),01 ( ) sin,12 xxx f x xx 剟 ，则 2941 ()() 46 ff 【答案】 5 16 【解析】 函数( )()f x xR是周期为 4 的奇函数，且在0，2上的解析式为 (1),01 ( ) sin,
34、12 xxx f x xx 剟 ， 则 2941 ()() 46 ff 37 (8)(8) 46 ff 37 ()() 46 ff 37 ( )( ) 46 ff 337 (1)sin 446 315 16216 故答案为： 5 16 24 （2016北京）设函数 3 3 , ( ) 2 , xx x a f x x xa 若0a ，则( )f x的最大值为 ； 若( )f x无最大值，则实数a的取值范围是 【答案】2，(, 1) 【解析】若0a ，则 3 3 ,0 ( ) 2 ,0 xx x f x x x ，则 2 33,0 ( ) 2,0 xx fx x ， 第 17 页（共 17 页） 当1x 时，( )0fx，此时函数为增函数，当1x 时，( )0fx，此时函数为减函数， 故当1x 时，( )f x的最大值为 2； 2 33, ( ) 2, xx a fx xa ，令( )0fx，则1x ， 若( )f x无最大值，则 3 1 23 a aaa ，或 3 1 23 22 a aaa a ，解得：(, 1)a
