1、 1 丰台区 2016 2017学年度第一学期期末练习 高 三 数学（ 理科 ） 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题 共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 已知集合 ( 2 ) ( 1 ) 0 A x x x? ? ? ? ?Z ， 2,B? 1 ， 那么 ABU 等于 （ A） 2 1 01， ， ，? （ B） 2 1 0， ，? （ C） 2 1，? （ D） 1? 2 已知 0ab?，则下列不等式一定成立的是 （ A） ab? （ B） 11ab? （ C） 11( ) ( )22ab? （ D） ln lnab? 3 如
2、果 平面向量 (20)，?a ， (11)，?b ， 那么下列结论中正确的是 （ A） ?ab （ B） 22?ab （ C） ()?a b b （ D） /ab 4 已知直线 m ， n 和平面 ? ， 如果 n ? ，那么“ mn? ”是“ m? ”的 （ A） 充分而不必要条件 （ B） 必要而不充分条件 （ C） 充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 5 在等比数列 na 中， 31?a ， 1 2 3+=a a a? 9，则 4 5 6+a a a? 等于 （ A） 9 （ B） 72 （ C） 9或 72 （ D） 9或 ? 72 6 如果 函数 ( ) s in 3 c o
3、 sf x x x?的 两个 相邻零 点间的距离为 2 ，那么 (1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 9 )f f f f? ? ? ?L的值为 （ A） 1 （ B） ? 1 （ C） 3 （ D） 3? 7.中国历法推测遵循以测为辅 、以算为主的原则 例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷 (gu)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的 下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中 4115.16 寸表示 115 寸 416 分（ 1寸 =10分） 已知易经中记录的冬至晷影长为 130.0寸，夏至晷影长为 14.8寸，那么易经中所记录的
4、惊蛰的晷影节气 冬至 小寒 (大雪 ) 大寒 (小雪 ) 立春 (立冬 ) 雨水 (霜降 ) 惊蛰 (寒露 ) 春分 (秋分 ) 清明 (白露 ) 谷雨 (处暑 ) 立夏 (立秋 ) 小满 (大暑 ) 芒种 (小暑 ) 夏至 晷影长 （寸） 135 5125.64115.163105.26295.36285.4675.5 566.56455.66345.76235.86125.9616.0 2 长应为 （ A） 72.4寸 （ B） 81.4寸 （ C） 82.0寸 （ D） 91.6寸 8.对于任何集合 S，用 |S| 表示集合 S中的元素个数，用 ()nS 表示集合 S 的子 集个数 .
5、若 集合 A， B满足条件：|A|? 2017，且 ( ) ( ) ( )n A n B n A B? U，则 |A |I 等于 （ A） 2017 （ B） 2016 （ C） 2015 （ D） 2014 第二部分 （非选择题 共 110分） 二、填空题 共 6小题，每小题 5分，共 30分 9. i是虚数单位，复数 2i1i? = 10. 设椭圆 C： 222 + 1 ( 0)16xy aa ?的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P 在椭圆 C 上，如果 12| | + | | 10PF PF ? ，那么椭圆 C的离心率为 11 在 261()xx? 的展开式中，常数项是 （ 用数
6、字作答 ） 12 若 ，xy满足 202 2 00，xyxyy? ? ?+则 =2z x y? 的最大值为 13 如图，边长为 2的正三角形 ABC放置在平面直角坐标系 xOy中， AC在 x轴上，顶点 B与 y轴上的定点 P重合 将 正三角形 ABC 沿 x 轴正方向滚动，即先以顶点 C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续 当 ABC 滚动到 1 1 1ABC 时，顶点 B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中， OBOP?uur uur 的最大值为 14 已知 ()fx为偶函数，且 0?x 时， )( xxxf ? （ x 表示不超
7、过 x的最大整数） 设( ) ( ) ( )g x f x kx k k? ? ? ? R，若 1? ，则函数 ()gx有 _个零点；若函数 ()gx三个不同的零点，则 k 的取值范围是 _ POyxB 1C 1A 1C( B )A3 D CBA三、解答题 共 6小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15.（本小题共 13 分） 如图， 在 ABC中， D 是 BC 上 的点 ， 3AC? ， 2CD? ， 7AD? ， 7sin 7B? . （ ） 求角 C 的大小； （ ） 求边 AB的长 . 16.（本小题共 14 分） 如图所示的多面体中 ， 面 ABCD 是边长为
8、 2的正方形， 平面 PDCQ 平 面 ABCD ， PD DC ， E F G， ， 分别为棱 ， ，BC AD PA 的中点 . （ ）求证： EG 平面 PDCQ ； （ ）已知二面角 P BF C-的余弦值为 66， 求四棱锥 P ABCD- 的体积 17.（本小题共 14 分） 数独游戏越来越受人们喜爱，今年 某 地区科技馆组织数独比赛，该区 甲、乙、丙、丁 四所 学校的学生积极参赛，参赛 学生的人数如下表所示： 为了解参 赛 学生的 数独水平 ，该 科技馆 采用分层抽样的方法从 这 四所中学的参 赛 学生中抽取 30名参加问卷调查 （ ）问 甲、乙、丙、丁 四所中学各抽取多少名学生
9、？ （ ）从参加问卷调查的 30名学生中随机抽取 2名，求这 2名学生来自同一所中学的概率； （ ）在参加问卷调查的 30 名学生中，从来自 甲、丙 两所中学的学生中随机抽取 2名，用 X表示抽得 甲 中学的学生人数，求 X的分布列 中学 甲 乙 丙 丁 人数 30 40 20 10 CBPGFDEQA4 18.（本小题共 13 分） 已知 函数 ( ) exf x x? 与函数 21() 2g x x ax?的图象在 点 (00)， 处有相同的切线 . （ ） 求 a的值 ； （ ） 设 ( ) ( ) ( ) ( )h x f x bg x b? ? ? R，求 函数 ()hx在 12，
10、上的最小值 . 19.（本小题共 13 分） 已知抛物线 C ： 2 2 ( 0)y px p?的焦点为 F，且经过点 (12)，A ， 过点 F 的直线与抛物线 C 交于 P ， Q 两点 . （）求抛物线 C 的方程； （） O 为坐标原点，直线 OP ， OQ 与直线 2px? 分别交于 S ， T 两点，试判断 FSFT?uur uur 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 . 20.（本小题共 13 分） 已知无穷数列 nc 满足 1 1 1 2nncc? ? ? ? . （ ） 若1 17c?， 写出数列 nc 的前 4项； （ ） 对于任意 101c?， 是否存在实
11、数 M，使数列 nc 中的所有 项均不大于 M ？若存在，求 M的最小值；若不存在，请说明理由； （ ） 当 1c 为有理数，且 1 0c? 时 ， 若数列 nc 自某项后是周期数列，写出 1c 的最大值 .（直接写出结果，无需证明） 丰台区 20162017 学年度第一学期期末练习 高三数学（理科） 参考答案及评分参考 2017 01 5 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B D A C B 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分 9 1i? 10 53 11 15 12 4 13 83? ； 23 14 2； 1
12、 1 1 1,3 4 3 2? ? ? ? ? ? ?U三、解答题共 6小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15.（本小题共 13 分） 解： （ ） 在 ADC 中，由余弦定理，得 CDAC ADCDACC ? ? 2c o s 222 ?. 2分 21232723 22?. 4分 因为 0 C? ? ，所以 3C? . ?. 6分 （ ） 因为 3C? ，所以 23sin ?C . ?. 8分 在 ABC 中，由正弦定理，得 CABBAC sinsin ? ， ?. 10 分 即 2213?AB ，所以边 AB 的长为 2213 . ?. 13分 16.（本小题共 1
13、4 分） 证明： （ ） 取 PD 中点 H ，连接 GH ， HC ， 因为 ABCD 是正方形 ，所以 AD BC ， AD BC= . 因为 G,H 分别是 PA ,PD 中点，所以 GH AD , 12GH AD= . 又因为 EC AD 且 12EC AD=， 所以 GH EC ， GH EC= ， 所以四边形 GHCE 是 平行四边 形 , ?. 3分 所以 EG HC . 又因为 EG 平面 PDCQ ， HC 平面 PDCQ 6 所以 EG 平面 PDCQ ?. 5分 （ ） 因为平面 PDCQ 平 面 ABCD ， 平面 PDCQ I 平 面 ABCD CD= ， PD DC
14、 ， PD 平面 PDCQ ， 所以 PD 平面 ABCD ?. 6分 如图，以 D 为原点，射线 DA， DC， DP分别为 x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系 设 PD a= ，则 ( ) ( ) ( )0 0 0 0 2 2 01 P , ,a F , , B , ,， ， ? 7分 因为 PD 底面 ABCD ，所以平面 ABCD 的一个法向量为 (0,0,1)?m . ?. 8分 设平面 PFB的一个法向量为 ( , , )x yz?n ， ( )10 PF , , auuur =- ( )12 0 FB , ,uur = , 则 0,=0.PFFB? ?uuuruur nn 即
15、 0+2 =0x azxy?令 x=1，得 11, 2zya? ? ，所以 11(1, , )2 a?n ?. 10分 由 已知 ， 二面角 P BF C-的余弦值为 66， 所以得 216c o s | | | 6514aa? ? ?mnmnmn， ?. 11 分 解得 a =2,所以 2PD= ?. 13 分 因为 PD 是 四棱锥 P ABCD- 的 高， 所以 其 体积 为 182433P ABCDV ? ? ? ? ? ?. 14分 17（本小题共 14 分） 解： （ ）由题意知，四所中学报名参加 数独比赛 的学生总人数为 100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为 30 3100 10? ， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为 9， 12， 6， 3. ?3 分 （ ）设“从 30 名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件 A ， 从 30名学生 中随机抽取两名学生的取法共有 230 435C ? 种， ? 5分 来自同一所中学的取法共有 2 2 2 29 1 2 6 3 120C C C C? ? ? ? ? 7分 所以 120 8() 435 29PA ? yzxCBPGFDEQAH7 答：从 30名学生中随机抽取两
