1、 备战备战 2020 中考数学一轮专项复习练习卷中考数学一轮专项复习练习卷 二次函数二次函数 满分：满分：100 分分 时间：时间：100 分钟分钟 一选择题（一选择题（每题每题 3 分，分，共共 30 分分） 1下列函数属于二次函数的是（ ） Ayx By（x3）2x2 Cyx Dy2（x+1）21 2抛物线 y2（x+3）2+5 的对称轴是（ ） Ax3 Bx5 Cx5 Dx3 3函数 yax2+c 与 yax+c（a0）在同一坐标系内的图象是图中的（ ） A B C D 4已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断正确的（ ） Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0
2、Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0 5二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应值如表所示，下列结 论，其中正确的个数为（ ） x 1 0 1 3 y 1 3 5 3 ac0； 当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小 当1x3 时，ax2+（b1）x+c0； 对于任意实数 m，4m（am+b）6b9a 总成立 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6如图，隧道的截面由抛物线和长方形 OABC 构成，长方形的长 OA 是 12m，宽 OC 是 4m按照 图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 yx2+bx+c 表示在抛物线型拱璧上需要安装
3、两排灯， 使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8m那么两排灯的水平距离最小是（ ） A2m B4m C4 m D4m 7根据表中的二次函数 yax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值（其中 m0n） ，下列结论正 确的（ ） x 0 1 2 4 y m k m n Aabc0 Bb24ac0 C4a2b+c0 Da+b+c0 8已知抛物线 yax2+bx+c（其中 a，b，c 是常数，a0）的顶点坐标为 （，m） 有下列结论： 若 m0，则 a+2b+6c0； 若点（n，y1）与（2n，y2）在该抛物线上，当 n 时，则 y1y2； 关于 x 的一元二次方程 ax2b
4、x+cm+10 有实数解 其中正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 9如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（1，0） ， 下列结论：ab0；b24a；0b1；0a+b+c2；当 x1 时，y0其中正确的结 论是（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 10在平面直角坐标系中，如图是二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象的一部分，给出下列命题： a+b+c0；b2a；方程 ax2+bx+c0 的两根分别为3 和 1；b24ac0，其中正确的命题 有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（每题 3 分，共 30
5、分） 11抛物线经过原点 O，还经过 A（2，m） ，B（4，m） ，若AOB 的面积为 4，则抛物线的解析式 为 12将抛物线 y2x2分别向上、向左平移 2 个、1 个单位，得到的抛物线的解析式为 13已知抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，5） ，且无论 m 为何值，不等式 a+bam2+bm 恒成立， 则关于 x 的方程 ax2+bx+c5 的解为 14已知抛物线 yx22x+c 经过点 A（1，y1）和 B（1，y2） ，那么 y1 y2（从“”或“” 或“”选择） 15用“描点法”画二次函数 yax2+bx+c 的图象时，列出了如下的表格： x 0 4 yax2+bx+c 3
6、3 那么当 x5 时，该二次函数 y 的值为 16某商场四月份的营业额是 200 万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为 x （x0） ，六月份的营业额为 y 万元，那么 y 关于 x 的函数解式是 17如图，在ABC 中，BC12，BC 上的高 AH8，矩形 DEFG 的边 EF 在边 BC 上，顶点 D、 G 分别在边 AB、 AC 上 设 DEx， 矩形 DEFG 的面积为 y， 那么 y 关于 x 的函数关系式是 （不 需写出 x 的取值范围） 18如图，抛物线解析式为 yx2，点 A1的坐标为（1，1） ，连接 OA1；过 A1作 A1B1OA1，分别 交 y 轴、
7、抛物线于点 P1、 B1； 过 B1作 B1A2A1B1分别交 y 轴、 抛物线于点 P2、 A2； 过 A2作 A2B2B1A2， 分别交 y 轴、抛物线于点 P3、B2；则点 Pn的坐标是 19如图，在平面直角坐标系中，两条开口向上的抛物线所对应的函数表达式分别为 y（2a21） x2与 yax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的 2 倍，则 a 的值为 20二次函数 yx2的图象如图，点 A0位于坐标原点，点 A1，A2，A3An在 y 轴的正半轴上，点 B1，B2，B3Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点 C1，C2，C3n在二次函数位于第二象限的图 象上，四边形 A
8、0B1A1C1，四边形 A1B2A2C2，四边形 A2B3A3C3四边形 An1BnAnn都是正方形，则正方 形 An1BnAnn的周长为 三解答题（每题 8 分，共 40 分） 21在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax24ax 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） （1）求点 A，B 的坐标； （2）已知点 C（2，1） ，P（1，a） ，点 Q 在直线 PC 上，且 Q 点的横坐标为 4 求 Q 点的纵坐标（用含 a 的式子表示） ； 若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围 22已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx22mx+
9、4（m0）与 x 轴交于点 A，B（点 A 在 点 B 的左侧） ，且 AB6 （1）求这条抛物线的对称轴及表达式； （2）在 y 轴上取点 E（0，2） ，点 F 为第一象限内抛物线上一点，联结 BF，EF，如果 S 四边形OEFB 10，求点 F 的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，点 F 在抛物线对称轴右侧，点 P 在 x 轴上且在点 B 左侧，如果直 线 PF 与 y 轴的夹角等于EBF，求点 P 的坐标 23如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+mx+n 经过点 B（6，1） ，C（5，0） ，且与 y 轴交于点 A （1）求抛物线的表达式及点 A 的坐标； （2）
10、点 P 是 y 轴右侧抛物线上的一点，过点 P 作 PQOA，交线段 OA 的延长线于点 Q，如果 PAB45求证：PQAACB； （3）若点 F 是线段 AB（不包含端点）上的一点，且点 F 关于 AC 的对称点 F恰好在上述抛物线 上，求 FF的长 24如图，有长为 24m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10m）围成中间隔有一道 篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 xm，面积为 Sm2 （1）求 S 与 x 的函数关系式及 x 值的取值范围； （ 2）要围成面积为 45m2的花圃，AB 的长是多少米？ （3）当 AB 的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？（结果保留两
11、位小数） 25如图 1，抛物线 W：yax22 的顶点为点 A，与 x 轴的负半轴交于点 D，直线 AB 交抛物线 W 于另一点 C，点 B 的坐标为（1，0） （1）求直线 AB 的解析式； （2）过点 C 作 CEx 轴，交 x 轴于点 E，若 AC 平分DCE，求抛物线 W 的解析式； （3）若 a，将抛物线 W 向下平移 m（m0）个单位得到抛物线 W1，如图 2，记抛物线 W1的 顶点为 A1，与 x 轴负半轴的交点为 D 1，与射线 BC 的交点为 C1问：在平移的过程中，tanD1C1B 是否恒为定值？若是，请求出 tanD1C1B 的值；若不是，请说明理由 参考答案 一选择题
12、1解： A自变量 x 的次数不是 2，故 A 错误； By（x3）2x2整理后得到 y6x+9，是一次函数，故 B 错误 C由可知，自变量 x 的次数不是 2，故 C 错误； Dy2（x+1）21 是二次函数的顶点式解析式，故 D 正确 故选：D 2解：抛物线 y2（x+3）2+5， 该抛物线的对称轴是直线 x3， 故选：D 3解：A、由二次函数 yax2+c 的图象可得：a0，c0，由函数 yax+c 的图象可得：a0， c0，函数 yax+b 与 yax2+c 的与坐标轴的交点是同一点，错误； B、由二次函数 yax2+c 的图象可得：a0，c0，由函数 yax+c 的图象可得：a0，c0
13、， 错误； C、由二次函数 yax2+c 图象可得：a0，c0，由函数 yax+c 的图象可得：a0，c0，函 数 yax+b 与 yax2+c 的与坐标轴的交点是同一点，正确； D、由二次函数 yax2+c 的图象可得：a0，c0，由函数 yax+c 的图象可得：a0，c0， 错误 故选：C 4解：抛物线开口向下，因此 a0，对称轴在 y 轴的右侧，a、b 异号，所以 b0，抛物线与 y 轴交在正半轴，因此 c0， 故选：C 5解：由图表中 数据可得出：x1 时，y5， 所以二次函数 yax2+bx+c 开口向下，a0；又 x0 时，y3， 所以 c30， 所以 ac0，故正确； 二次函数
14、yax2+bx+c 开口向下，且对称轴为 x1.5， 当 x1.5 时，y 的值随 x 值的增大而减小，故错误； x1 时，ax2+bx+c1， x1 时，ax2+（b1）x+c0， x3 时，ax2+（b1）x+c0，且函数有最大值， 当1x3 时，ax2+（b1）x+c0，故正确 将 x1、y1，x0、y3，x1、y5 代入 yax2+bx+c， 得， 解得：， yx2+3x+3（x ）2+， 可知当 x时，y 取得最大值， 即当 x m 时，am2+bm+ca+b+c， 变形可得 4m（am+b）6b9a，故错误； 故选：B 6解：根据题意，得 OA12，OC4 所以抛物线的顶点横坐标为
15、 6， 即6， b2， C（0，4） ， c4， 所以抛物线解析式为： yx2+2x+4 （x6）2+10 当 y8 时， 8（x6）2+10， 解得 x16+2，x262 则 x1x24 所以两排灯的水平距离最小是 4 故选：D 7解：由抛物线的对称性可知： （0，m）与（2，m）是对称点， 故对称轴为 x1， （2，n）与（4，n）是对称点， 4a2b+cn0， 故选：C 8解：抛物线 yax2+bx+c（其中 a，b，c 是常数，a0）顶点坐标为（，m） ， ， ba， a+2b+6ca+6c m m0，4ca0，4ca0，c0， 6ca2c+4ca0， a+2b+6c0 故此小题结论正
16、确； 顶点坐标为（，m） ，n， 点（n，y1）关于抛物线的对称轴 x 的对称点为（1n，y1） 点（1n，y1）与（2n，y2）在该抛物线上， 1n（2n）n0， 1n2n， a0， 当 x时，y 随 x 的增大而增大， y1y2 故此小题结论正确； 把顶点坐标（，m）代入抛物线 yax2+bx+c 中，得 ma+b+c， 一元二次方程 ax2bx+cm+10 中， b24ac+4am4a b24ac+4a（ a+b+c）4a （a+b）24a ba 4a0， 关于 x 的一元二次方程 ax2bx+cm+10 无实数解 故此小题错误 故选：C 9解：抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴在
17、 y 轴右侧， b0， ab0，所以正确； 抛物线过（0，1） ， c1， 抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0， b24a0，即 b24a，所以正确； 抛物线过点（1，0） ，c1， ab+c0，即 ab1， a0， b10， 0b1；所以正确； 抛物线与 x 轴的一个交点为（1，0） ，而抛物线的对称轴在 y 轴右侧， 抛物线与 x 轴的另一个交点在点（1，0）的右侧，ab+c0， 当 x1 时，y0，即 a+b+c0， c1，ab+c0， ba+1， a+b+ca+a+1+12+2a， 而 a0， a+b+c2， 0a+b+c2，所以正确； 当 x1 时，y 可能大于 0 也可
18、能小于 0，所以错误 故选：C 10解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线 x1，过（1，0）点， 把（1，0）代入 yax2+bx+c 得，a+b+c0，因此正确； 对称轴为直线 x1，即：1，整理得，b2a，因此不正确； 由抛物线的对称性，可知抛物线与 x 轴的两个交点为（1，0） （3，0） ，因此方程 ax2+bx+c0 的 两根分别为3 和 1；故是 正确的； 由图可得，抛物线有两个交点，所以 b24ac0， 故正确； 故选：C 二填空题（共 10 小题） 11解：抛物线经过 A（2，m） ，B（4，m） ， 对称轴是：x3，AB2， AOB 的面积为 4， AB|m|4， m
19、4， 当 m4 时，则 A（2，4） ，B（4，4） ， 设抛物线的解析式为：ya（x3）2+h， 把（0，0）和（2，4）代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：y（x3）2+，即 yx2+3x； 当 m4 时，则 A（2，4） ，B（4，4） ， 设抛物线的解析式为：ya（x3）2+h， 把（0，0）和（2，4） 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：y（x3）2x23x； 综上所述，抛物线的解析式为：yx2+3x 或 yx23x， 故答案为 yx2+3x 或 yx23x 12解：将抛物线 y2x2分别向上、向左平移 2 个、1 个单位，得到的抛物线的解析式为：y2 （x+1）2+2 故
20、答案为 y2（x+1）2+2 13解：不等式 a+bam2+bm 恒成立， a+b+cam2+bm+c 恒成立， 点（1，a+b+c）是抛物线的顶点，点（1，5）关于直线 x1 的对称点为（3，5） ，当 y5 时， x1 或 3，此即为答案 故答案是：x11，x23 14解：yx22x+c 的对称轴为 x1， 点 A 在对称轴左侧，B 在对称轴上， 11， y1y2， 故答案为 15解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为（2，1） ， 设 yax2+bx+ca（x2）2+1， 从表格可知过点（0，3） ，代入得：3a（02）2+1， 解得：a1， 即 y（x2）2+1， 当 x5 时，y（52）
21、2+18， 故答案为：8 16解：根据题意，得 y200（1+x）2 200 x2+400 x+200 故答案为 y200 x2+400 x+200 17解：四边形 DEFG 是矩形，BC12，BC 上的高 AH8，DEx，矩形 DEFG 的面积为 y， DGEF， ADGABC， ， 得 DG， yx+12x， 故答案为：y+12x 18解：点 A1的坐标为（1，1） ， 直线 OA1的解析式为 yx， A1B1OA1， OP12， P1（0，2） ， 设 A1P1的解析式为 ykx+b1， ，解得， 直线 A1P1的解析式为 yx+2， 解求得 B1（2，4） ， A2B1OA1， 设 B
22、1P2的解析式为 yx+b2， 2+b24， b26， P2（0，6） ， 解求得 A2（3，9） 设 A1B2的解析式为 yx+b3， 3+b39， b312， P3（0，12） ， Pn（0，n2+n） ， 故答案为（0，n2+n） 19解：由图象可知，根据题意 2a2a21， 解得 a， 抛物线开口向上， a， 故答案为 20解：四边形 A0B1A1C1是正方形，A0B1A190， A0B1A1是等腰直 角三角形 设A0B1A1的直角边长为 m1，则 B1（ m， m） ； 代入抛物线的解析式中得： （m）2m， 解得 m10（舍去） ，m1 ； 故A0B1A1的直角边长为 ， 同理可求
23、得等腰直角A1B2A2的直角边长为 2， 依此类推，等腰直角An1BnAn的直角边长为 n， 故正方形 An1BnAnn的周长为 4n 故答案是：4n 三解答题（共 5 小题） 21解： （1）令 y0，即 0ax24ax， 解得 x10，x24， A（0，0） ，B（4，0） 答：点 A、B 的坐标为： （0，0） ， （4，0） ； （2）设直线 PC 解析式为 ykx+b， 将点 C（2，1） ，P（1，a）代入解得： k1+a，b3a1， 直线 PC 解析式为 y（1+a）x3a1， 当 x4 时，y3a+3， 所以点 Q 的纵坐标为 3a+3 抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点， 当
24、 a0 时，抛物线开口向下，抛物线只能与点 Q 相交， yax 24axa（x2）24a， 3a+34a，解得 a； 当 a0 时，抛物线开口向上，只能与点 P 相交， 当 x1 时，ya，y3a， 所以抛物线与点 P 不相交 综上：a 的取值范围是：a 22解： （1）由 ymx22mx+4m（x1）2+4m 得到：抛物线对称轴为直线 x1 AB6， A（2，0） ，B（4，0） 将点 A 的坐标代入函数解析式得到：4m+4m+40，解得 m 故该抛物线解析式是：yx2+x+4； （2）如图 1，联结 OF， 设 F（t，t2+t+4） ，则 S 四边形OEFBSOEF+SOFB 2t+4（
25、t2+t+4）10 t11，t22 点 F 的坐标是（1，）或（2，4） ； （2）由题意得，F（2，4） ， 如图 2，设 PF 与 y 轴的交点为 G ， tanEBO，tanHFB， tanEBOtanHFB EBOHFB 又PFHEGFFBE， PFBPBF PFPB 设 P（a，0） 则 PFPB， （a4）2（a2）2+42，解得 a1 P（1，0） 23解： （1）将 B（6，1） ，C（5，0）代入抛物线解析式 yx2+mx+n， 得， 解得，m，n5， 则抛物线的解析式为：yx2x+5，点 A 坐标为（0，5） ； （2）AC5，BC，AB2， AC2+BC2AB2， ABC
26、 为直角三角形，且ACB90， 当PAB45时，点 P 只能在点 B 右侧，过点 P 作 PQx 轴于点 Q， QAB+OAB180PAB135， QAP+CAB135OAC90， QAP+QPA90， QPACAB， 又AQPACB90， PQAACB； （3）做点 B 关于 AC 的对称点 B，则 A，F，B三点共线， 由于 ACBC，根据对称性知点 B（4，1） ， 将 B（4，1）代入直线 ykx+5， k， yAB x+5， 联立， 解得，x1，x20（舍去） ， 则 F（，） ， 将 B（6，1） ，B（4，1）代入直线 ymx+n， 得， 解得，k1，b5， yBBx5， 由题意
27、知，kFFKBB， 设 yFFx+b， 将点 F（，）代入， 得，b， yFF x ， 联立， 解得，x，y， F（，） ， 则 FF 24解： （1）根据题意，得 Sx（243x）3x2+24x， 0243x10，x8 答：S 与 x 的函数关系式为 S3x2+24x， x 值的取值范围是x8 （2）根据题意，得 当 S45 时， 3x2+24x45， 整理，得 x28x+150， 解得 x13，x25， 当 x3 时，BC2491510 不成立， 当 x5 时，BC2415910 成立 答：AB 的长为 5m （3）S3x2+24x3（x4）2+48 x8， 对称轴 x4，开口向下， 当
28、xm 时，有最大面积的花圃 即 xm，最大面积为：243（）246.67m2 答：当 AB 的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积为 46.67m2 25解： （1）抛物线 W：yax22 的顶点为点 A， 点 A（0，2） 设直线 AB 解析式为 ykx+b， 解得 抛物线解析式为：y2x2； （2）如图 1，过点 B 作 BNCD 于 N， AC 平分DCE，BNCD，BECE， BNBE， BNDCED90，BDNCDE， BNDCED， ， ， AOCE， CE2BE，CD2DB， 设 BEx，BDy，则 CE2x，CD2y， CD2DE2+CE2， 4y2（x+y）2+4x2，
29、（x+y） （5x3y）0， yx， 点 C（x+1，2x） ，点 D（1x，0） 点 C，点 D 是抛物线 W：yax22 上的点， x+1（1x）2， x10（舍去） ，x2 ， 0a（1）22， a， 抛物线解析式为：yx22； （3）tanD1C1B 恒为定值， 理由如下：由题意可得抛物线 W1的解析式为：yx22m， 设点 D1的坐标为（t，0） （t0） ， 0t22m， 2+mt2， 抛物线 W1的解析式为：yx2t2， 抛物线 W1与射线 BC 的 交点为 C1， 解得：，（不合题意舍去） ， 点 C1的坐标（2t，22t） ， 如图 2，过点 C1作 C1Hx 轴，过点 C
30、作 CGx 轴， C1H22t，OH2t， D1HD1O+OH2t+（t）22t， C1HD1H，且 C1Hx 轴， C1D1H45， yx22 与 x 轴交于点 D， 点 D（2，0） y2x2 与 yx22 交于点 C，点 A 点 C（4，6） GC6，DGOD+OG2+46， DGCG，且 CGx 轴， GDC45C1D1H， C1D1CD， D1C1BDCB， tanD1C1BtanDCB， 如图 3，过点 B 作 BFCD 于点 F， CDB45，BFCD，BDOD+OB2+13， FDBFBD45， DFBF，DBDF3， DFBF 点 D（2，0） ，点 C（4，6） ， CD6， CFCDDF， tanD1C1BtanDCB ， tanD1C1B 恒为定值
