1、 - 1 - 江西省新余市两校 2018届高三数学第一次联考试题 文 1.要得到函数 f(x) cos? ?2x 3 的图像 ， 只需将函数 g(x) sin? ?2x 3 的图像 (C ) A.向左平移 2个单位长度 B.向右平移 2个单位长度 C.向左平移 4个单位长度 D.向右平移 4个单位长度 2.已知函数 f（ x） = 3 )2sin( ?x - )2cos( ?x （ |? |0, 则 ma 111?的最小值为（ A ） A .2 B . 2 C .2 2 D .2+ 2 11.在 ABC? 中，已知 9 , s i n c o s s i n , 6ABCA B A C B A
2、 C S? ? ? ? ?， P 为线段 AB 上的点，且| | | |C A C BC P x yC A C B? ? ? ?则 xy 的最大值为 （ C ） A.1 B.2 C.3 D.4 12已知函数()f x?是定义域为 R的偶函数 . 当0x?时，5 sin , 0 x 2 44()1( ) 1 , x 22xxfx? ? ? ?， 若关于x的方程2 ( ) ( ) 0f x af x b? ? ?（,ab R?） ,有且仅有 6个不同实数根，则实数a的取值范围是（ D ） A5( , 1)2?B59( , )24C9( -4?，D 5 9 9( , ) ( , 1)2 4 4? ?
3、 ? ?13.若向量 a (k,3)， b (1,4)， c (2,1)，已知 2a 3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是 _? ?， 92 ? ? 92， 3 _ 14.已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 17 180, 0SS?，则 nS 取最大值的 9 15.设 ， (0， )， sin( ) 513， tan 2 12， 则 cos 的 值是 _ 1665_. - 3 - 16.在 ABC? 中， ? ?s in s in s inA B C B? ? ?， D 是边 BC 的一个三等分点（靠近点 B ），记 sinsin ABDt BAD? ? .当 t
4、取最大值时，则 tan ACD? 的值为 23? . 17. 正项数列 an的前 n项和 Sn满足： S2n (n2 n 1)Sn (n2 n) 0. (1)求数列 an的通项公式 an； (2)令 bn n 1（ n 2） 2a2n， 数列 bn的前 n项和为 Tn， 证明：对于任意的 n N+， 都有 Tn 564. 17.(1)解 由 S2n (n2 n 1)Sn (n2 n) 0， 得 Sn (n2 n)(Sn 1) 0. 由于 an是正项数列 ， 所以 Sn 0， Sn n2 n. 于是 a1 S1 2， 当 n2 时 ， an Sn Sn 1 n2 n (n 1)2 (n 1) 2
5、n.综上 ， 数列 an的通项 an 2n. (2)证明 由于 an 2n， bn n 1（ n 2） 2a2n， 则 bn n 14n2（ n 2） 2 116? ?1n2 1（ n 2） 2 . Tn 116?1 132 122 142 132 152 1（ n 1） 2 ?1（ n 1） 2 1n2 1（ n 2） 2 116? ?1 122 1（ n 1） 2 1（ n 2） 2 116? ?1 122 564. 18.设数列 an的前 n项和为 Sn.已知 2Sn 3n 3. (1)求 an的通项公式； (2)若数列 bn满足 anbn log3an， 求 bn的前 n项和 Tn.
6、18.解 (1)因为 2Sn 3n 3， 所以 2a1 3 3， 故 a1 3， 当 n2 时 ， 2Sn 1 3n 1 3， 此时 2an 2Sn 2Sn 1 3n 3n 1 23 n 1， 即 an 3n 1， 所以 an?3， n 1，3n 1， n 2. (2)因为 anbn log3an， 所以 b1 13， - 4 - 当 n2 时 ， bn 31 nlog33n 1 (n 1)3 1 n. 所以 T1 b1 13； 当 n2 时 ， Tn b1 b2 b3 bn 13 13 1 23 2 (n 1)3 1 n， 所以 3Tn 1 13 0 23 1 (n 1)3 2 n， 两式相
7、减 ， 得 2Tn 23 (30 3 1 3 2 32 n) (n 1)3 1 n 23 1 31 n1 3 1 (n 1)31 n 136 6n 323 n， 所以 Tn 1312 6n 343 n， 经检验 ， n 1时也适合 . 综上可得 Tn 1312 6n 343 n. 19.已知向量 )1,(sin ? xm ，向量 )21,cos3( ? xn ，函数 mnmxf ? )()( (1)求 ()fx的最小正周期 T ； (2)已知 a ， b ， c 分别为 ABC? 内角 A ， B ， C 的对边， A 为锐角， 23a= ， 4c= ，且 ()fA恰是 ()fx在 0 ， 2
8、p 上的最大值，求 A ， b 和 ABC? 的面积 S . 19.解： (1) 2 1( ) ( ) s i n 1 3 s i n c o s 2f x m n m x x x? ? ? ? ? ? ? 2分 1 c o s 2 3 11 s in 22 2 2x x? ? ? ?31s in 2 c o s 2 222xx? ? ? sin(2 ) 26x ? ? ? 5分 因为 2? ，所以 22T ? ? 6分 (2) 由 ( )知： ( ) s in ( 2 ) 26f A A ? ? ?0, 2x ?时 ,526 6 6x? ? ? ? ? ?由正弦函数图象可知 ,当 2 62x
9、 ?时 ()fx取得最大值 3 所以 2 62A ?, 3A ? 8分 由余弦定理， 2 2 2 2 c o sa b c bc A? ? ? 2 11 2 1 6 2 4 2bb? ? ? ? ? 2b? 10 分 从而 11s i n 2 4 s i n 6 0 2 322S b c A? ? ? ? ? 12 分 - 5 - 20.在等差数列 ?na 中， 1 3a? ，其前 n 项和为 nS ，等比数列 ?nb 的各项均为正数， 1 1b? ，且 2211bS?， 3329Sb? （ 1）求数列 ?na 和 ?nb 的通项公式； （ 2）令 1( 1)2n nn nac nb?，设数列
10、 ?nc 的前 n 项和为 nT ，求 1n nT T?（ *nN? ）的最大值与最小值 20.解：（ 1）设等差数列 ?na 的公差为 d ，等比数列 ?nb 的公比为 q ， 则23 3 1 1 ,2 ( 3 3 3 2 ) 9 ,dqd d q? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分 解得 3d? ， 2q? ， 4分 所以 3nan? ， 12nnb ? 6分 （ 2）由（ 1）得 13 ( )2 nnc ? ? ?，故 11 ( )2 nnT ? ? ?， 7分 当 n 为奇数时， 11 ( )2 nnT ?， nT 随 n 的增大而减小，所以1 31 2nTT? ? ?； 8分 当
11、 n 为偶数时， 11 ( )2 nnT ?， nT 随 n 的增大而增大，所以23 14 nTT? ? ?， 9分 令 1()f x x x? ， 0x? ， 则21( ) 1 0fx x? ? ?，故 ()fx在 0x? 时是增函数 故当 n 为奇数时，1 11 1 50 6n nTTTT? ? ? ? ?； 10 分 当 n 为偶数时，2 21 1 70 12n nTTTT? ? ? ? ? ?， 11分 综上所述 ， 1n nT T?的最大值是 56 ，最小值是 712? 12分 21.已知椭圆的焦点坐标为1F(-1,0)，2(1,0)，过F垂直于长轴的直线交椭圆于 P、 Q两点，且
12、|PQ|=3， （ 1） 求椭圆的方程； - 6 - （ 2） 过2F的直线 l与椭圆交于不同的两点 M、 N，则 1FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由 . 21（ 1） 设椭圆 方程为22xyab?=1（ ab0） ,由焦点坐标可得 c=1 1分 由 PQ|=3，可得22ba=3， 解得 a=2， b=3，故椭圆方程为43?=1 4分 （ 2） 设 M11( , )xy， N22( , ),不妨1y0, 20,设1FMN的内切圆的径 R， 则1FMN的周长 =4a=8，112FMNS ?（ MN+ M+ N） R=4R 因此1FMN
13、S最大， R就最大，1 2 1 2 1 21 ()2A M NS F F y y y y? ? ? ?， 6分 由题知，直线 l的斜率不为零，可设直线 l的方程为 x=my+1， 由11x my? ?得(3 4)my?+6my-9=0， 得21 23 6 134mmm? ? ? ?，22 23 6 1y m? ? ? ?， 8分 则12AMNS ?AB（12yy?） = =2212 134mm ?，令 t=2 1?,则 t 1, 10 分 则22212 1 12 12 13 4 3 1 3A M NmtSmt t t? ? ? ?,令 f（ t） =3t+t，当 t 1时， f(t)在 1,+
14、 )上单调递增，有 f(t) f(1)=4, AMNS123=3,即当 t=1,m=0时，AMNS123=3, AMNS=4R，maxR=34，这时所求内切圆面积的最大值为16 . 故直线 l:x=1， AMN内切圆面积的最大值为 12分 22.已知函数 ( ) 2 ( ) 8 ,xmf x e x a a R? ? ? ? ?. （ 1）若 1m? 时，函数 ()fx存在 两个零点，求 a 的取值范围； （ 2）若 2m? 时，不等式 ( ) 0fx? 在 0, )x? ? 上恒成立，求 a 的取值范围 . - 7 - 22. 解：（ 1） ( ) 2 1xf x e?令 ( ) 0fx?
15、得 ln2x? 1分 x ( , ln2)? ln2? ( ln2, )? ? ()fx ? 0 ? ()fx 递减 极小值 递增 , ( ) . , ( )x f x x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3分 且 ( ) 0fx? 有两个不等实根 ( ln 2) 0f? ? ? 即 1 ( ln 2 ) 8 0a? ? ? ? ? 9 ln 2a? ? ? -5分 （ 2） ( ) 2 2 ( )xf x e x a? ? ?，令 ( ) 2 2( )xh x e x a? ? ? 则 ( ) 2 2xh x e? ?又 0x? ， ( ) 0hx?， ( )fx? 在
16、 0, )? 在单调递增 6分 又 m in( ) ( 0 ) 2 (1 )f x f a? ? ? 当 0)1(2 ?a ，即 1?a 时， ( ) 0fx? ? ， 所以 )(xf 在 ),0 ? 内单调递增， 0)0()( ? fxf ， 所以 1 10a? ? ? 8分 当 0)1(2 ?a ，即 1?a 时，由 )e(2)( axxg x ? 在 ),0 ? 内单调递增， 且 , ( )x f x? ? ? ? 0 (0, )x? ? ?使得 ( ) 0fx? x 0(0, )x 0x 0( , )x ? ()fx ? 0 ? ()fx 递减 极小值 递增 所以 )(xf 的最小值为
17、 0 200( ) 2 e ( ) 8xf x x a? ? ? ?， 又 axx ? 00e ，所以 00 20( ) 2 e (e ) 8xxfx ? ? ?00(e 2)(e 4)xx? ? ? ?， 因此，要使当 0?x 时， 0)( ?xf 恒成立，只需 0)( 0 ?xf ，即 0e 4 0x ? 即可 解得 00 ln4x? ，此时由 axx ? 00e ，可得 0e0 xxa ? 以下求出 a 的取值范围 设 xxxh e)( ? ， (0,ln4x? ， 得 0e1)( ? xxh ， 所以 )(xh 在 (0,ln4 上单调递减，从而 ln 4 4 1a? ? ? 11 分 综上所述， a 的取值范围 ln4 4, 10? 12 分
