1、 - 1 - 高三校际联合考试理科数学 2018.05 本试卷共 5页，满分 150分。 考生注意： 1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 第 I卷 (选择题，共 60分 ) 一、选择题：本 大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个
2、选项中，只有一项是符合题目要求的。 1设集合 ? ? ? ?2= 1 2 2 3 0M N x Z x x M N? ? ? ? ? ? ?， ， ， 则 A 1， 2 B ( 1， 3) C 1 D l， 2 2若复数 12,zz在复平面内对应的点关于 y轴对称，且 1 2zi?，则复数 12zz? A 1? B 1 C 3455i? D 3455i? 3己知直线 1 : sin 1 0l x y? ? ? ?，直线 2 1 2: 3 c o s 1 0 , s in 2 =l x y l l? ? ? ?若 ， 则 A 23 B 35? C 35? D 35 4三世纪中期，魏晋 时期的数学
3、家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为 A 332? B 332? C 322? D 32? - 2 - 5若双曲线 22131xymm?的一条渐近线方程为 2 3 0xy?，则 m的值为 A. 313 B. 2313 C. 35 D 75 6.已知 2: , 2 0 ; : 2 8ap x R x x a q? ? ? ? ? ?.若“ pq? ”是真命题，则实数 a 的取值范围是 A.(1， + ) B (， 3
4、) C (1， 3) D ? ? ? ?,1 3,? ? ? 7某数学爱好者编制了如图的程序框图，其中 mod(m， n)表示 m除以 n的余数，例如 mod(7， 3)=1若输入 m的值为 8，则输出 i的值为 A 2 B 3 C 4 D 5 8已知 ABC? 中， 2 , 4 , 6 0A B A C B A C? ? ? ?， P为线段 AC上任意一点，则 PBPC? 的范围是 A 1， 4 B 0， 4 C 2， 4 D 9,44?9.己知数列 ?na 中， 1 1a? ，且对任意的 ,mn N? ，都有 m n m na a a mn? ? ? ?，则 201811i ia? ?A
5、20172018 B 20171009 C 20182019 D 40362019 10某单位实行职工值夜班制度，己知 A， B， C， D， E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若 A 昨天值夜班，从今天起 B， C至少连续 4天不值夜班， D星期四值夜班，则今天是星期几 A二 B三 C四 D五 11已知抛物线 2:4C y x? 的焦点为 F，过 F的直线交 C于 A， B两点，点 A在第一象 限， P(0，6)， O为坐标原点，则四边形 OPAB面积的最小值为 A 74 B 134 C 3 D 4 - 3 - 12如图，虚线小方格是边长
6、为 1 的正方形，粗实 (虚 )线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为 A 36? B 32? C 9? D 8? 第卷 (非选择题，共 90分 ) 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。 13已知向量 ? ? ? ?1 , 0 , , 2 , 2a b a b a b? ? ? ? ?，则实数 ? _ 14若 ,xy满足条件 31 2 4 2xzx x y zy? ? ? ? ?， 且 ， 则的最大值为 _ 15已知 ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 2 1 00 1 2 1 0 81 1 1 1x a a x a x a x a? ? ? ? ? ?
7、 ? ? ? ? ?， 则_ 16若存在实常数 k 和 b，使得函数 ? ? ? ?f x G x和 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足：? ? ? ?F x kx b G x kx b? ? ? ?和 恒成立，则称此直线 ? ? ? ?y kx b F x G x? 为 和的“隔离直线”，已知函数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1, 0 , 2 l nf x x x R g x x h x e xx? ? ? ? ?(e 为自然对数的底数 )，有下列命题： ? ? ? ? ? ?3 1 ,02m x f x g x x ? ? ? ?在内单调递增； ? ? ? ?f x g
8、x和 之间存在“隔离 直线”，且 b的最小值为 4? ； ? ? ? ?f x g x和 之间存在“隔离直线”，且 k的取值范围是 ? ?4,1? ； ? ? ? ?f x h x和 之间存在唯一的“隔离直线” 2y ex e? 其中真命题的序号为 _ (请填写正确命题的序号 ) 三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题 ，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 17 (12分 ) 己知 ,abc分别为 ABC? 三个内角 A， B， C的对边，且 3 cos 2sinaAcC? - 4 - (I)求角 A的大小
9、； (II)若 b+c=5，且 ABC? 的面积为 3 ，求 a的值 18 (12分 ) 已知三棱锥 P ABC(如图 1)的平 面展开图 (如图 2)中，四边形 ABCD为边长为 2 的正方形，ABE? 和 BCF? 均为正三角形，在三棱锥P ABC? 中： (I)证明：平面 PAC? 平面 ABC； (II)求二面角 A PC B的余弦值 19 (12分 ) 在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况 ，进行了一次创城知识问卷调查 (一位市民只能参加一次 )通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100人的得分 (满分 100分 )统计结果如下表所示： (I)
10、由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 Z服从正态分布 ? ?,198 ,N ?近似为这100 人得分的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 )，利用该正态分布，求P(37Z 79)； (II)在 (I)的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： 得分不低于 ? 的可以获赠 2次随机话费，得分低于 ? 的可以获赠 1次随机话费； 每次获赠的随机话费和对应的概率为： 现有市民甲参加此次问卷调查，记 ? (单位：元 )为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 ? 的分布列与数学期望 附：参考数据与公式： 198 14? - 5 - ? ? ? ?2 , = 0 .6
11、 8 2 6 ,X N P X? ? ? ? ? ? ? ? ?若 ， 则? ?2 2 0 .9 5 4 4 ,PX? ? ? ? ? ? ? ? ?3 3 0 .9 9 7 4 .PX? ? ? ? ? ? ? ? - 6 - 20 (12分 ) 己知椭圆 ? ?22 0xyC a bab? ? ? ?： 的焦距为 23，以椭圆 C的右顶点 A为圆心的圆与直线 byxa? 相交于 P， Q两点，且0, 3AP AQ O P O Q? ? ? (I)求椭圆 C的标准方程和圆 A的方程。 (II)不过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 M， N 两点，已知直线 OM， l， ON 的斜率 12,k
12、kk 成等比数列，记以线段 OM，线段 ON 为直径的圆的面积分别为 1 2 1 2,S S S S? 的值是否为定值 ?若是，求出此值：若不是，说明理由 21 (12分 ) 已知函数 ? ? ? ?ln 2axf x e x?(e为自然对数的底数 ) (I)若 ? ? ? ? ? ?, axa R F x e f x F x? ? ， 讨 论的单调性； (II)若 12a? ，函数 ? ? ? ? ? ?11g x f x x? ? ? ? ? ?在 ，内存在零点， 求实数 a的范围 请考生在第 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22 (10分 )选修 4 4
13、：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C的极坐标方程为 4cos3?，直线 l过点 ? ?0, 3P ? 且倾斜角为 3? . (I)求曲线 C的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； (II)设直线 l与曲线 C 交于 A， B两点，求 PA PB? 的值 23 (10分 )选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? 12f x x x? ? ? ?的最大值为 t (I)求 t 的值以及此时 x的取值集合； (II)若实数 ,ab满足 2 22a b t? ? ? ，证明： 2212 4ab?. 二一五级校际联考 理科
14、数学 答案 2018.5 - 7 - 一、 选择题： DCDAA CBDDC BB 1答案： D 解析： ， 所以 ，故选 D 2答案： C 解析： ，所以 ，故选 C 3 答案： D 解析： 因为 ，所以 ，所以 ，所以.故选 D. 4 答案 ： A 解析 ：设圆的半径为 ， 则圆的面积 ， 正六边形的面积，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率 ， 故选 A. 5答案： A 解析：双曲线 的一条渐近线方程为 ，可得 ，解得 ， 因为 是双曲线的渐 近线方程，所以 ， 解得 ，故选 A. 6 答案 C 解析 :由 “ ” 是真命题，则 为真命题， 也为真命题， 若 为真命题，则不
15、等式 恒成立， ， - 8 - 若 为真命题，即 ，所以 即 .故选 C. 7 答案 B 解析 :模拟执行程序框图，可得： ， ， ， 满足条件 ，满足条件 ， ， ， 满足条件 ，不满足条件 ， ， 满足条件，满足条件 ， ， ， ? ， ，可得： ， ， ， 共要循环 次，故 故选 B 8 答案 D 解析：以 为坐标原点， 为 轴、 为 轴建系，则 , ，设 , 所以 ， 故选 D. 9 答案： D 解析：取 m 1得， ，即 ，从而 即 ，求得 ，故选 D. 10 答案 C 解析 ：因为 昨天值夜班，所以今天不是星期一，也不是星期日 若今天为星期二，则 星期一值夜班， 星期四值夜班，则星
16、期二与星期三 至少有一人值夜班，与 至少连续 天不值夜班矛盾 若今 天为星期三，则 星期二值夜班， 星期四值夜班，则星期三与星期五 至少有一人值夜班，与 至少连续 天不值夜班矛盾 若今天为星期五，则 星期四值夜班，与 星期四值夜班矛盾 - 9 - 若今天为星期六，则 星期五值夜班， 星期四值夜班，则下星期一与星期二 至少有一人值夜班，与 至少连续 天不值夜班矛盾， 综上所述，今天是星期四，故选 C. 11答案 B 解析：设 且 ,易知 ，设直线 由 所以 易知 在 上为减函数，所以当 时， ,故选 B 12 答案 B 解析 :几何体的直观图如图所示为三棱锥 ， 三棱锥 中， ，所以外接球的直径为 ，则半径，所以外接球的表面积 ,故选 B. 二 、填空题： 13 答案 ：14 答案 ： 15 答案 ： 180 16 答案 ： 13 答案 ： 解析 ： 由 ，则 ， 所以 ， - 10 - 又由 ，所以 ，解得， 故答案为 . 14 答案 ： 解析：由
