1、 1 山东省滕州市官桥镇 2017届高三数学 4 月阶段性自测试题 理 学校 :_姓名： _班级： _考号： _ 一、选择题 1.已知集合 A=x|x2 16， B=m，若 A B=A，则实数 m的取值范围是（ ） A（ ， 4） B 4， + ） C 4， 4 D（ ， 4 4， + ） 2.若 f（ x）和 g（ x）都是定义在 R上的函数，则 “f （ x）与 g（ x）同是奇函数或同是偶函数 ” 是“f （ x） ?g（ x）是偶函数 ” 的（ ） A充分 非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 3.在复平面内，复数 ，则 对应的点的坐标位于第（ ）象限 A第
2、一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4.执行如图所示的程序框图，如果输入的 a， b分别为 56， 140，则输出的 a=（ ）A 0 B 7 C 14 D 28 5.已知数列 an满足 an= an+1，若 a3+a4=2，则 a4+a5=（ ） A B 1 C 4 D 8 6.已知 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， b=2， B=45 ，若 三角形有两解，则 a的取值范围是（ ） A a 2 B 0 a 2 C 2 a 2 D 2 a 2 7.若 x， y满足约束条件 ，则 z=2x y的最小值为（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 8.若双曲线 C：
3、 =1（ a 0， b 0）的渐近线与圆 x2+y2 4y+3=0相切，则该双曲线 C的离心率为（ ） A B 2 C D 2 9.设 F1， F2分别为双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 P，满足 |PF2|=|F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线 的实轴长，则该双 曲线的离心率为（ ） A B C D 2 10.函数 f（ x）的定义域是 R， f（ 0） =2，对任意 x R， f（ x） +f （ x） 1，则不等式 ex?f（ x） ex+1的解集为（ ） A x|x 0 B x|x 0 C x|x 1，或 x 1 D x|x 1，或
4、 0 x 1 二、填空题 11.若函数 f（ x） =（ x a）（ x+3）为偶函数，则 f（ 2） = 12.已知向量 a 是单位向量，向量 ? ?2,2 3b? 若 ? ?2a a b?，则 a ， b 的夹角为 _ 13.如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为 14.已知直线 2 2 ( 0 , 0 )ax by a b? 过圆 22 4 2 1 0x y x y? ? ? ? ?的圆心，则 11ab? 的最小值为 。 15.若抛物线 y=2px2（ p 0）的准线经过双曲线 y2 x2=1的一个焦点，则 p= 16.如图，设 D是图中边长分别为 1和 2的矩形区域， E是 D
5、内位于函数 1( 0)yxx? 图象下方的阴影部分区域，则阴影部分 E 的面积为 。 三、解答题 17.已知函数 （ a 0， a 1）是奇函数 （ 1）求实数 m的值； （ 2）判断函数 f（ x）在（ 1， + ）上的单调性，并给出证明； 3 （ 3）当 x （ n， a 2）时，函数 f（ x）的值域是（ 1， + ），求实数 a与 n的值 18. 已知函数 （其中 0），若 f（ x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 （ I）求 y=f（ x）的单调递增区间； （ ）在 ABC中角 A、 B、 C的对边分别是 a， b， c满足（ 2b a） cosC=c?cosA，则 f（ B）
6、恰是 f（ x）的最大值，试判断 ABC的形状 19.已知函数 f（ x） =3x+?3 x（ R） （ 1）若 f（ x）为奇函数，求 的值和此时不等式 f（ x） 1的解集； （ 2）若不等式 f（ x） 6对 x 0， 2恒成立，求实数 的取值范围 20.如图，正三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E， M分别是线段 BC， CC1， AB 的中点， AA1=2AB=4 （ 1）求证： DE 平面 A1MC； （ 2）在线段 AA1上是否存在一点 P，使得二面角 A1 BC P的余弦值为 ？若存在，求出 AP的长；若不存在，请说明理由 21.在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C1
7、： + =1（ a b 0）的离心率 e= ，且椭圆 C1的短轴长为 2 （ 1）求椭圆 C1的方程； （ 2）设 A（ 0， ）， N为抛物线 C2： y=x2上一动点，过点 N作抛物线 C2的切线交椭圆 C1于 B， C两点，求 ABC面积的最大值 22.（本小题满 分 14分） 已知函数 1x xln)x(f ? . （ 1）求曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程； （ 2）若 x 0且 x1 ， 1x xlnxt)x(f ? . 4 （ i）求实数 t的最大值； （ ii）证明不等式：n2121)i1(nlnn1i ? ?(nN *且 n2). 5 试卷答案 1.D 2
8、.A 3.D 4.D 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.A 11. 5 12.23? 13.16 14.： 4 15. 16.1 ln2? 17.【解答】解：（ 1） 函数 （ a 0， a 1）是奇函数 f（ x） +f（ x） =0 解得 m= 1 （ 2）由（ 1）及题设知： ， 设 ， 当 x1 x2 1时， t1 t2 当 a 1时， logat1 logat2，即 f（ x1） f（ x2） 当 a 1时， f（ x）在（ 1， + ）上是减函数 同理当 0 a 1时， f（ x）在（ 1， + ）上是增函数 （ 3）由题设 知：函数 f（ x）的定义域为（ 1， +
9、） （ ， 1）， 当 n a 2 1时，有 0 a 1由（ 1）及（ 2）题设知： f（ x）在为增函数，由其值域为（ 1， + ）知 （无解）； 当 1 n a 2时，有 a 3由（ 1）及（ 2）题设知： f（ x）在（ n， a 2）为减函数，由其值域为（ 1， + ）知 得 ， n=1 18.【解答】解：（ ） ， 6 = ， f（ x）的对 称轴离最近的对称中心的距离为 ， T= ， ， =1 ， 得： ， 函数 f（ x）单调增区间为 ； （ ） （ 2b a） cosC=c?cosA，由正弦定理， 得（ 2sinB sinA） cosC=sinC?cosA2sinBcosC=s
10、inAcosC+sinCcosA=sin（ A+C）， sin（ A+C） =sin（ B） =sinB 0， 2sinBcosC=sinB， sinB（ 2cosC 1） =0， ， 0 C ， ， ， ， 根据正弦函数的图象可以看出， f（ B）无最小值，有最大值 ymax=1， 此时 ，即 ， ， ABC为等边三角形 19.【解答】解：（ 1） f（ x） =3x+?3 x为奇函数， f（ x） +f（ x） =3 x+?3 x+3x+?3 x=（ 3x+3 x） + （ 3x+3 x） =（ +1）（ 3x+3 x） =0， 3x+3 x 0， +1=0，即 = 1 此时 f（ x）
11、=3x 3 x， 7 由 f（ x） 1，得 3x 3 x 1，即（ 3x） 2 3x 1 0， 解得： （舍），或 3x ，即 x 不等式 f（ x） 1的解集为（ ）； （ 2）由 f（ x） 6得 3x+3 x 6，即 3x+ 6， 令 t=3x 1， 9， 原不等式等价于 t+ 6在 t 1， 9上恒成立， 亦即 6t t2在 t 1， 9上恒成立， 令 g（ t） =6t t2， t 1， 9， 当 t=9时， g（ t）有最小值 g（ 9） = 27， 27 20.【解答】证明：（ 1）如图，连接 AC1，设 O为 A1C， AC1的交点， 由题意可知 O为 AC1的中点，连接 O
12、M， OE， MD， MD， OE分别为 ABC， ACC1中的 AC 边上的中位线， ， ， ， 四边形 MDEO为平行四边形， DE MO 又 DE?平面 A1MC， MO?平面 A1MC， DE 平面 A1MC 解：（ 2）以 D为原点， DA 为 x轴， DB为 y轴，过 D作平面 ABC的垂线为 z轴，建系， 设 PA=a，则 D（ 0， 0， 0）， ， ， ， B（ 0， 1，0）， 则 ， ， 设平面 PBC的法向量为 ， 则 解得 同理， ， ， 设平面 BCA1的法向量为 ， 则 解得 如图易得所求二面角为锐角，设为 ， 8 则 ， 解得 a=1或 （舍）， 所以存在点 P
13、，使得二面角 A1 BC P的余弦值为 ，此时 PA=1 21. 【解答】解：（ 1） 椭圆 C1： + =1（ a b 0）的离心率 e= ， e = = ， a2=4b2， 椭圆 C1的短轴长为 2，即 2b=2， b=1， a2=4， 椭圆方程为： ； （ 2）设曲线 C： y=x2上的点 N（ t， t2）， B（ x1， y1）， C（ x2， y2）， y=2x ， 直线 BC 的方程为 y t2=2t（ x t），即 y=2tx t2， 将 代入椭圆方程 ，整理得（ 1+16t2） x2 16t3x+4t4 4=0， 则 =（ 16t3） 2 4（ 1+16t2）（ 4t4 4）
14、 =16（ t4+16t2+1）， 且 x1+x2= ， x1x2= ， 9 |BC|= |x1 x2|= ? = ， 设点 A到直线 BC 的距离为 d，则 d= ， ABC的面积 S= |BC|d= ? ? = ， 当 t= 2 时，取到 “=” ，此时 0，满足题意， ABC面积的最大值为 22.（ 1） 2 1 0xy? ? ? ；（ 2）（ i） 1t? ；（ ii）证明见解析 . 试 题分析：（ 1）先求出导函数，再根据 ? 112f ?， ?1f 0? 由点斜式可得曲线 ? ?y f x? 在点? ?1 1f， 处的切线方程；（ 2）（ i） ln ln 011x x tx x
15、x? ? ? 等价于 ? ? ln ln 011x x tgx x x x? ? ? ?，讨论0t? 时、当 0t? 时两种情况，排除不合题意的 t 的值，即可得实数 t 的最大值；（ ii）当 1x? 时整理得 2 112 ln xxxxx? ? ?，令1kx k? ?，则 1 1 12 ln1 1 1k k kk k k k k? ? ? ? ? ?，进而可证原不等式 . （ 2）（ i）由题意知 ln ln 011x x tx x x? ? ?， 设 ? ? ln ln11x x tgx x x x? ? ?， 则 ? ? ? ? ? ? ? ?222111 1l n 2 l n11tx
16、xx tg x x xx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 设 ? ? ? ?2 12 ln txh x x x? ， 则 ? ? 2222 1 21 tx x th x tx x x? ? ? ?， 10 （ 1）当 0t? 时， 0x? ， ? ?0hx? ， ?hx在 ? ?0 ?， 上单调递增，又 ?10h ? ， ? ?0 1x? ， 时， ? ? 0hx? ，又21 01 x ?， ? ? 0gx? ，不符合题意 . 若 24 4 0t? ? ? ，即 10t? ? 时， ?x? 的对称轴 1 1xt? ?， ?x? 在 11 t?，上单调递增， 11 xt?，时， ? ? ? ?1 2 2 0xt? ? ? ?， ? ?0hx? ， ?hx在 11 t?，上单调 递增， ? ? ? ?10h x h?， 而21 01 x
