1、 1 2016 2017学年度上学期期中考试 高三年级数学试题（理） 考试时间 120分钟 试题分数 150分 一、 选择题：（本大题共 12 个 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1、 已知集合 ? ?2| 4 3 0A x x x? ? ? ?， 2|12Bxx?， 则 AB? （ ） A （ 1， 3） B （ 1， 4） C （ 2， 3） D （ 2， 4） 2、 已知集合 ? ?1,Ai? ， i 为虚数单位，则下列选项正确的是 （ ） A 1 Ai? B 11 i Ai? ? C iA? D 5iA? 3、 公比为
2、 2的等比数列 ?na 的各项都是正数，且 3 11 16aa? ， 则 2 10log a ? （ ） A 4 B 5 C 6 D 7 4、 如图所示的函数图象与 x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 （ ） A B C D 5、 :p 在 ABC? 中， “ sin cosAB? ” 是 “ ABC? 为锐角三角形 ” 的必要不充分条件 ; 20 0 0: , 2 2 0q x R x x? ? ? ? ?。 则下列命题为真命题的是 （ ） A pq? B ? ?pq? ? C ? ?pq? ? D pq? 6、同时具有性质：最小正 周期是 ? ； 图象关于直线 3x ? 对
3、称； 在 , 63? 上是增函数的一个函数为 （ ） A sin( )26xy ? B cos(2 )3yx? C sin(2 )6yx? D cos( )26xy ? 7、如图 ,在 ABC? 中 , 13AN NC? ? , P 是 BN 上的一点 ,若 29AP m AB AC? ? ?,则实数 m 的值为（ ） 2 A 19 B。 13 C。 1 D。 3 8、 已知 ? ?fx是定义在 ? ?0,? 上的函数，对任意两个不相等的正数 12,xx，都有? ? ? ?2 1 1 2210x f x x f xxx? ? ，记 ? ?0.20.233fa? ，sin 7sin 7fb? ，
4、 ? ?log 2log 2fc ?，则（ ） A c b a? B b c a? C b a c? D c a b? 9、 如图，在四边形 ABCD中 ，已知 AD CD， AD 10， AB 14， BDA 60 ， BCD 135 ，则 BC的长为 ( ) A 8 2 B 9 2 C 14 2 D 8 3 10、 设关于 ,xy的不等式组 2 1 0,0,0xyxmym? ? ?表示的平面区域内存在? ?00,P x y ,满足 0022xy?,则 m 的取值范围 为 （ ） A 4,3?B 1,3?C 2,3?D 5,3?11、在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 ,abc ，
5、若 2b a c?，则角 B的取值范围是（ ） A ,2? ?B ,32? ?C 0,2? ?D 0,3? ?12 、 设函数 ? ? ?f x x R? 满足 ? ? ? ?f x f x? , ? ? ? ?2f x f x?, 且当 0,1x? 时 , ? ? 3f x x? .又函数 ? ? ? ?cosg x x x? ,则函数 ? ? ? ? ? ?h x g x f x?在 13,22?上的零点个数为 （ ） A 5 B 6 C 7 D 8 第 卷（共 90分） 二、 填空题： （每题 4分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13、 计算定积分 ? ?1 21 sinx x d
6、x? ? _. 14、 若 等差数列 na 满足 7 8 9 7 1 00 , 0a a a a a? ? ? ? ?，则当 n? _时， na 的前 n 项和最大 . 15、设函数 ln , 0()2 1, 0xxfx ? ? ? ?,D 是由 x 轴和曲线 ()y f x? 及该曲线在点 (1,0) 处的切线3 所围成的封闭区域 ,则 2z x y? 在 D 上的最大值为 _. 16、 在锐角三角形 ABC 中， 1tan 2A? ， D 为边 BC 上的点， ABD? 与 ACD? 的面积分别为 2和 4 过 D 作 DE AB? 于 E ， DF AC? 于 F ，则 DE DF? 三
7、、解答题：（ 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. .(本小题满分 12 分 ) 已知函数 2( ) 4 s in s in ( ) c o s 242 xf x x x? ? ? (1)设 0为常数，若 ()y f x? 在区间 223? ， 上是增函数，求的取值范围； (2)设集合 2A x | x 63? ? ?， | ( ) | 2B x f x m? ? ?,若 AB? ， 求实数 m 的取值范围 . 18、 (本小题满分 12分） 设 nS 为各项不相等的等差数列 ?na 的前 n 项和，已知 3 5 73aa a? , 3 9S? （ 1）求数列 ?na 通项公式
8、； （ 2）设 nT 为数列11nnaa?的前 n项和，求1nnTa?的最大值 19、 (本小题满分 12分 ) 如图（ 1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰 AC 的长为 a 米（ a 为常数），现在斜边 AB上选一点 D，将 ACD 沿 CD 折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（ 2） . 设 BCD 的面积为 S，点 A 到直线 CD 的距离为 d. 实践证明，遮阳效果 y 与 S、 d 的乘积 Sd 成正比，比例系数为 k4 （ k为常数，且 k0） . （ 1）设 ACD=?，试将 S表示为?的函数； （ 2）当点 D在何处时，遮阳效果最佳（即 y取得最大值） 20、（本
9、题满分 12分） 在平面直角坐标系 x0y中，已知点 ? ?2,0A ? ， ? ?2,0B ， E为动点，且直线 EA与直线 EB的斜率之积为 12? （）求动点 E的轨迹 C的方程； （）设过点 F（ 1， 0）的直线 l 与曲线 C相交于不同的两点 M ， N 若点 P在 y轴上，且PM PN? ，求点 P的纵坐标的取值范围 21、 (本小题满分 12分 ) 已知函数 ? ? 2xf x e ax ex? ? ?. ( )若曲线 ? ?y f x? 在点 ? ? ?1, 1f 处的切线平行于 x 轴 ,求函数 ? ?fx的单调区间 ; ( )试确定 a 的取 值范围 ,使得曲线 ? ?y
10、 f x? 上存在唯一的点 P ， 曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P . A B C D 图（ 1） ziyuanku. comA B C D 图（ 2） ? S 5 22、 (本小题满分 10分 ) 已知函数 ? ? 2f x x a a? ? ? （ I）当 2a? 时，求 不等式 ( ) 6f ?x 的解集； （ II）设函数 ( ) |2 1|g ?xx当 x?R 时， ( ) ( ) 3f x g x?，求 a 的取值范围 6 高三 理科数学试题 期中考试答案 A 卷： 1-6 C D B A D C ； 7-12 A B A C D B B 卷： 1-6 D B C A
11、B D ； 7-12A C B C D B 13、 23 ； 14、 8； 15、 2； 16、1615?17解： (1)f(x) = 1 c o s ( x )24 s in x c o s 2 x 2 s in x 1 ,2 ? ? ? ?g ? 2 分 f( x)=2sin x+1在 223? ， 上是增函数 . 22 3 2 2? ? ? ? ? ? ? ， ， ， 即 23, (0 .3 2 2 2 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ， ? 6分 (2)由 |f(x)-m| 2得： -2 f(x)-m 2, 即 f(x)-2 m f(x)+2. A?B,当 2x63? ?
12、 ? 时， f(x)-2 m f(x)+2恒成立 ? ? ? ?m a x m inf x 2 m f x 2 ,? ? 9分 又 2x 63? ， 时， ? ? ? ?m a x m inf x f ( ) 3 ; f x f ( ) 226? ? ? ?, m (1， 4)? 12分 18、 （ 1）设 ?na 的公差为 d ， 则由题意知 1 1 11( 2 )( 4 ) 3 ( 6 ),323 9 ,2a d a d a dad? ? ? ? ?解得10,3da? ?（舍去）或11,2da? ? ， 2 ( 1) 1 1na n n? ? ? ? ? ? ? 4分 （ 2）11 1 1
13、 1( 1 ) ( 2 ) 1 2nna a n n n n? ? ? ? ? ? ?， 1 2 2 3 11 1 1nnnT a a a a a a ? ? ? ?1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 3 3 5 1 2nn? ? ? ? ? ? ? 7 112 2 2( 2)nnn? ? ? ? 8分 2211 42 ( 2 ) 2 ( 4 4 ) 2 ( 4 )nnT nna n n n n n? ? ? ? ? ? ?， 111642(4 2 )nn?当且仅当 4n n? ， 即 2n? 时 “ ? ”成立， 即当 2n? 时 ，1nnTa?取得最大值 116 ? ? 12
14、分 19、 解： （ 1） BCD 中BCDCDBBC ? sinsin， ? 45sin)45sin( CDa ?， )45sin(2 ? ?aCDBCDCDBCS ? sin2145sin(4 cos22? ?a， 0 2? 4分（其中范围 1分 ） （ 2）?sinad?8分 kSdy?)45sin(4 cossin23? ?ka )cos(sin2 cossin3? ?ka6分 令t? ? cossin，则2,1(?t，2 1cossin 2 ? t?)1(44 )1( 323 ttkattkay ?在区间2,1(上单调递增， 8分 当2?t时y取得最大值，此时4?， 即 D在 AB的
15、中点时，遮阳效果最佳 . 12分 20.（）设动点 E的坐标为（ x， y）， 点 A（ ， 0）， B（ ）， E为动点，且直线 EA与直线 EB 的斜率之积为 ， ， 8 整理，得 ， x ， 动点 E 的轨迹 C的方程为 ， x ? 4分（无范围扣 1分） （）当直线 l的斜率不存在时，满足条件的点 P的纵坐标为 0， 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l的方程为 y=k（ x 1）， 将 y=k（ x 1）代入 ，并整理，得 （ 2k2+1） x2 4k2x+2k2 2=0， 设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），则 ， x1x2= ， 设 MN的中点为 Q，则 ， ， Q
16、（ ， ）， ? ? 6分 由题意知 k 0， 又直线 MN的垂直平分线的方程为 y+ = ， 令 x=0，得 py = ， ? 8分 当 k 0时， 2k+ ， 0 ； 当 k 0时，因为 2k+ 2 ，所以 0 yP = 综上所述，点 P纵坐标的取值范围是 ? 12 分 9 21、 :(1) ( ) 2xf x e ax e? ? ? ?, (1) 2 0 0k f a a? ? ? ? ?,故 () xf x e e? ? 1x?时 , ( ) 0fx? ? , 1x? 时 , ( ) 0fx? ? , 所以函数 ()fx的增区间为 (1, )? ,减区间为 ( ,1)? ? 4分 (2
17、)设切点 00( , )Px y ,则切线 0 0 0( )( ) ( )y f x x x f x? ? ? 令 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x f x f x x x f x? ? ? ?, ? 6分 因为只有一个切点 ,所以函数 ()gx就只有一个零点 ,因为 0( ) 0gx? 000( ) ( ) ( ) 2 ( )xxg x f x f x e e a x x? ? ? ? ? ? ? ?, 若 0, ( ) 0a g x? 0( ) ( ) 0g x g x?,因此有唯一零点 ,由 P 的任意性知 0a? 不合题意 ? 8分 若 0a? ,令 0 0( ) 2 ( )xxh x e e a x x?
