1、 - 1 - 福建省惠安县 2018届高三数学上学期期中试题 理 一、选择题 （本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，每题只有一个正确选项） 1设集合 ，集合 ，则 等于（ ） A（ 1， 2） B（ 1， 2 C 1， 2） D 1， 2 2已知向量 和 ，若 ，则 （ ） A 64 B 8 C 5 D 3 函数 ( ) ln( 2)f x xx? ? ?的零点所在的大致区间为 （ ） A ? ?1,2 B ? ?2,3 C ? ?3,4 D ? ?4,5 4如图，已知 是边长为 1的正六边形，则 的值为（ ） A B C D 5 已知角 的终边过点 P（ 8m， 6sin30 ），且
2、 cos = ，则 m的值为（ ） A B C D 6. 已知 f(x)在 R上是奇函数，且满足 f(x 4) f(x)，当 x(0,2) 时， f(x) 2x2， 则 f(7) ( ) A. 2 B.2 C. 98 D.98 7 将函数 3 cos sin ( )y x x x R? ? ?的图象向右平移 （ 0）个单位长度后，所得到的图象关于 y轴对称，则 的最小值是 A 12? B 6? C 3? D 56? 8已知函数 f(x) cos x(x(0,2) 有两个不同的零点 x1， x2，且方程 f(x) m 有两个不同的实根 x3， x4若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数
3、m的值为 ( ) A 12 B 12 C 32 D 32 9 已 知 21( ) ln ( 0 )2f x a x x a? ? ?， 若 对 任 意 两 个 不 等 的 正 实 数 12,xx， 都 有1212( ) ( ) 2f x f xxx? ? 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） - 2 - A 1, )? B (1, )? C (0,1) D (0,1 10. 在数列 ?na 中，已知 12 21nna a a? ? ? ? ?，则 2 2 212 na a a? ?等于（ ） A. 2(2 1)n? B. 413n? C.41n? D. 2(2 1)3n? 11设函数 的图象
4、在点 处切线的斜率为 ，则函数 的部分图象为（ ） A B C D 12.已知函数 ()gx 满足 121( ) (1) (0 ) 2xg x g e g x x? ? ?，且存在实数 0x 使得不等式02 1 ( )m g x? 成立，则 m 的取值范围为 A.? ?,2? B. ? ?,3? C. ? ?0,? D. ? ?1,? 二、填空题 :本大题共 4 小题，每小题 5分，满分 20分 .请把答案填在答题纸的相应位置 . 13. 设复数 z满足 i(z 1) 3 2i(i为虚数单位 )，则 z= 14、 数列 na 中，若11,121nn naaaa? ?则 6a 等于 15.设20
5、lg , 0,(), 0.axxfxx t dt x? ? ?若 (1) 9ff? ，则 a? 16. 一艘海轮从 A处出发，以每小时 40海里的速度沿东偏南 50 方向直线航行， 30 分钟后到达 B处，在 C处有一座灯塔，海轮在 A处观察灯塔，其方向是东偏南 20 ，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ，那么 B、 C两点间 的距离是 海里 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） - 3 - 17（本题满分 12分） 如图 ,在 ABC? 中，已知点 DE、 分别在边 AB BC、 上，且 3AB AD? ， 2BC BE? .（ 1）
6、用向量 AB 、 AC 表示 DE ； （ 2）设 6AB? , 4AC? , 60A?,求线段 DE 的长 . 18. （本题满分 12分） 已知 ABC 的内角 A， B， C的对边分别是 a， b， c， 且 2 2 2a b c ab? ? ? (1) 求角 C； (2) 若 c 7， ABC的周长为 5 7，求 ABC 的面积 S. 19 （本题满分 12分）如图，平面直角坐标系 xOy 中，3ABC ?，6ADC ?， 7AC? ，BCD? 的面积为 3 （ ）求 AB 的长； （ ）若函数 ( ) sin( )f x M x?（ 0M? ， 0? ，2?）的图象经过 A ， B
7、， C 三点，其中 A ， B是 ()fx图象与 x 轴相邻的两个交点，求 A ， B ， C 的坐标及 ()fx的解析式 D OBCAxy- 4 - 20、 （本题满分 12分） 设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，已知 1 2a? ， 2 8a? ， 1145n n nS S S?（ 2n? ）， n T 是数列 ? ?2log na 的前 n 项和 （ 1） 证 明 数列 ?na 是等比数列，并求 通项公式； （ 2）求满足231 1 1 1 0 0 9(1 )(1 ) (1 ) 2016nT T T? ? ? ?的最大正整数 n 的值 21（本题满分 12分）已知函数 ? ? 2
8、 lnf x ax b x?在点 ? ?1, 1f 处的切线为 1y? （ 1）求实数 a ， b 的值； （ 2）是否存在实数 m ，当 ? ?0,1x ? 时，函数 ? ? ? ? ? ?2 1g x f x x m x? ? ? ?的最小值为 0 ，若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 （ 3）若 120 xx?，求证： 2122ln lnxx x? ? 22 （本题满分 10分） 在极坐标系中，圆 C的极坐标方程为： 2=4 （ cos +sin ） -3若以极点 O为原点，极轴所在直线为 x轴建立平面直角坐标系 （ ）求圆 C的参数方程； （ ）在直角坐标系中，点 P（
9、 x， y）是圆 C上动点，试求 x+2y的最大值，并求出此时点 P的直角坐标 - 5 - 2017年秋季期中 考 试卷参考答案 一、选择题（本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，每题只有一个正确选项） 1-5 BCCAB 6-10 ADCAD 11-12 BD 二、填空题 :本大题共 4 小题，每小 题 5分，满分 20分 .请把答案填在答题纸的相应位置 . 13.1+3i 14. 111 15. 3 16.102 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17 18. 解： (1) 由余弦定理，得 cos C 12， C 3 . 4分
10、(2) a b c 5 7且 c 7， a b 5. 5 分 由余弦定理，得 a2 b2 2abcos C c2， 7分 (a b)2 2ab 2abcos C 7， 9分 5 2 3ab 7， 11分 ab 6， SABC 12absin C 3 32 . 12分 19解：（）因为3ABC ?，6ADC ?，所 以6BCD ?， 23CBD ?， BC BD? - 6 - 法一：又因为 BCD? 的面积为 3 ，所以 21 2 3s in 32 3 4B C DS B D B C B C? ? ? ? ? ?， 所以 2BC? 在 ABC? 中， 7AC? ，3ABC ?， 由余弦定理得：
11、2 2 2 2 c o s3A C A B B C A B B C ? ? ? ? ?，即 22 17 4 2 22A B A B? ? ? ? ?， 整理得 2 2 3 0AB AB? ? ?所以 3AB? 或 1AB? （舍去），所以 AB 的长为 3 法二：在 BOC? 中， 3sin32C O BC BC? ? ?， 1cos32BO BC BC? ? ? 又因为 BCD? 的面积为 3 ，所以 213 324B C DS B D C O B C? ? ? ? ?， 所以 2BD BC?，故 3CO? ， 1BO? 直角三角形 AOC 中， 22 2OA AC CO? ? ? 故 3A
12、B BO OA? ? ? （）由（）可知， (2,0)A ， ( 1,0)B? ， (0, 3)C 因为函数 ( ) sin( )f x M x?的图象经过 A ， B ， C 三点，其中 A ， B 是 ()fx图象与 x 轴相邻的两个交点，所以函数 ()fx的半个周期为 32T?，对称轴为 12x?所以 26T ? 因为 0? ，所以3?，所以 12 3 2 k? ? ? ?（ k?Z ），所以3 k?（ k?Z ） 又因为2?，所以3?，所以 ( ) sin( )33f x M x? 又因为 3(0 ) sin 332f M M? ? ?， 所以 2M? ，从而函数 ()fx的解析式为
13、( ) 2 sin( )33f x x? 20、 解：（ ） 当 2n? 时， 1145n n nS S S? 114( )n n n nS S S S? ? ? 1 4nnaa? ? 1 2a? ， 2 8a? 214aa? 数列 ?na 是以 2 为首项，公比为 4的 等比数列， 1 2 12 4 2nnna ? ? ? 5 分 （ 2）由（ 1）得： 2122lo g lo g 2 2 1nnan? ? ?， 6 分 2 1 2 2 2lo g lo g lo gnnT a a a? ? ? ? 1 3 (2 1)n? ? ? ? ? 7 分 - 7 - (1 2 1)2nn? 8 分
14、2n? 9 分 所以121 1 1(1 )(1 ) (1 )nT T T? ? ? 2 2 21 1 1(1 )(1 ) (1 )23 n? ? ? ? 1 0分 2 2 2 22 2 2 22 1 3 1 4 1 1234 n n? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 21 3 2 4 3 5 ( 1 ) ( 1 ) 12 3 4 2n n nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 令 1 10092 2016n n? ? ，解得 1008n? 故满足条件的最大正整数 n 的值为 1008 12 分 21（ 1）解： ? ? 2 lnf x ax b x?，其定义域为
15、 ? ?0,? ， ( ) 2 bf x axx? ?. 1分 依题意可得 (1) 1,(1) 2 0.faf a b? ? ? ? ? 2分 解得 1, 2ab?. 4分 （ 2）解： 2( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ln , ( 0 ,1 g x f x x m x m x x x? ? ? ? ? ? ? ?， 22() mxg x mxx? ? ? ?. 5分 当 0m? 时， ( ) 0gx? ? ，则 ()gx在 (0,1 上单调递减， min( ) (1) 0g x g?. 6分 当 2 1m?即 02m?时， 2()( ) 0mx mgx x? ?，则 ?gx在
16、(0,1 上单调递减 , min( ) (1) 0g x g?. 7分 当 201m?即 2m? 时，则 20,xm?时， ? ? 0gx? ? ； 2,1xm? ?时， ? ? 0gx? ? ， ()gx在 20,m?上单调递减，在 2,1m? ?上单调递增 . 故当 2x m? 时， ?gx的最小值为 2gm?. 2 (1) 0ggm?. min( ) 0gx ? . 8分 综上所述，存在 ( ,2m? 满足题意 9分 - 8 - （ 3）证法 1：由（ 2）知，当 1m? 时， ( ) 1 2lng x x x? ? ? 在 (0,1) 上单调递减 , (0,1)x? 时， ( ) (1) 0g x g?, 即 1 2lnxx? .
