1、 1 宁夏固原市 2017届高三数学下学期 4 月能力提升测试试题 文 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分） 1记集合 2 | 2 , | 3 0 M x x N x x x? ? ? ? ?，则 NM= （ ） A ? ?| 0 2xx? B | 0 2x x x? ? ?或 C | 2 3xx? D ? ?| 2 3xx? ? ? 2设 i为虚数单位，若 i ()1iaza? R是纯虚数，则 a的值是 ( ) A 1? B 0 C 1 D 2 3若 a、 b 0:,b11:, ? baqapR 命题命题 ，则命题 p是命题 q成立的 （ ） A必要不充分条件 B充
2、分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示如果小正方形网格的边长为 1，那么该四面体最长棱的棱长为 ( ) A43 B6 C42 D25 5.若 nS 是等差数列 na 的前 n 项和，且 2038 ?SS ，则 11S 的值为 （ ） A.44 B.22 C.2203 D.88 6已知 ，则 = （ ） A B C D 7设直线 mx? 分别交函数 )2s in (s in ? xyxy 、 的图象于 M、 N、两点，则 M、 N距离的 最 大值为 （ ） A 1 B 2 C 2 D 2 2 8. 已知函数53( ) 5 2f x x x
3、x? ? ? ? ?，若2( ) ( 2) 4f a f a? ?，则实数a的取值范围 （ ） A? ?,1?B? ?,3?C( ,1)?D( ,2)?9设 m， nR ，若直线（ m+1） x+（ n+1） y 2=0 与圆（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 相切，则 m+n 的取值2 范围是 ( ) A（ ， 2 2 ， + ） B（ ， 2 2 2+2 ， + ） C 2 2 ， 2+2 D（ ， 22 ， + ） 10. 已知曲线 xey? 上一点 P（ 1， e）处的切线分别交 x 轴、 y 与 A， B 两点， O 为原点，则 OAB的 面积为 （ ） A e2 B e C 2
4、e D 22e 11.过椭圆 C： 15 22 ?yx 的右焦点 F作直线 l交椭圆 C于 A、 B两点，交 y轴于点 M， 若 BFMBAFMA 21 , ? ? ,则 1? + 2 （ ） A 10 B 5 C 10 D 5 12. 已知平面内一点 p(x,y) | (x 2cos) 2+(y 2sin) 2=16, R, 则满足条件的点 P在平面内所组成的图形的面积是 （ ） A 8 B 16 C 24 D 32 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共计 20分。） 13、 如右图，它满足： (1)第 n行首尾两数均为 n； (2)表中的递推关系类似杨辉三角。 则第 n行 (n
5、2) 第 2个数是 _ . 14、 以椭圆 158 22 ?yx 的焦点为顶 点，顶点为焦点的双曲线方程为 _ _ . 15、 我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理（祖恒原理）： “ 幂势既同，则积不容异 ”.“ 势 ” 即是高， “ 幂 ” 是面积意思是： 如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等类比祖恒原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图 1是一个形状不规则的封闭图形，图 2 是一个矩形，且当实数 t 取 ? ?0,4 上的任意值时，直线 yt? 被图 1和图 2所截得的两线段长始终相等，则图 1的面积为 _ 3 16、 设 yx, 为正数，
6、且 yaax , 21 成等差数列， ybbx , 21 成等比数列，则21221 )(bb aa ?的最小值是_ . 三、 解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.( 本小题 10分 ） 16（本小题 12分） 在 ABC 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且 tan 2 sina C c A? （ ）求角 C 的大小； （ ）求 sin sinAB? 的最大值 18（本小题 12 分）某中学一位高三班主任对本班 50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示： 积极参加班级工作 不积极参加班级工作 合计 学习积
7、极性高 18 7 25 学习积极性不高 6 19 25 合计 24 26 50 （ 1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不 积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？ （ 2）若不积极参加班级工作且学习积极性高的 7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有 1 名男生的概率是多少？ （ 3）学生的学习积极性与对待班极工作的态度是否有关系？请说明理由 . 附： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 4 19（ 本小题 10 分 ） 如图 1，在直角梯形
8、 ABCP中， AP BC， APAB ， AB=BC=21 AP=2， D为 AP 的中点， E， F， G分别为 PC、 PD、 CB 的中点，将 PCD 沿 CD折起，使点 P在平面 ABCD内的射影为点 D，如图 2. （ I）求证： AP 平面 EFG； （ II）求三棱锥 P ABC 的体积 . 20.（本小题 12 分）已知椭圆 C： 222 1( 3)3xy aa ? ? ?的右焦点为 F，右顶点为 A，设离心率为 e，且满足 1 1 3eOF OA AF?，其中 O为坐标原点 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）过点 (0,1) 的直线 l与椭圆交于 M， N两点，求 OMN
9、面积的最大值 21（ 本小题 12分 ）已知函数 （ 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若存在 x0 ， 2，使得 f（ x） g（ x） 0成立，求 m的取值范围； （ 3）设 x1、 x2（ x1x 2）是函数 f（ x）的两个零点，求证： x1+x2 0 5 22.（本小题 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，圆 C 的极坐标方程为4 2 cos( )4? （ 1）将圆 C 的极坐 标方程化为直角坐标方程； （ 2）过点 P (2,0) 作斜率为 1直线 l 与圆 C 交于 ,AB两点，试求 11PA P
10、B?的值 . 23.（本小题 10分）选修 4-5：不等式选讲 设 ( ) 3 4f x x x? ? ? ?. （ 1）解不等式 ( ) 2fx? ； （ 2）若存在实数 x 满足 ( ) 1f x ax?，试求 实数 a 的取值范围 . 参考答案 1.C 2.C 3.A 4.B 5.A 6.D 7.B 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D 13.5/2 6 14.8 15. 15322 ?yx 16.4 17. 解： （ ） 由 tan 2 sina C c A? ， 得 sin 2sincosaC AcC? 1分 由正弦定理得 sin sin 2 sinsin cosAC ACC
11、? 3分 所以 1cos 2C? 4分 因为 (0,)C? ， 5分 所以 3C? 6分 （ ） sin sinAB? 2sin sin( )3AA? ? ? 7分 33sin cos22AA? 9分 3sin( )6A? 11分 因为 3C? ， 所以 20 3A? ， 12 分 所以 当 3A? 时 ， sin sinAB? 取得最大值 3 18. 7 19. 如图 1，在直角梯形 ABCP 中， AP BC， AP AB， AB=BC=21 AP=2， D为 AP 的中点， E， F， G分别为 PC、 PD、 CB 的中点，将 PCD沿 CD折起，使点 P在平面 ABCD内的射影为点
12、D，如图 2. （ I）求证： AP平面 EFG； （ II）求三棱锥 P ABC 的体积 . 解：由题意， PCD折起后 PD平面 ABCD，四边形 ABCD是边长为 2的正方形， PD=2. （ I） E、 F、 G分别为 PC、 PD、 BC的中点 . EF CD， EG PB. 又 CD AB EF AB， PB AB = B，? ? 3分 平面 EFG平面 PAB. PA平面 EFG. ? 6分 8 （ II）三棱锥 P ABC 是以 PD为高、 ABC为为底面的三棱锥， 其体积 .34222213131 ? PDSV ABC? 12分 20. 解：（）设椭圆的焦半距为 c，则 |O
13、F| = c， |OA| = a， |AF| =ac? 所以 1 1 3ec a a c?，其中 cea?，又 2 2 23b a c? ? ? ，联立解得 2a? ， 1c? 所以椭圆 C的方程是 22143xy? ? 4分 （ ）由题意直线不能与 x 轴垂直，否则将无法构成三角形? 5分 当直线 l与 x轴不垂直时，设其斜率为 k，那么 l的方程为 1y kx? 联立 l与椭圆 C的方程，消去 y，得 22(4 3) 8 8 0k x kx? ? ? ? 于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是 = 22(8 ) 32(4 3)kk?，这显然大于 0 设点 11( , )Mx y ， 22(
14、, )Nx y 由根与系数的关系得12 2843kxx k? ? ? ?，12 2843xx k? ? 7分 所以 22212 24 6 2 1 11 43kkM N k x x k ? ? ? ? ?，又 O到 l的距离211d k? ? 所以 OMN的面积 222 2 21 2 6 2 1 2 1262 4 3 ( 4 3 )kkS d M N kk? ? ? 10 分 令 24 3 3tk? ? ? ，那么221 1 1 2 62 3 2 3 3tS t t t? ? ? ? ?，当且仅当 t = 3 时取等 所以 OMN面积的最大值是 263 ? ? 12分 21. （ 13分） （ ）解： f （ x） =ex 1， 令 f （ x） 0，解得： x 0，令 f （ x） 0，解得： x 0， 故 f（ x）在（ ， 0）递减，在（ 0， + ）递增 ； （ ）若存在 x 0， 2，使得 f（ x） g（ x） 0成立， 即存在 x 0， 2，使得（ ex 2x） min m2 2m 3
