1、 1 江西省七校 2018 届高三数学第一次联考试题 理 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.在右边 Venn 图中， 设全集 ,U?R 集合 ,AB分别用椭圆内图形表示，若集合? ? ? ? ?2 2 , ln 1A x x x B x y x? ? ? ? ?，则 阴影部分 图形 表示的集合为 A ? ?1xx? B ? ?1xx? C ? ?01xx? D ? ?12xx? 2 已知复数 201811? ? iizi（ i 为虚数单位），则 z 的虚部 （ ） A. 1 B. -1 C. i D. -i 3 若 110a
2、b?，则下列结论不正确 的是 A 22ab? B 2ab b? C 0ab? D a b a b? ? ? 4 已知 ， 是两条不同直线 , 是一个平面 ,则下列命题中正确的是 ( ) A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 5.在斜三角形 ABC 中， tan tan tan2tan tan tanA B CA B C? ?（ ） A. 1 B. 12 C. 2 D. 3 6 下列命题中，正确的是（ ） A23co ss in, 000 ? xxRxB. 已知 x 服从正态分布 ? ?20 ?，N ，且 ? ? 6.022- ? xP ，则 ? ? 2
3、.02 ?xP C. 已知 a ， b 为实数，则 0?ba 的充要条件是 1?baD. 命题： “ 01, 2 ? xxRx ” 的否定是 “ 01, 0200 ? xxRx ” 2 7 观察数组： ? ?1,1, 1?， ? ?1,2,2 ， ? ?3,4,12 ， ? ?5,8,40 ， ? ， ? ?,nnna b c ，则 nc 的值不可能为（ ） A. 112 B. 278 C. 704 D. 1664 8 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章 “ 盈不足 ” 中有一道两鼠穿墙问题： “ 今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？ ”
4、 现用程序框图描述，如图所示，则输出结果 ?n （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9已 知函数 ( ) s in 3 c o s ( )f x x x x R? ? ?, 先将 ()y f x? 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动 ? （ 0? ）个单位长度，得到的图象关于直线 ?43?x 对称， 则 ? 的最小值为 （ ） A. 6? B. 3? C. 512? D. 23? 10 已知 F 为双曲线 C ： 221xyab?（ 0a? ， 0b? ）的右焦点， 1l ， 2l 为 C 的两条渐近线，点 A 在 1l
5、上，且 1FA l? ，点 B 在 2l 上，且 1FBl ，若 45FA FB? ，则双曲线 C的离心率为（ ） A 5 B. 52 C. 52 或 352 D. 52 或 5 11 如图，梯形 ABCD 中， AB CD ， 2AB? ， 4CD? ， 5BC AD?, E 和3 F 分别为 AD 与 BC 的中点，对于常数 ? ，在梯形 ABCD 的四条边上恰好有 8 个不同的点P ，使得 PE PF ?成立，则实数 ? 的取值范围是（ ） A. 59,4 20?B. 5 11,44?C. 1 11,44?D. 91,20 4?12已知函数 ? ? ln(2 )xfx x? ，关于 x
6、的不等式 ? ? ? ?2 0f x af x?只有两个整数解，则实数 a 的取值范围是 A 1( ,ln23 B 1( ln 2, ln6)3? C 1( ln 2, ln63? D 1( ln6,ln2)3? 二、填空题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 13 设 ? ? ?0 )sin(cos dxxxa，则二项式 6)1(xxa ?的展开式中含 2x 项的系数为 _ 14 设 ,xy满足约束条件?30102xyxyx ，若z mx y?的最小值为 3? ，则 m 的值为 . 15 设 1x 、 2x 、 3x 、 4x 为自然数 1、 2 、 3 、 4 的一个全排列，且满足1 2
7、3 41 2 3 4 6x x x x? ? ? ? ? ? ? ?，则这样的排列有 _个 16 已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 2 ，当球的体积最小时，正六棱柱 底面边长为 三、解答题（ 17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分） 17 如图，在 中，已知点 在边 上， ， ， ， . （ 1）求 的值； （ 2）求 的长 . 4 18 已知数列 ?na 满足 2312232 2 2 2 nnaaaa nn? ? ? ? ? ?() 求数列 ?na 的通项公式； () 若 ? ?12n nn ab ?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nS . 19（本小题
8、满分 12 分） 为了解 患肺心病 是否与性别有关， 在某医院 对 入院者用简单随机抽样方法抽取 50 人 进行调查，结果如下列联 表 : （）是否有 99.5% 的把握认为入院者中患肺心病与性别有关？请说明理由； （）已知在患肺心病的 10 位女性中，有 3 位患胃病现在从这 10 位女性中，随机选出 3 名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为 ? ，求 ? 的分布列和数学期望； 附： 2()PK k? 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22 ()(
9、)( )( )( )n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ? 20（本小题满分 12 分） 有一个侧面是正三角形的四棱锥 P ABCD? 如图（ 1），它的三视图如图（ 2） （）证明： AC? 平面 PAB ； （）求平面 PAB 与正三角形侧面所成二面角的余弦值 5 21、已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 21 ，它的一个顶点恰好是抛物线 yx 382 ? 的焦点。 （ 1）求椭圆 C 的标准方程。 （ 2）已知点 )0)(,2(),2( ? ttQtP 在椭圆 C 上，点 A、 B 是椭圆 C 上不同于 P、 Q 的两个动点，且满足：
10、 BPQAPQ ? 。试问：直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由。 22已知函数 ? ? 2xf x e ax bx? ? ? （ 1）当 0a? ， 0b? 时，讨论函数 ?fx在区间 ? ?0,? 上零点的个数； （ 2）当 ba? 时，如果函数 ?fx恰有两个不同的极值点 1x ， 2x ，证明： ? ?12ln 22xx a? ? 6 江西省红色七校 2018 届高三第一次联考数学理科答案 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1-5 DADCB 6-10 BBBAD 11-12 DC 二、填空题 (每小题 5 分，共
11、20 分 ) 13 192 14 23m? 15 9 16 63 17 解 :(1)在 中 , , ， 所以 . ? (2 分 ) 同理可得 , . ? (3 分 ) 所以 .? (5 分 ) (2)在 中 ,由正弦定理得 , . ? (7 分 ) 又 ,所以 . ? (8 分 ) 又 在 中 ,由余弦定理得 , .? (10分 ) 18 () 12nnan? ； （ 5 分） () ? ? ? 13 1 2 29 nn nS? ? ? .（ 7 分） 19. （）因为 22 5 0 (2 0 1 5 1 0 5)2 5 2 5 3 0 2 0K ? ? ? ? ? ?，所以 2 25 8.3
12、333K ? ， ? ? ?( 2分 ) 又 7.789 8.333?10.828，且 2( 7.789) 0.05 0.5%PK ? ? ? ，? ?( 37 分 ) 故，我们有 99.5% 的把握认为入院者中患肺心病是与性别有关系的 ? ? ? ? ?( 5分 ) （） ? 的所有可能取值： 0， 1， 2， 3 ， 37310 3 5 7( 0 ) 1 2 0 2 4CP C? ? ? ? ?， 1237310 6 3 2 1( 1) 1 2 0 4 0CCP C? ? ? ? ?， ? ?（ 8分） 2137310 2 1 7( 2 ) 1 2 0 4 0CCP C? ? ? ? ?，
13、 33310 1( 3) 120CP C? ? ? ?，? ? ? ? ?（ 10分） 分布列如下： ? 0 1 2 3 P 724 2140 740 1120 则 7 2 1 7 1 90 1 2 32 4 4 0 4 0 1 2 0 1 0E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 12分） 20. （ ） 由三视图可知，四棱锥 P ABCD? 中 PA? 平面 ABCD ， ? ? ? (1分 ) 同时， 2 2 2BC AD CD? ? ?，四边形 ABCD 为直角梯形 ? ? ? ? ? (2分 ) 过点 A 作 AG BC? 于 G ，则 1AG CD?, 1GC AD?
14、 22 2AC AD CD? ? ?, 2 2 2 21 ( 2 1 ) 2A B A G B G? ? ? ? ? ?， 2 2 2AC AB BC?，故 AC AB? ? ? ? ? ? (4分 ) PA? 平面 ABCD, AC? 平面 ABCD, PA AC? .? ? ? ? (5 分 ) PA AB A? ， AC? 平面PAB ? ? ? ? ? (6 分 ) 8 （ ） 由三视图可知，四棱锥 P ABCD? 的 正三角形侧面为面 PBC ? ? ? ? ? (7分 ) PBC? 为正三角形， 2PB BC?在 Rt PAB? 中， 22 2PA PB AB? ? ? 以 A 为
15、原点， ,AG ADAP 分别为 ,xyz 轴建立空间直角坐标系， 有 (0 , 0 , 2 ), (1, 1, 0 ), (1,1, 0 )P B C? ? ? ? ? ? (8 分 ) 由 （ ） 知 (1,1,0)AC? 是平面 PAB 的一条法向 量 ? ? ? ? (9分 ) 向量 (0 , 2 , 0 ), (1,1, 2 )B C P C? ? ?， 设平 面 PBC 的法向量为 ( , , )x y z?n ，由 0,0,BCPC? ?nn，得 n 的一组解 (2,0, 2)?n ? (10分 ) 设平面 ABP 与正三角形侧面 PBC 所成二面角为 ? ，则 3cos3ACA
16、C?nn ? ? (12分 ) 9 21、 22 解： （ 1）当 0a? ， 0b? 时，函数 ?fx在区间 ? ?0,? 上的零点的个数即方程 2xe ax? 根的个数 由 22xx ee ax a x? ? ?， ? (1分 ) 10 令 ? ? ? ? ? ? ? ? ?223222xxx x e x e xeh x h xxxx? ? ? ?， ? (2分 ) 则 ?hx在 ? ?0,2 上单调递减，这时 ? ? ? ? ?2,h x h? ?； ?hx在 ? ?2,? 上单调递增，这时? ? ? ? ?2,h x h? ? 所以 ?2h 是 ? ?y h x? 的极小值即最小值，即
17、 ? ? 22 4eh ? 所以函数 ?fx在区间 ? ?0,? 上零点的个数，讨论如下： 当 20,4ea ?时，有 0 个零点； ? (3 分 ) 当 24ea? 时，有 1个零点； ? (4 分 ) 当 2 ,4ea ? ?时，有 2 个零点 ? (5 分 ) （ 2） 由已知 ? ? 2xf x e ax ax? ? ?， ? ? ? 2xf x e ax a? ? ? ?， 1x ， 2x 是函数 ?fx的两个不同极值点（不妨设 12xx? ）， ? 0a? （若 0a? 时， ? ? 0fx? ? ，即 ?fx是 R 上的增函数，与已知矛盾）， 且 ? ?1 0fx? ? ， ? ?2 0fx? ? ? 1 120xe ax a? ? ?， 2 220xe ax a? ? ? (6 分 ) 两式相减得： 12122 xxeea xx? ? ， ? ? (7 分 ) 于是要证明 ? ?12ln 22xx a? ? ，即证明 12 12212xx xxeeexx? ?，两边同除以 2xe ， 即
