1、 - 1 - 山东省桓台第二中学 2018 届高三数学 4 月月考试题 理 本试卷，分第 卷和第 卷两部分共 4 页，满分 150 分考试用时 120 分钟 第 卷 （共 50 分） 一、 选择题：本大题共 10 小题， 每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若 iiai 212 ? ，则 ?a A 5 B 5? C 5i D 5i? 2已知集合 ? ?2|0? ? ?A x x x ， ? ?|?B x x a ,若 A B A? ， 则实数 a 的取值范围是 A ? ?1?， B ? ?1?， C ? ?1?， D ? ?1?， 3已知等比数列
2、?na 满足 1 4?a ，2 6 4 14a a a?，则 2a? A 2 B 1 C 12D 18 4 直线 3y kx?与圆 22( 2 ) ( 3) 4xy? ? ? ?相交于 ,MN两点，若 23MN? ，则 k 的取值范围是 A 3 ,04? B 33 , 33?C 3, 3? D 2 ,03? 5下列四个结论 中错误的个数是 若 0 .4 0 .4 33 , l o g 0 . 5 , l o g 0 . 4? ? ?a b c，则 ?abc “ 命题 p 和命题 q 都是假命题 ” 是 “ 命题 ?pq是假命题 ” 的充分不必要条件 若平面 ? 内存在一条直线 a 垂直于平面
3、? 内无数条直线，则平面 ? 与平面 ? 垂直 已知数据 12, , , nx x x 的方差为 3 ，若数据 ? ?121 , 1 , 1 , 0 , Rna x a x a x a a? ? ? ? ?的方差为12, 则 a 的值为 2 A 0 B 1 C 2 D 3 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A 8( 4)? B 8( 8)? C 16( 4)? D 16( 8)? 7已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120? ，且 1?AB ， 2?AC ，若 AP AB AC? ， 且 AP BC? ，则实数 ? 的- 2 - 值为 A 45 B 45? C 25 D 25
4、? 8某程序框图如 右 图所示，运行该程序输出的 k 值是 A 4 B 5 C 6 D 7 9若直线 )2( ? xky 上存在点 ? ?,xy 满足 011?xyxyy，则实数 k 的取值范围是 A ? ? 41,1B ? 51,1C ? ? ? ? ， 511 ?D ? 51,4110 已知 函数 ()fx的 导函数 为 ()fx? ，且满足 2( ) 2 ( )? ? ?f x x f x当 ( ,0)x? 时，( ) 2? ?f x x ； 若 ( 2 ) ( ) 4 4? ? ? ? ?f m f m m，则实数 m 的取值范围是 A ? ?1，? B ? ?2，? C 1, )?
5、? D 2, )? ? 第 卷 (共 100 分 ) 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11 在 区间 ? ?0,1 上 随机选取两个数 x 和 y ， 则 满足 20?xy 的 概率为 12 观察下列各式： 31=1 ， 3 3 21+2=3 ， 3 3 3 21 +2 +3 =6 ， 3 3 3 3 21 +2 +3 +4 =10， ? ， 由此推得：3 3 3 31 +2 +3 +n ? 13 6 个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有 2 人，则不同的站法 种数为 14 已知 ? ? lg 2 xfx x? ? ， 若 ? ? ? ? 0f a f b?， 则
6、41ab? 的最小值是 15 设双曲线22 1( 0 , 0)ab- = 的右焦点是 F ，左、右顶点分别是 12,AA，过 F 做x轴的垂线交双曲线于 ,BC两点，若AB AC?，则双曲线的 离心 率为 - 3 - 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16 （本 小 题满分 12 分） 如图，在 ABC? 中， M 是边 BC 的中点， 57cos 14BAM? , 3tan 2AM C? ? ? （ ）求角 B 的大小； （ ）若角 6BAC ?， BC 边上的中线 AM 的长为21 ，求 ABC? 的面积 17 （本小题满分 12 分） 如图， 已知 三棱锥 O ABC? 的
7、三条侧棱 OA ， OB， OC 两两垂直， ABC?为等边三角形， M 为 ABC? 内 部一点 ，点 P 在 OM 的 延长线上 ，且PA PB? （ ）证明： OBOA? ； （ ） 证明： AB OP? ； （ ） 若 : : 5 : 6 : 1A P P O O C ?， 求二面角 BOAP ? 的 余 弦值 18 (本小题满分 12 分 ) 在标有“甲”的 袋中有 4 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外完全相同 （ ）若 从袋中依次取出 3 个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率； （ ） 现从 甲 袋中取出个 2 红球， 1个白球，装入标有“乙”的空袋若从甲袋
8、中任取 2 球，乙袋中任取 1 球 ，记取出的红球的个数为 X ，求 X 的 分布列和 数学期望 EX 19 (本小题满分 12 分 ) 已知数列 ?na 和 ?nb 满足 1 2 3 2 ( N * )nbna a a a n?若 ?a 是各项为正数的等比数列，且1 4a? ， 326bb? （ ） 求 na 与 nb ； （ ）设 11n nnc ba?，记数列 ?nc 的前 n 项和为 nS 求 nS ；求正整数 k ，使得对任意 N*n? ，均有 nk SS? OABCPM?- 4 - 20 （本 小 题满分 13 分 ） 已知抛物线 2:4C y x? ，点 M 与抛物线 C 的焦点
9、 F 关于原点对称，过点 M 且斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于不同两点 B,A ，线段 AB 的中点为 P ，直线 PF 与抛物线 C 交于两点D,E （ ） 判断是否存在实数 k 使得四边形 AEBD 为平行四边形若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由； （ ） 求22PMPF 的取值范围 21（本小题满分 14 分） 已知 ?R ， 函数 ? ? lnxf x e x x?（2.718 28e ?是自然对数的底数 ） （ ）若 ?10f ? ，证明：曲线 ? ?y f x? 没有经过点 2,03M?的切线； （ ）若函数 ?fx在其定义域上不单调 ，求 ? 的取值范围； （
10、 ） 是否存在正整数 n ， 当11 ,nnne? ? ?时，函数 ?fx的图象在 x 轴的上方，若存在，求 n 的值；若不存在， 说明理由 - 5 - 参考答案 1-5 BCABB 6-10 BCBBC 11. 1412. ? ?22 14nn? 13.144 14. 92 15. 2 16. 解：（ ）由 57cos 14BAM? 得 21sin 14BAM? ， 所以 3tan 5BAM? ? 2 分 又 A M C B A M B? ? ? ? ? 所以 t a n t a nt a n t a n ( ) 1 t a n t a nA M C B A MB A M C B A M A
11、 M C B A M? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3325 333125? ? ? 4 分 又 ? ?0,B ? ， 所以 23B ? ? 6 分 （ ）由 （ ）知 23B ? ，且 6BAC ? 所以， 6C ? ，则 AB BC? ? 7 分 设 BM x? ，则 2AB x? 在 AMB? 中由余弦定理得 2 2 22 c o sA B B M A B B M B A M? ? ? ?， ? 9 分 即 27 21x ? 解得 3x? ? 10 分 - 6 - 故 2124 s i n 3 323ABCSx ? ? ? ? ? ? 12 分 17. 证明：（ ）因为 OA，
12、OB， OC 两两垂直， 所以 222 ACOCOA ? ， 222 BCOCOB ? ? 1 分 又 ABC 为等边三角形， BCAC? 所以 ? 22 OCOA 22 OCOB? ? 2 分 故 OBOA? ? 3 分 （）取 AB 的中点 D ，连接 OD 、 PD ? 4 分 因为 OBOA? ， PBPA? ，所以 ,O D A B P D A B? OD PD D? ，所以 AB? 平面 POD 所以 AB PO? ? 6 分 （）如图建立空间坐标系 因为 : : 5 : 6 : 1A P P O O C ?，可设 1OC? ,则 5 , 6AP PO? 由（）同理可得 1OA O
13、B OC? ? ? ? 7 分 因为 2 2 2PO AP OA?， 所以 OA AP? ? 8 分 所以 ( 0 , 0 , 0 ) , (1 , 0 , 0 ) , ( 0 ,1 , 0 ) , ( 0 , 0 ,1 )O A B C 设 ( , , )Px y z （ 0, 0, 0x y z? ? ? ） 所以2 2 20 1 0 10 0 1266O A A P xxA B O P x y yzx y zOP? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 (1,1,2)P ? 10 分 平面 OAB 的法向量为 (0,0,1)OC?
14、 设平面 POA 的法向量为 0 0 0( , , )n x y z? 则 0 0 00200 00x y zn O P xn O A? ? ? ? ? ? ?取 0 1,z? 则 0 2y ? 所以 (0, 2,1)n? ? 11 分 x ABCPM?y z OD - 7 - 15c o s 551O C nO C n? ? ? ? ? 12 分 18. 解：（）记“第一次取到红球”为事件 A ，“后两次均取到白球”为事件 B ， 则 ? ? 47PA? ，? ? 4 3 2 47 6 5 3 5P A B ? 所以，“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率” ? ? ? ? ? 1
15、|5P A BP B A PA? 4 分 （或 ? ? 11321165 1| 5CCP B A CC?） ? 4 分 （） X 的所有可能取值为 0,1,2,3 ? 5 分 212143 1( 0 ) 18CCPX CC? ? ? ?1 1 1 2 12 2 1 2 22 1 2 14 3 4 3 61( 1 ) + 1 8 3C C C C CPX C C C C? ? ? ? ? ?2 1 1 1 12 1 2 2 22 1 2 14 3 4 3 91( 2 ) =1 8 2C C C C CPX C C C C? ? ? ? ? ?21222143 21( 3 ) =1 8 9CCPX
16、 CC? ? ? ? ? 9 分 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 118 13 12 19 ? 10 分 1 1 1 1 50 1 2 31 8 3 2 9 3EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 19. 解：（）解：由题 意 1 2 3 2 ( )nbna a a a n N ?， 326bb? 知 323 2 64bba ?又由 1 4a? ，得公比 4q? （ 4q? ，舍去） 所以数列 na 的通项为 2*4 2 ( )nnna n N? ? ? ? 3 分 所以 ( 1 )2 ( 1 )21 2 3 22nn nnna a a a ? ? - 8 -
17、故数列 nb 的通项为 *( 1)( )nb n n n N? ? ? ?5 分 （）由（）知 *1 1 1 1 1( ) ( )21n nnnc n Nb n na? ? ? ? ? ? ? 7 分 所以21 1 1 1 1 1 1 112 2 2 2 2 3 11111 1 122 11 1 1 212n nnnSnnnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 分 因为 1 2 3 40 , 0 , 0 , 0c c c c? ? ? ?；当 5n? 时， 1 ( 1) 1( 1) 2n nnnc nn ? 而11( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 02 2 2n n nn n n n n n? ? ? ? ? ? ?得5( 1) 5 (5 1) 122nnn ? ? ?所以，当 5n? 时， 0nc? ； 综上，对任意 *nN? 恒有 4 nSS? ，故 4k? ? 12 分 20. 解：（）设直线 l 的方程为 )( 1? xky
