1、07. 直线和圆的方程直线和圆的方程直线和圆的方程直线和圆的方程 知识要点知识要点知识要点知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角 ： 一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角， 其中直线与x轴平行或重合时， 其倾斜角为0， 故直线倾斜角的范围是)0(1800 . 注：当 90或 12 xx 时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在. 每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都 有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地， 当直线经过两点), 0(),
2、 0 , (ba， 即直线在x轴，y轴上的截距分别为)0, 0(,baba时， 直线方程是：1 b y a x . 注 ： 若2 3 2 xy是 一 直 线 的 方 程 ， 则 这 条 直 线 的 方 程 是2 3 2 xy， 但 若 )0(2 3 2 xxy则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程bkxy，当bk,均为确定的数值时，它表示一条确定 的直线，如果bk,变化时，对应的直线也会变化.当b为定植，k变化时，它们表示过定点 （0，b）的直线束.当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线. 3. 两条直线平行： 1 l 212 kkl两条直线平行的条件是： 1 l和 2 l是两条
3、不重合的直线. 在 1 l和 2 l的斜率 都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的 错误. （一般的结论是：对于两条直线 21,l l，它们在y轴上的纵截距是 21,b b，则 1 l 212 kkl， 且 21 bb 或 21,l l的斜率均不存在，即 2121 ABBA是平行的必要不充分条件，且 21 CC ） 推论：如果两条直线 21,l l的倾斜角为 21, 则 1 l 212 l. 两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：设两条直线 1 l和 2 l的斜率分别为 1 k和 2 k，则有1 2121 kkll这 里的前提是 21,l l的斜率都
4、存在. 0 121 kll， 且 2 l的斜率不存在或0 2 k， 且 1 l的斜率不 存在. （即0 1221 BABA是垂直的充要条件） 4. 直线的交角： 直线 1 l到 2 l的角（方向角）；直线 1 l到 2 l的角，是指直线 1 l绕交点依逆时针方向旋转到 与 2 l重合时所转动的角，它的范围是), 0(，当 90时 21 12 1 tan kk kk . 两条相交直线 1 l与 2 l的夹角：两条相交直线 1 l与 2 l的夹角，是指由 1 l与 2 l相交所成的四 个角中最小的正角，又称为 1 l和 2 l所成的角，它的取值范围是 2 , 0 ，当 90，则有 21 12 1
5、tan kk kk . 5. 过两直线 0: 0: 2222 1111 CyBxAl CyBxAl 的交点的直线系方程(0)( 222111 CyBxACyBxA 为参数，0 222 CyBxA不包括在内） 6. 点到直线的距离： 点到直线的距离公式：设点),( 00 yxP，直线PCByAxl, 0:到l的距离为d，则有 22 00 BA CByAx d . 注： 1. 两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式： 2 12 2 1221 )()(|yyxxPP. 特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离： 22 |OPxy 2. 定 比 分 点 坐 标 分 式 。 若 点 P(
6、x,y) 分 有 向 线 段 1212 PPPPPP 所成的比为 即 , 其 中 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 1 , 1 2121 yy y xx x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0180）、斜率:tank 4. 过两点 12 12 222111 ),(),( xx yy kyxPyxP 的直线的斜率公式： . 12 ()xx 当 2121 ,yyxx（即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角90，没有斜率 新疆 学案 王新敞 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:, 0: 212211 CCCByAxlCByAxl， 它们之间
7、的距离为d，则有 22 21 BA CC d . 注；直线系方程 1. 与直线：Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( mR, Cm). 2. 与直线：Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( mR) 3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0) 4. 过直线 l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+( A2x+B2y+C2）=0 (R） 注： 该直线系不含 l2. 7. 关于点对称和关于某直线对称： 关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. 关于某
8、直线对称的两条直线性质 ： 若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称 直线距离相等. 若两条直线不平行， 则对称直线必过两条直线的交点， 且对称直线为两直线夹角的角平分线. 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程） ，过两对 称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点. 注：曲线、直线关于一直线（bxy）对称的解法：y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a x, 2b y)=0. 二、圆的方
9、程. 1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程0),(yxf的实数 建立了如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. 曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(yxM其坐标与方程0),(yxf的一种关系， 曲线上任一点),(yx是方程0),(yxf的解；反过来，满足方程0),(yxf的解所对应的点是 曲线上的点. 注：如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0，那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点),
10、(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是 222 )()(rbyax. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是： 222 ryx. 注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程 222 )()(bbyax ),(),(,bababr或圆心 与y轴相切的圆方程 222 )()(abyax ),(),(,babaar或圆心 与x轴y轴都相切的圆方程 222 )()(aayax ),(,aaar圆心 3. 圆的一般方程：0 22 FEyDxyx . 当04 22 FED时，方程表示一个圆，其中圆心 2 , 2 ED C，半径 2 4 22 FED r . 2020高考备考群：693254050 微信公众
11、号：爱猫学习宝 （加群 或 关注公众号，免费领取各科学习资料，定期更新至高考，提供一站式服务） 当04 22 FED时，方程表示一个点 2 , 2 ED . 当04 22 FED时，方程无图形（称虚圆）. 注：圆的参数方程： sin cos rby rax （为参数）. 方 程0 22 FEyDxCyBxyAx表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ：0B且0 CA且 04 22 AFED. 圆的直径或方程：已知0)()(),(),( 21212211 yyyyxxxxyxByxA（用向量可 征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点),( 00 yxM及圆 222 )()( :rbyaxC. M在圆
12、C内 22 0 2 0 )()(rbyax M在圆C上 22 0 2 0 )()rbyax （ M在圆C外 22 0 2 0 )()(rbyax 5. 直线和圆的位置关系： 设圆圆C：)0()()( 222 rrbyax； 直线l：)0(0 22 BACByAx； 圆心),(baC到直线l的距离 22 BA CBbAa d . rd 时，l与C相切； 附：若两圆相切，则 0 0 222 22 111 22 FyExDyx FyExDyx 相减为公切线方程. rd 时，l与C相交； 附：公共弦方程：设 有两个交点，则其公共弦方程为0)()()( 212121 FFyEExDD. rd 时，l与C
13、相离. 附：若两圆相离，则 0 0 222 22 111 22 FyExDyx FyExDyx 相减为圆心 21O O的连线的中与线方程. 由代数特征判断：方程组 0 )()( 222 CBxAx rbyax 用代入法，得关于x（或y）的一元二次方 程，其判别式为，则： l0与C相切； l0与C相交； 0: 0: 222 22 2 111 22 1 FyExDyxC FyExDyxC l0与C相离. 注：若两圆为同心圆则0 111 22 FyExDyx，0 222 22 FyExDyx相减，不表示直 线. 6. 圆 的 切 线 方 程 ： 圆 222 ryx的 斜 率 为k的 切 线 方 程
14、是rkkxy 2 1过 圆 0 22 FEyDxyx 上一点),( 00 yxP的切线方程为：0 22 00 00 F yy E xx Dyyxx. 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上， 则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地， 过圆 222 ryx上 一点),( 00 yxP的切线方程为 2 00 ryyxx. 若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则 1 )( )( 2 11 0101 R xakyb R xxkyy ，联立求出k切线方程. 7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共 圆 . 已 知O的 方
15、程0 22 FEyDxyx 又 以 ABCD 为 圆 为 方 程 为 2 )()(kbxyyaxxx AA 4 )()( 22 2 byax R AA ，所以 BC 的方程即代，相切即为所求. 三、曲线和方程 1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系： 1） 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解（纯粹性）； 2） 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 （完备性）。 则称方程 f(x,y)=0 为曲线 C 的 方程，曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。 2.求曲线方程的方法：. 1）直接法：建系
16、设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系 数法. -圆锥曲线方程 考试内容：考试内容： 椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质椭圆的参数方程 双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质 抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质 考试要求：考试要求： （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程 （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 （4）了解圆锥曲线的初步应用 A B C D(a,b) 08. 圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义： 为端点的线段以 无
17、轨迹 方程为椭圆 212121 2121 2121 ,2 ,2 ,2 FFFFaPFPF FFaPFPF FFaPFPF 椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在 x 轴上： )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x . ii. 中心在原点，焦点在y轴上： )0( 1 2 2 2 2 ba b x a y . 一般方程：)0, 0( 1 22 BAByAx.椭圆的标准参数方程：1 2 2 2 2 b y a x 的参数方程为 sin cos by ax （一象限应是属于 2 0 ）. 顶点：), 0)( 0 , (ba或) 0 , )(, 0(ba .轴：对称轴：x 轴，y轴；长轴长
18、a2，短轴长b2. 焦 点 ：) 0 , )( 0 , (cc或), 0)(, 0(cc. 焦 距 ： 22 21 ,2baccFF. 准 线 ： c a x 2 或 c a y 2 .离心率：) 10( e a c e .焦点半径： i. 设),( 00 yxP为椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 上的一点， 21,F F为左、右焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),( 00 yxP为椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba a y b x 上的一点， 21,F F为上、下焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知： )0()(),0()( 0
19、00 2 200 2 01 xaexx c a epFxexa c a xepF 归结起来为 “左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),( 2 2 2 2 a b c a b d和),( 2 a b c 共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率是)( 22 bac a c e，方 程tt b y a x ( 2 2 2 2 是大于 0 的参数，)0 ba的离心率也是 a c e 我们称此方程为共离心率 的椭圆系方程. 若 P 是椭圆：1 2 2 2 2
20、 b y a x 上的点. 21,F F为焦点，若 21PF F，则 21F PF的面积为 2 tan 2 b（用余弦定理与aPFPF2 21 可得）. 若是双曲线，则面积为 2 cot 2 b. 0201 ,exaPFexaPF 0201 ,eyaPFeyaPF 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义： 的一个端点的一条射线以 无轨迹 方程为双曲线 212121 2121 2121 ,2 2 2 FFFFaPFPF FFaPFPF FFaPFPF 双 曲 线 标 准 方 程 ：)0,( 1),0,( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ba b x a y ba b y a x . 一 般
21、 方 程 ： )0( 1 22 ACCyAx. i. 焦点在 x 轴上： 顶点：) 0 , (), 0 , (aa 焦点：) 0 , (), 0 , (cc 准线方程 c a x 2 渐近线方程：0 b y a x 或 0 2 2 2 2 b y a x ii. 焦点在y轴上：顶点：), 0(), 0(aa. 焦点：), 0(), 0(cc. 准线方程： c a y 2 . 渐近 线方程：0 b x a y 或0 2 2 2 2 b x a y ，参数方程： tan sec by ax 或 sec tan ay bx . 轴yx,为对称轴， 实轴长为 2a, 虚轴长为 2b， 焦距 2c. 离
22、心率 a c e . 准线距 c a22 （两准线的距离）；通径 a b22 . 参数关系 a c ebac, 222 . 焦点半径公式：对于双曲 线方程1 2 2 2 2 b y a x （ 21,F F分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则： aexMF aexMF 02 01 构成满足aMFMF2 21 aexFM aexFM 02 01 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半 径要带符号计算，而双曲线不带符号） aeyFM aeyFM aeyMF aeyMF 0 2 0 1 02 01 等轴双曲线：双曲线 222 ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率 2
23、e. 共轭双曲线 ： 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭 双 曲 线 . 2 2 2 2 b y a x 与 2 2 2 2 b y a x 互 为 共 轭 双 曲 线 ， 它 们 具 有 共 同 的 渐 近 线 ： asinacos,() bsinbcos(), N y x N的轨迹是椭圆 y x M M F1 F2 y x M M F1 F2 0 2 2 2 2 b y a x . 共渐近线的双曲线系方程：)0( 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为0 2 2 2 2 b y a x 如果双曲线的 渐近线为0 b y a x 时，它的双曲线方程可设
24、为)0( 2 2 2 2 b y a x . 例如：若双曲线一条渐近线为xy 2 1 且过) 2 1 , 3( p，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：)0( 4 2 2 y x ，代入) 2 1 , 3( 得1 28 22 yx . 直线与双曲线的位置关系： 区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条； 区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条； 区域：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条； 区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计 2 条； 区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：
25、过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“法与渐 近线求交和两根之和与两根之积同号. 若 P 在双曲线1 2 2 2 2 b y a x ，则常用结论 1：P 到焦点的距离为 m = n，则 P 到两准线的距 离比为 mn. 简证： e PF e PF d d 2 1 2 1 = n m . 常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b. 三、抛物线方程. 3. 设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2
26、图形 y x O y x O y x O y x O y x F1F2 1 2 3 4 5 3 3 焦点 )0 , 2 ( p F ) 0 , 2 ( p F ) 2 , 0( p F ) 2 , 0( p F 准线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范围 Ryx , 0 Ryx , 0 0,yRx 0,yRx 对称轴 x轴 y轴 顶点 （0，0） 离心率 1e 焦点 1 2 x p PF 1 2 x p PF 1 2 y p PF 1 2 y p PF 注：xcbyay 2 顶点) 24 4 ( 2 a b a bac . )0(2 2 ppxy则焦点半径 2 P xPF ;)
27、0(2 2 ppyx则焦点半径为 2 P yPF . 通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的. pxy2 2 （或pyx2 2 ）的参数方程为 pty ptx 2 2 2 （或 2 2 2 pty ptx ）（t为参数）. 四、圆锥曲线的统一定义. 4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当10 e时，轨迹为椭圆； 当1e时，轨迹为抛物线； 当1e时，轨迹为双曲线； 当0e时，轨迹为圆（ a c e ，当bac , 0时）. 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如 ： 椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关 于原点对称的. 因为具有对称性
28、，所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可. 注：注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 1 到两定点 F1,F2的距离 之和为定值2a(2a|F1F2|) 的点的轨迹 1到两定点 F1,F2的距 离之差的绝对值为定值 2a(02a|F1F2|)的点的 轨迹 2与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.（0e1） 与定点和直线的距离相等 的点的轨迹. 图形 标准 方程 1 2 2 2 2 b y a x (ba 0) 1 2 2 2 2 b y a x (a0,b0) y2=2px 方 程 参数 方程 为离心角）参数 ( sin c
29、os by ax 为离心角）参数 ( tan sec by ax pty ptx 2 2 2 (t 为参数) 范围 axa，byb |x| a，yR x0 中心 原点 O（0，0） 原点 O（0，0） 顶点 (a,0), (a,0), (0,b) , (0,b) (a,0), (a,0) (0,0) 对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b x 轴，y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴 焦点 F1(c,0), F2(c,0) F1(c,0), F2(c,0) ) 0 , 2 ( p F 焦距 2c （c= 22 ba ） 2c （c= 22 ba ） 离心率 ) 10(e a c e ) 1( e a c e e=1 准线 x= c a 2 x= c a 2 2 p x 渐近线 y= a b x 焦半径 exar )(aexr 2 p xr 通径 a b22 a b22 2p 焦参数 c a2 c a2 P 1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线 5. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.
