1、 1 江苏省苏州市 2018 届高三数学上学期期中试题 一、 填空题：本大题共 14 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 70 分 1. 已知集合 U 1， 2， 3， 4， 5， A 1， 3， B 2， 3， 则 A( ?UB) _ 2. 函数 y 1ln（ x 1） 的定义域为 _ 3. 设命题 p： x4；命题 q： x2 5x 40 ， 那么 p 是 q 的 _条件 (填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ”“ 既不充分又不必要 ”) 4. 已知幂函数 y x2m m2(m N*)在 (0， ) 是增函数 ， 则实数 m 的值是 _ 5. 已知曲线 f(x) ax3 ln
2、x 在点 (1， f(1)处的切线的斜率为 2， 则实数 a 的取值是_ 6. 已知在等比数列 an中 ， a3 2， a4a6 16， 则 a7 a9a3 a5 _ 7. 函数 y sin(2x )? ?00 的解集是 _ 9. 已知 tan? ? 4 2， 则 cos2 的值是 _ 10. 若函数 f(x)? x 8， x2 ，logax 5， x2 (a0 且 a1) 的值域为 6， ) ， 则实数 a 的取值范围是 _ 11. 已知数列 an， bn满足 a1 12， an bn 1， bn 1 1an 1(n N*)， 则 b1 b2? b2 017 _ 12. 设 ABC 的内角
3、A， B， C 的对边分别是 a， b， c， D 为 AB 的中点 ， 若 b acosC csinA且 CD 2， 则 ABC 面积的最大值是 _ 13. 已知函数 f(x) sin? ?x 6 ， 若对任意的实数 ? ? 56 ， 2 ， 都存在唯一的实数 0 ， m， 使 f( ) f( ) 0， 则实数 m 的最小值是 _ 14. 已知函数 f(x)?ln x， x0，2x 1， x 0， 若直线 y ax与 y f(x)交于三个不同的点 A(m，f(m)， B(n， f(n)， C(t， f(t)(其中 m0， b0)的图象与 x 轴相切 ， 且图象上相邻两个最高点之间的距离为 2
4、. (1) 求 a， b 的值； (2) 求 f(x)在 ? ?0， 4 上的最大值和最小值 2 16. (本小题满分 14 分 ) 在 ABC 中 ， 角 A， B， C 所对的边分别 是 a， b， c， 已知 sinB sinC msinA(m R)， 且a2 4bc 0. (1) 当 a 2， m 54时 ， 求 b， c 的值； (2) 若角 A 为锐角 ， 求实数 m 的取值范围 3 17. (本小题满分 15 分 ) 已知数列 an的前 n 项和是 Sn， 且满足 a1 1， Sn 1 3Sn 1(n N*) (1) 求数列 an的通项公式； (2) 在数列 bn中 ， b1 3
5、， bn 1 bn an 1an(n N*)， 若不等式 a n bn n2对 n N*有解 ，求实数 的取值范围 4 18. (本小题满分 15 分 ) 如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是等腰梯形，其中 AB 为 2 米 ， 梯形的高为 1 米 ， CD 为 3 米 ， 上部 CmD 是个半圆 ， 固定点 E 为 CD 的中点 MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆 (横杆面积可忽略不计 )， 且滑动过程中始终保持和 CD 平行当 MN 位于 CD 下方和上方时 ， 通风窗的形状均为矩形 MNGH(阴影部分均不通风 ) (1) 设 MN 与 AB 之间的距离为 x? ?0 x
6、y， 求证： 2x 1x2 2xy y2 2y 3. 【必做题】第 22 题、第 23 题 ， 每小题 10 分 ， 共 计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22. (本小题满分 10 分 ) 在小明的婚礼上 ， 为了活跃气氛 ， 主持人邀请 10 位客人做一个游戏第一轮游戏中 ， 主持人将标有数字 1， 2，?， 10 的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中 ， 让客人依次去摸 ，摸到数字 6， 7，?， 10 的客人留下 ， 其余的淘汰；第二轮放入 1， 2，?， 5 五张卡片 ， 让留下的客人依次去摸 ， 摸到数字 3， 4， 5 的客人留下；第三轮放入 1， 2， 3
7、三张卡片 ， 让留下的客人依次去摸 ， 摸到数字 2， 3 的客人留下；同样第四轮淘汰一位 ， 最后留下的客人获得小明准备的礼物 已知客人甲参加了该游戏 (1) 求甲拿到礼物的概率； (2) 设 表示甲参加游戏的轮数 ， 求 的概率分布列和数学期望 E() 23. (本小题满分 10 分 ) (1) 若不等式 (x 1)ln(x 1)ax 对任意 x0 ， ) 恒成立 ， 求实数 a 的取值范围； (2) 设 n N*， 试比较 12 13 ? 1n 1与 ln(n 1)的大小 ， 并证明你的结论 参考答案 1. 1 2. (1， 2)(2 ， ) 3. 充分不必要 4. 1 5. 13 6.
8、 4 7. 3 8. ( 2， 0)(1 ， 2) 9. 45 10. (1， 2 11. 12 018 12. 2 1 13. 2 14. ? ?1， e 1e 15. (1) 因为 f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为 2 ， 所以 f(x)的周期为 2 ， 9 所 以 22|a| 2 且 a0， 所以 a 2， 此时 f(x) 22 sin? ?4x 4 12 b. 因为 f(x)的图象与 x 轴相切 ， 所以 ? ?b 12 22 且 b0， 所以 b 22 12. (2) 由 (1)可得 f(x) 22 sin(4x 4) 22 . 因为 x ? ?0， 4 ， 所以 4x 4
9、? ? 4 ， 54 ， 所以当 4x 4 54 ， 即 x 4 时 ， f(x)有最大值为 2 12 ； 当 4x 4 2 ， 即 x 16时 ， f(x)有最小值为 0. 16. (1) 由题意得 b c ma， a2 4bc 0. 当 a 2， m 54时 ， b c 52， bc 1， 解得?b 2，c 12 或 ?b 12，c 2.(2) cosA b2 c2 a22bc （ b c） 2 2bc a22bc （ ma） 2 a22 a2a22 2m2 3. 因为 A 为锐角 ， 所以 cosA 2m2 3(0 ， 1)， 所以 320， 所以 62 f(n)， 所以 f(1)f(5
10、)f(6)?， 所以 f(n)max f(4) 427， 所以 427. 18. (1) 当 0x1 时 ， 过点 A 作 AKCD ， 垂足 K， 如图 1， 则 AK 1， DK CD AB2 12，HM 1 x. 由 AKDK MHDH 2， 得 DH HM2 1 x2 ， 所以 HG 3 2DH 2 x， 所以 S(x) HMHG (1 x)(2 x) x2 x 2； 当 1x52时 ， 过点 E 作 ETMN ， 垂足为 T， 连结 EN， 如图 2， 则 ET x 1， TN MN2 ?322（ x 1） 2 94（ x 1） 2， 所以 MN 2 94（ x 1） 2， 所以 S(x) MNET 2 94（ x 1） 2 (x 1) 综上所述 ， S(x)? x2 x 2， 0x1 ，2（ x 1） 94（ x 1） 2， 1x52. 图 1
