1、1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 2 定点、定值问题定点、定值问题 训练篇训练篇 A 专题专题 02 定点、定值问题定点、定值问题 训练篇训练篇 A 1已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. ()求动圆圆心的轨迹 C 的方程； ()已知点 B(1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴 是PBQ 的角平分线，求证：直线 l 过定点 解解 ()设动圆圆心为点 P(x，y)，则由勾股定理得 x242(x4)2y2，化简即得圆心 的轨迹 C 的方程为 y28x. ()证证 1 由题意可设直线 l 的方程为 ykx
2、b(k0) 联立 ykxb， y28x， 得 k2x22(kb4)xb20. 由 4(kb4)24k2b20，得 kb2. 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x2 28 2 ，x1x2b 2 k2. 因为 x 轴是PBQ 的角平分线，所以 kPBkQB0， 即 kPBkQB y1 x11 y2 x21 212+2+(+)(1+2) (1+1)(2+1) 8(+) (1+1)(2+1)20， 所以 kb0，即 bk，所以 l 的方程为 yk(x1) 故直线 l 恒过定点(1,0) 证证 2 设 P y21 8，y1 ，Q y22 8，y2 ，因为 x 轴是PBQ 的角平分线， 所
3、以 kPBkQB y1 y21 81 y2 y22 81 0，整理得(y1y2) y1y2 8 1 0. 因为直线 l 不垂直于 x 轴，所以 y1y20，可得 y1y28. 因为 kPQy1y2 y21 8 y22 8 8 y1y2，所以直线 PQ 的方程为 yy1 8 y1y2 xy 2 1 8 ，即 y 8 y1y2(x 1)故直线 l 恒过定点(1,0) 证证 3 设直线 PB 的方程为 xmy1， 它与抛物线 C 的另一个交点为 Q， 设点 P(x1， y1)， Q(x2，y2)，由条件可得，Q 与 Q关于 x 轴对称，故 Q(x2，y2) 联立 xmy1， y28x， 消去 x 得
4、 y28my80， 其中 64m2320，y1y28m，y1y28.所以 kPQy1y2 x1x2 8 y1y2，因而直线 PQ 的 方程为 yy1 8 y1y2(xx1) 又 y1y28，y218x1，将 PQ 的方程化简得(y1y2)y8(x1)， 2 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 2 定点、定值问题定点、定值问题 训练篇训练篇 A 故直线 l 过定点(1,0) 证证 4 由抛物线的对称性可知，如果定点存在，则它一定在 x 轴上， 所以设定点坐标为(a,0)，直线 PQ 的方程为 xmya. 联立 xmya， y28x 消去 x，整理得 y28my8a0，0. 设点 P(x1，y
5、1)，Q(x2，y2)，则 y1y28m， y1y28a. 由条件可知 kPBkQB0，即 kPBkQB y1 x11 y2 x21 212+(+1)(1+2) (1+1)(2+1) =0，所以8ma8m0. 由 m 的任意性可知 a1，所以直线 l 恒过定点(1,0) 2 （2020 成都七中） 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0ba） 经过点) 1 , 0(， 离心率为 2 3 ， A、B、C为椭圆上不同的三点，且满足 0OCOBOA ，O为坐标原点 （）若直线AB、OC的斜率都存在，求证： OCAB kk为定值； （）求AB的取值范围 解解（）证明：依题有 222 2 3
6、1 cba a c b 1 4 2 2 b a ， 所以椭圆方程为 1 4 2 2 y x 设 11,y xA， 11, y xB， 11, y xC， 由O为ABC的重心 坐标公式可得 123123 ,xxx yyy 。 又因为 2222 1122 44,44xyxy，两式相减得 12121212 40 xxxxyyyy， 3121212 1212312 ; 4 ABOC yyyxxyy kk xxyyxxx ，所以 1 . 4 ABOC kk ()解解 当AB的斜率不存在时： 1212 ,0 xxyy， 313 2 ,0 xx y 。 3 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 2 定点、
7、定值问题定点、定值问题 训练篇训练篇 A 代入椭圆方程得 11 3 1, 2 xy ，从而|3AB 。 当AB的斜率存在时，设直线为tkxy，这里0t 由 22 44 ykxt xy ， ， 整理得 ， 由0 得 22 41kt ，由此可得 2 1 4 t 。 再由韦达定理及 0OCOBOA 得 22 82 , 41 41 ktt C kk ，代入椭圆方程得 2= 42+ 1, 于是 2 9 | 4 33,8 3 4 AB t （4）. 综上,AB的范围是3,8 3（4）. 3.（2019 新课标卷 文 21）已知曲线，为直线上的动点，过作的 两条切线，切点分别为，. （）证明：直线过定点.
8、（）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程. 解解 （）设，则， 由于，所以切线 DA 的斜率为，故， 整理得：. 设，同理可得. 即直线的方程为.所以直线过定点。 （）由（）得直线的方程.由，可得.于是 . 设为线段的中点，则，由于，而，与向 量平行，所以，解得或. 当时，所求圆的方程为； 当时，所求圆的方程为. 4 （2018 年北京理第 19 题）已知抛物线 C： 2 y=2px 经过点P（1，2） 过点 Q（0，1） 222 418440kxktxt 2 : 2 x C y D 1 2 y DC AB AB 5 (0, ) 2 EABAB 1 ( ,) 2 D t
9、1 (A x 1) y 2 11 2xy yx 1 x 1 1 1 1 2 y x xt 11 2210txy 2 (B x 2) y 22 2210txy AB2210txy AB 1 (0, ) 2 AB 1 2 ytx 2 1 2 2 ytx x y 2 210 xtx 2 121212 2 ,() 121xxt yyt xxt MAB 2 1 ( ,) 2 M t t EMAB 2 ( ,2)EMt tAB (1, ) t 2 (2)0ttt 0t 1t 0t | 2EM 22 5 ()4 2 xy 1t |2EM 22 5 ()2 2 xy 4 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题
10、 2 定点、定值问题定点、定值问题 训练篇训练篇 A 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A， B， 且直线 PA 交 y 轴于 M， 直线 PB 交 y 轴于 N （）求直线 l 的斜率的取值范围； （）设 O 为原点，QMQO，QNQO，求证： 11 为定值 解解 （）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2） ，所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的 方程为 y2=4x 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（k0） 由 2 4 1 yx ykx 得 22 (24)10k xkx 依题意 22 (24)410kk ，解得 k0 或 0
11、k1 又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点（1，-2） 从而 k-3 所以直线 l 斜率的取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1） （）解解 1 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由（I） 知 12 2 24k xx k ， 12 2 1 x x k 直线 PA 的方程为 y2= 1 1 2 2(1) 1 y yx x 令x=0 ， 得 点M的 纵 坐 标 为 11 11 21 22 11 M ykx y xx 同理得点 N 的纵坐标为 2 2 1 2 1 N kx y x 由=QMQO uuuruuu r ，=QNQO uuu ruuu r 得=1 M y，1 N
12、y 所以 12 12 111111 11(1)(1) MN xx yykxkx 22 1212 12 2 224 2()11 =2 1 11 k x xxx kk kx xk k 所以 11 为定值 （II）解解 2 设), 0(), 0(nNmM，) 1, 0(mQM，) 1, 0(nQN，) 1, 0( QO,由 QOQM，QOQN， 得m-1，n1， 所以直线PM的方程：mxmy)2(， 直线PN的方程：nxny)2(。 5 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 2 定点、定值问题定点、定值问题 训练篇训练篇 A 设点), 4 ( 1 2 1 y y A，), 4 ( 2 2 2 y
13、y B，P、A、M三点共线， 则 PAMA kk， 即 01 2 1 4 2 2 1 1 n y y ， 解得 m m y 2 2 1 。 同理可得 n n y 2 2 2 ， 所以点) 2 2 , )2( ( 2 2 m m m m A ，) 2 2 , )2( ( 2 2 n n n n B ， 又因为BAQ, 三点共线， QBQA kk，nmmn2. 1111222 = 1111 mnmn mnmnmnmn . 所以 11 为定值 2. 5.如图， 已知直线 l： ykx1(k0)关于直线 yx1 对称的直 线为 l1，直线 l，l1与椭圆 E： x2 4y 21 分别交于点 A，M 和
14、 A，N， 记直线 l1的斜率为 k1. (1)求 k k1的值； (2)当 k 变化时，试问直线 MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒 过定点，请说明理由 解解 (1)设直线 l 上任意一点 P(x，y)关于直线 yx1 对称的点为 P0(x0，y0)，直线 l 与直 线 l1的交点为(0,1)，l：ykx1，l1：yk1x1，ky1 x ，k1y01 x0 ，由yy0 2 xx0 2 1， 得 yy0 xx02， 由yy0 xx01，得 yy0 x0 x， 由得 yx01， y0 x1， 所以 k k100+1 0 = (+1)(0+1)01 0 = 1. （记住二级结论
15、：曲线 f(x,y）关于直线 x+y+c=0 对称的曲线方程为 f(-y-c,-x-c)=0; 曲线 f(x,y）关于直线 x-y+c=0 对称的曲线方程为 f(y-c,x+c)=0,则一看就知道定值是 1，不过作为 解答题还要有过程) (2)由 ykx1， x2 4y 21 得(4k21)x28kx0， 设 M(xM，yM)，N(xN，yN)，所以 xM 8k 4k21，yM 14k2 4k21. 6 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 2 定点、定值问题定点、定值问题 训练篇训练篇 A 同理可得 xN 8k1 4k211 8k 4k2，yN 14k21 4k211 k24 4k2. k
16、MNyMyN xMxN 14k2 4k21 k24 4k2 8k 4k21 8k 4k2 88k4 8k3k23 k 21 3k ， 直线 MN：yyMkMN(xxM)， 即 y14k 2 4k21 k21 3k x 8k 4k21 ， 即 yk 21 3k x 8k21 34k21 14k 2 4k21 k21 3k x5 3. 所以当 k 变化时，直线 MN 过定点 0，5 3 . 6已知椭圆 C 经过点 1，3 2 ，且与椭圆 E：x 2 2y 21 有相同的焦点 ()求椭圆 C 的标准方程； ()若动直线 l：ykxm 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P，且与直线 x4 交于点 Q，
17、问：以线段 PQ 为直径的圆是否经过一定点 M？若存在，求出定点 M 的坐标；若不存在， 请说明理由 解解 ()椭圆 E 的焦点为( 1,0)， 设椭圆 C 的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 则 1 a2 9 4 b21， a2b21， 解得 a24， b23， 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 31. ()联立 ykxm， x2 4 y2 31 消去 y， 得(34k2)x28kmx4m2120， 所以 64k2m24(34k2)(4m212)0，即 m234k2. 设 P(xP，yP)，则 xP4km 34k2 4k m，yPkxPm 4k2 m m3 m，即 P 4k m， 3 m .假设存在定点 M(s，t) 满足题意，因为 Q(4,4km)， 7 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 2 定点、定值问题定点、定值问题 训练篇训练篇 A 则 MP 4k ms， 3 mt ，MQ(4s,4kmt)， 所以 4k ms (4s) 3 mt (4kmt) 4k m(1s) 3 mm4k t(s 2 4s3t2)0 恒成立， 故 1s0， t0， s24s3t20， 解得 s1， t0. 所以存在点 M(1,0)符合题意
