1、 - 1 - 江西省新干县第二中学 2018 届高三数学第七次月考试题 文 一、单选题 1 若全集 ，则 （ ） A. B. C. D. 2 若 是虚数单位，且 ，则 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 3 已知命题 “ ，有 成立 ” ，则命题 为（ ） A. ，有 成立 B. ，有 成立 C. ,有 成立 D. ,有 成立 4 下列函数中 ,既是偶函数，又在 上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 5 已知双曲线 的一条渐近线为 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 6 已知 ABCD 为长方形， 2, 1AB BC? ， O 为 AB 的中
2、点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为（ ） A. 4? B. 14? C. 8? D. 18? 7 执行如图所求的程序框图，输出的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8 若 是两个正数，且 这三个数可适当排序后等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 20 9 祖暅原理： “ 幂势既同，则积不容异 ” ，其中 “ 幂 ” 是截面积， “ 势 ”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积恒相等，则它们的体积相等 .已知一几何体的三视图如图所示，若该几何体与另一不规则几何体
3、满足 “ 幂势同 ” ，则该不规则几何体的体积为 （ ） - 2 - A. B. C. D. 10 是圆 上任意一点，若点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 11 已知函数 的最大值为 2，周期为 ，将函数 图象上的所有点向右平移 个单位得到函数 的图象，若函数 是偶函数，则函数 的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 12 已知函数 ，当 时， ，若在区间 内，有两个不同的 零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13 已知向量 ，则使得 且 最大时的 的值为 _ 14 实数 满足条件 ，则 的最小值为 _
4、 15 过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线 交抛物线于 两点，则以 为直径的圆的标准方程为 _ 16 定义区间 的长度为 ， 为等差数列 的前 项和，且 ，则区间的长度为 _ 三、解答题 17 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，且满足 . （ 1）求边长 ； （ 2）若 是锐角三角形，且面积 ，求 外接圆的半径 . - 3 - 18 为了丰富退休生活，老王坚持每天健步走，并用 计步器记录每天健步走的步数 .他从某月中随机抽取 20 天的健 步走步数（老王每天健步走的步数都在之间，单位：千步），绘制出频率分布直方图（不完整）如图所示 . （ 1）完成频率分布直方图，并估计该月老王每天健步走的
5、平均步数 (每组数据可用区间中点值代替； （ 2）某健康组织对健步走步数的评价标准如下表 : 每天步数分组 (千步 ) 评价级别 及格 良好 优秀 现从这 20 天中评价级别是 “ 及格 ” 或 “ 良好 ” 的天数里随机抽取 2 天，求这 2 天的健步走结果属于同一评价级别的概率 . 19 如图，点 在以 为直径的圆 上， 垂直于圆 所在的平面， 为 的中点， 为的重心 . （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）若 ，求三棱锥 的体积 . 20 已知 O 为坐标原点， 12,FF为椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的左、右焦点，其离心率 32e? ， M 为椭圆 C
6、上的动点， 12MFF?的周长为 4 2 3? . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）已知椭圆的右顶点为 A ，点 ,BC（ C 在第一象限）都在 椭圆上，若 OC BA? ，且 0OCOB? ，求实数 ? 的值 . 21 设函数 ? ? ln ,kf x x k Rx? ? ?。 （ 1）若曲线 ? ?y f x? 在点 ? ? ?,e f e 处的切线与直线 20x? 垂直，求 ?fx的单调递减区间和极小值（其中 e 为自然对数的底数）； （ 2）若对任意 ? ? ? ?1 2 1 2 1 20,x x f x f x x x? ? ? ? ?恒成立，求 k 的取值范围。 - 4 -
7、22 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的参数方程为 1x cosy sin ?（ ? 为参数 ， ? ?0,? ），直线 l 的极坐标方程为 42sin 4? ? ?. （ 1）写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （ 2） P 为曲线 C 上任意一点， Q 为直线 l 任 意一点，求 PQ 的最小值 . 23 选修 4-5：不等式选讲 设函数 ? ? 2 4 6f x x x? ? ? ? ?. （ 1）求不等式 ? ? 0fx? 的解集； （ 2）若 ? ? 2f x a x? ? ?存在实数
8、解，求实数 a 的取值范围 . 参考答案 1-5ADBDA 6-12BBCACCD 13 2 14 -3 15 16 511020 17 （ 1） ;（ 2） . 试题解析：（ 1） ， ， ， ， ， . （ 2） ， ， ，又 为锐角， ， ， ， 外接圆的半径 . 18 （ 1）见解析 ;（ 2） . 19 （ 1）见解析 ;（ 2） . - 5 - 20 （ 1） 2 2 14x y?；（ 2） 32? . （ 1）因为 12MFF? 的周长为 4 2 3? ，所以 2 2 4 2 3ac? ? ? ， ， 由题意 22 32c a be aa? ? ? ，联立 解得 2, 3ac?，
9、 1b? ， 所以椭圆的方程为 2 2 14x y?； （ 2）设直线 OC 的斜率为 k ，则直线 OC 方程为 y kx? ， 代入椭圆方程 2 2 14x y?并整理得 ? ?221 4 4kx?， 2214Cx k? ? ，所以2222,1 4 1 4kC kk?，又直线 AB 的方程为 ? ?2y k x?， 代入椭圆方程并整理得 ? ?2 2 2 21 4 1 6 1 6 4 0k x k x k? ? ? ? ?， 2216 42, 14A A B kx x x k? ?， 222 2 28 2 8 2 4,1 4 1 4 1 4B k k kxBk k k? ? ? ? ? ?
10、， 因为 0OCOB? ，所以 222228 2 2 4 2 01 4 1 41 4 1 4k k kkkkk? ?， 所以 2 12k ? ，因为 C 在第一象限，所以 0k? ， 22k? ， 因为2222,1 4 1 4kOC kk? ?， ? ?22 2 2 22 4 1 4 4 42 , 0 ,1 4 1 4 1 4 1 4k kkBAk k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由 OC BA? ，得 2 14k?， 22k? ， 32? . 21（ 1）单调递减区间为 ? ?0,e ，极小值 为 2（ 2） 1,4?试题解析：（ 1）由条件得 ? ?21 ( 0)kf
11、x xxx? ? ?， - 6 - 曲线 ? ?y f x? 在点 ? ? ?,e f e 处的切线与直线 20x? 垂直， 此切线的斜率为 0，即? ? 0fe? ? ，有 21 0kee?，得 ke? ， ? ?221 ( 0 )e x ef x xx x x? ? ? ?，由 ? ? 0fx? ? 得 0 xe?，由 ? ? 0fx? ? 得 xe? ?fx在 ? ?0,e 上单调递减，在 ? ?,e? 上单调递增，当 xe? 时， ?fx取得极小值? ? ln 2ef x e e? ? ? 故 ?fx的单调递减区间为 ? ?0,e ，极小值为 2 （ 2）条件等价于对任意 ? ? ?
12、?1 2 1 1 2 20,x x f x x f x x? ? ? ? ?恒成立， 设 ? ? ? ? ln ( 0 )kh x f x x x x xx? ? ? ? ? ? 则 ?hx在 ? ?0,? 上单调递减， 则 ? ?21 10khx xx? ?在 ? ?0,? 上恒成立， 得 22 11 ( 0 )24k x x x x? ? ? ? ? ? ? ?恒成立， 14k? （对 ? ?1 ,04k h x?仅在 12x? 时成立）， 故 k 的取值范围是 1,4?22 （ 1） ? ? ? ?2 21 1 0x y y? ? ? ?； 40xy?；（ 2） 5212 ? . 试题解
13、析： （ 1）曲线 C 的参数方程为 1x cosy sin ?，（ ? 为参数， ? ?0,? ）， 消去参数 ? ， 可得 ? ?2 211xy? ? ? ， 由于 ? ?0,? ， 0y? ， 故曲线 C 的轨迹方程是上半圆 ? ? ? ?2 21 1 0x y y? ? ? ?. 直线 4:2sin 4l ? ? ?，即 224 2 s in c o s? ? ?，即 sin cos 4? ? ? ?， - 7 - 故直线 l 的直角坐标方程为 40xy?. （ 2）由题意可 得点 Q 在直线 40xy?上，点 P 在半圆上，半圆的圆心 ? ?1,0C 到直线40xy?的距离等于 1
14、0 4 5222? ? ，即 PQ 的最小值为 5212 ? . 23 （ 1） ? ?2, 10,3? ? ? ?；（ 2） ? ?,8? . 试题解析： （ 1） ? ? 0fx? 即 2 4 6 0xx? ? ? ?， 可化为 ? ? ? ?62 4 6 0xxx? ? ? ? ?，或 ? ? ? ?622 4 6 0xxx? ? ? ? ? ? ?， 或 ? ? ? ?22 4 6 0xxx? ? ? ?， 解 可得 6x? ；解 可得 26 3x? ? ? ；解 可得 10x? . 综上，不等式 ? ? 0fx? 的解集为 ? ?2, 10,3? ? ? ?. （ 2） ? ? 2f x a x? ? ?等价于 2 2 6 2x x a x? ? ? ? ? ?，等价于 26x x a? ? ? ?， 而 ? ? ? ?2 6 2 6 8x x x x? ? ? ? ? ? ? ?， 若 ? ? 2f x a x? ? ?存在实数解，则 8a? ， 即实数 a 的取值范围是 ? ?,8? .
