1、 1 江西省重点中学 2017届高三数学下学期第一次联考试题 理 考试用时： 120分 全卷满分： 150分 一、 选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 若复数 z 满足 (1 ) 2i z i? ? ? ，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设集合 ? ?2 2 3 0A x x x? ? ? ?， ? ?| 2 | 2B x x? ? ?，则 AB? （ ） A. (1,0? B. 0,3) C. (3,4 D. (1,3)? 3. 已知变量 ,xy呈现线性相关关
2、系，回归方程为 ? 12yx? ，则变量 ,xy是（ ） A线性正相关关系 B由回归方程无法判断其正负相关关系 C线性负相关关系 D不存在线性相关关系 4. 若直线 l 过三角形 ABC 内心（三角形内心为三角形内切圆的圆心），则“直线 l 平分三角形 ABC 周长”是“直 线 l 平分三角形 ABC 面积”的（ ） 条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 5. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数 ? ?2NN? 和实数 1a ，2a ，?， Na ，输出 A ， B ，则（ ） A A +B 为 1a ， 2a ，?， Na 的和 B A 和 B 分别是 1a ，
3、2a ，?， Na 中最大的数和最小的数 C 2AB? 为 1a ， 2a ，?， Na 的算术平均数 D A 和 B 分别是 1a ， 2a ，?， Na 中最小的数和最大的数 6. 已知函数 ()y f x? 是定义在 R 上的偶函数，且在 ( ,0? 上是增函数，若不等式 )()( xfaf ? 对任意 1,2x? 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） 俯视图侧视图正视图3 r2rr2 A 1,(? B 1,1? C 2,(? D 2,2? 7. 若一个空间几何体的三视图如右图所示，且已知该几何体的体积为 36? ，则其表面积为（ ） A. 3 32? B.32? C. 3 234?
4、D. 3 34? 8. 已知实数 ,xy满足 | | 1xy?，且 11 ? y ，则 2z x y?的最大值（ ） A 2 B 4 C 5 D 6 9. 已知函数 ( ) sin( )4f x x ?和函数 ( ) cos( )4g x x ?在区间 57 , 44? 上的图像交于 ,ABC 三点，则 ABC? 的面积是（ ） A. 22 B.324 C. 2 D.524 10. 等差数列 na 的前 n 项和 为 nS ，若 公差 ,0?d 0)( 5958 ? SSSS ， 则（ ） A 78| | | |aa? B 78| | | |aa? C 78| | | |aa? D 7 0a?
5、 11. 我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道 :“夫叠棋成立积，缘 幂势既同，则积不容异。”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个 平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积 相等。其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如下图 正方 体 1111 DCBAABCD ? ，求图中四分之一圆柱体 1111 DAACBB ? 和四分之一圆柱体 11BAA 11CDD? 公共部分的体积 V ，若图中正方体的棱长为 2，则 ?V （ ） （在高度 h 处的截面： 用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体
6、公共部分所得面积为1S，截得正方体所得面积为2S，截得锥体所得面积为3S，221 hRS ?，22 RS? 312 SSS ?） A 163 B 83 C 8 D 83? 3 12. 设 A 、 B 分别为双曲线 22: 1( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?的左、右顶点， ,PQ是双曲线 C 上关于 x 轴对称的不同两点，设直线 ,APBQ 的斜率分别为 ,mn，则 21 ln | | ln | |2 | |ba mna b m n? ? ? ?取得最小值时，双曲线 C 的离心 率为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 62 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 ,
7、共 20分 . 13 二项式 6312()2 x x?的展开式中第四项的系数为 14 如右图所示矩形 ABCD 边长 1, 4AB AD?，抛物线顶点为边 AD 的中点 E ，且 ,BC两点在抛物线上，则从矩形内任取一点落在抛物线与边 BC 围成的封闭区域（包含边界上的点）内的概率是 15. 已知向量 ,ab满足： | | | | 1ab?，且 12ab? ，若 c xa yb?，其中 0, 0xy?且 2xy?，则 |c 最小值是 16 已知锐角 ABC? 中，内角 ,ABC 所对应的边分别为 ,abc，且满足： 22b a ac?， 2c? ，则 a 的取值范围是 三、解答题 :解答应写出
8、文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. （本小题满分 12分） 数列 ?na 满足 121, 5aa?， 2121n n na a a? ? ? （ 1）设 1n n nb a a?，证明 ?nb 是等差数列，并求 ?nb 的通项公式； （ 2）设 1tan tann n nc b b ?，求数列 ?nc 的前 n 项和 nS 18.（本小题满 分 12 分） 2016年 11月 20日 -22日在江西省南昌市举行了首届南昌国际马拉松赛事，赛后某机构 用 “10 分制 ”ED CBA4 调查 了很多人（包括 普通市民，运动员，政府官员，组织者，志愿者等） 对 此项赛事 的满意度 .现从调查人
9、群中随机抽取 16 名，以下茎叶图记录了他们的满意度分数 (以小数点前的 一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶 )： （ 1）指出这组数据的众数和中位数； （ 2）若满意度不低于 9.5分，则称该 被调查者 的满意度为 “ 极满意 ”. 求从这 16 人中随机选取 3人，至多有 1人是 “ 极满意 ” 的概率； （ 3）以这 16 人的样本数据来 估计整个 被调查 群体的总体数据，若从该 被调查 群体 (人数很多 )任选3 人，记 ? 表示抽到 “ 极满意 ” 的人数，求 ? 的分布列及数学期望 . 19.（本小题满分 12 分） 如图，在棱台 ABC FED? 中， DEF? 与 ABC?
10、分别是棱长为 1与 2的正三角形，平面 ABC ? 平面 BCDE ，四边形 BCDE 为直角梯形， ,1BC CD CD?，点 G 为 ABC? 的重 心， N 为 AB 中点， ( , 0 )A M A F R? ? ? ? ?， （ 1）当 23? 时，求证： GM /平面 DFN ； （ 2）若直线 MN 与 CD 所成角为 3? ，试求二面角 M BC D?的 余弦值 . 5 20.（本小题满分 12分） 已知椭圆 222: 1(0 3)9xyCbb? ? ? ?的左右焦点分别为 ,EF，过点 F 作直线交椭圆 C 于 ,AB 两点，若 FBAF 2? 且 0.AE AB? （ 1）
11、求椭圆 C 的方程； （ 2） 已知圆 O 为原点，圆 )0()3(: 222 ? rryxD 与椭圆 C交于 NM, 两点，点 P 为椭圆 C 上一动点，若直线 PNPM, 与 x轴分别交于点 ,SR 求证： | | | |OR OS? 为常数 . 21.（本小题满分 12分） 若 ,xD? 总有 ( ) ( ) ( ),f x F x g x?则称 ()Fx为 ()fx与 ()gx在 D 上的一个“严格分界函数” . （ 1）求证： xye? 是 1yx? 和 21 2xyx? ? ? 在 ( 1,0)? 上的一个“严格分界函数”； （ 2）函数 1( 2) 21xhx e x? ?，若存
12、在最大整数 M 使得 ()10Mhx? 在 ( 1,0)x? 恒成立，求 M 的值 .（ 2,718e? ?是自然对数的底数， 132 1.414, 2 1.260?） 请考生在第 22、 23题中任选一题作答，如果多做 ，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 . 22（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系 与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程为 2cos2 2sinxy ? ? ?（ ? 为参数） .以坐标原点为极点，以 x6 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 . （）写出曲线 C 的极坐标方程； （）设点 M 的极坐标为（ 4,2? ），过点 M 的直线 ? 与曲
13、线 C 相交于 ,AB两点，若| | 2| |MA MB? ，求 AB 的弦长 23.（本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 选修 4-5：不等式选讲 设 ( ) 1 1f x x x? ? ? ?，（ xR? ） （ 1）求证： ( ) 2fx? ； （ 2）若不等式 2 1 1() bbfxb? ? ?对任意非零实数 b 恒成立 ，求 x 的取值范围 . 江西省重点中学协作体 2017 届高三第一次联考 数学（理科）试卷参考答案 一、选择题 1-5: DBCCB 6-10: BACCB 11、 12： AD 12.详解：解析：设点 00( , )Px y 则 00( , )Qx y
14、? ，所以 00,A P B Qyym k n kx a x a? ? ? ?，即20220ymn ax? ?，又 22001xyab?，即 22 2 2002 ()by x aa?， 所 以 22bmn a? ?，则222 1 2l n | | l n | | l n2 | | 2b a b a a bmna b m n a b b a? ? ? ? ? ? ? ?，令 bxa? 则222 1 1ln 2 lnb a a b xxa b b a xx? ? ? ? ? ? ?， 考 查 函 数 11( ) 2 ln2f x x xxx? ? ?，由2( 1 ) ( 2 1 )( ) 2xxf
15、x x?，知 1(0, )2x? 时 ()fx单调递减， 1( , )2x? ? 时 ()fx单调递减，所以当12x? 时， ()fx取得唯一极小值即为最小值，此时 22 12ba ? ，所以 161 22e ? ? ? 7 二、填空题 13. 20 14. 23 15. 3 16. 12a? 16. 详 解 ： 由 2 2 2 2 2, 2 c o sb a a c a c b a c B? ? ? ? ? ?得 2 cosc a a B? ? ? ，则s i n s i n 2 s i n c o sC A A B? ? ?，所以 s in ( ) s in 2 s in c o sA B
16、 A A B? ? ? ?，可化为 sin( ) sinB A A? ， 则 2BA? ，又 ABC? 为锐角三角形，所以 ( , )64A ? ，又 sin sinbaBA? ，所以 2 cosb a A? ，则2 2 2 2 24 c o s 2b a a A a a? ? ? ?，所以2221 2 3c o s2 4 4aaAa? ? ?，解得 12a? 三、解答题 17.解： （ 1）由 2121n n na a a? ? ?，得 2 1 1( ) ( ) 1n n n na a a a? ? ? ? ? ?，即 1 1nnbb? ?，所以 ?nb 为等差数列，且 1 ( 1) 1 3nb b n n? ? ? ? ? ? 5(分 ) （ 2）因为 11 1t a n t a nt a n ( ) t a n 11 t a n t a nnnnn nnbbbb bb? ? ? ?， 8(分 ) 所以1 t
