1、 1 辽宁省沈阳市 2018届高三数学上学期期中试题 文 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1.已知集合 A x|2 x 4， B x|(x 1)(x 3) 0 则 AB A (1， 3) B (1， 4) C (2， 3) D (2， 4) 2. 1 2 1 23 4 , 2 3 ,z i z i z z? ? ? ? ? ?设 则在复平面内对应的点位于 A第一象限 B 第二象限 C第三象限 D 第四象限 3.命题 “ 2, 1 0x R x? ? ? ?” 的否定是 A. 2, 1 0x R x? ? ? ? B. 2, 1 0x R x? ? ? ? C. 2,
2、 1 0x R x? ? ? ? D. 2, 1 0x R x? ? ? ? 4.已知 ,ab均为单位向量，它们的夹角为 60? ，那么 3ab? A. 13 B. 10 C. 4 D. 13 5.函数 xexxf )3()( ? 的单调递增区间是 A )3,0( B )4,1( C ),2( ? D )2,(? 6.“ 0x? ”是“ 0)2(log21 ?x”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 7.关于两条不同的直线m,n与两个不同的平面?,?，下列命题正确的是 A? /,/ n且?/，则n/B? ? nm ,且?，则m/nC? /,n且 ，
3、则n?D? ?n,/且 ，则 8.等比数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若 1 1a? ，则 4s? A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 9.已知函数 BxAy ? )sin( ? 的图象一部分如图 ，（ 2|,0,0 ? ?A ），则 2 A. 4?A B. 1? C. 4?B D. 6? 10.已知角 ? 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 ? ?1,4 ，则2cos sin2? 的值为 A. 35 B. 35? C. 717 D. 717? 11.在 ABC中， AB=2， AC=3， = 1则 ?BC
4、A. 3 B. 7 C.22 D. 23 12.已知定义在 R 上的奇函数 ? ?2ax bfx xc? ?的图象如图所示， 则 a ， b ， c 的大小关系是 A. abc? B. a c b? C. bac? D. c a b? 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分） 13 如图，函数 ? ?y f x? 的图象在点 P 处的切线方程是8yx? ? ，则 (5) (5)ff?_. 14.如图所示的几何体的俯视图是由一个圆与它的两条半径组成的图形 .若3 1r? ， 则该几何体的体积为 . 15.已知 3sin45?， ,42? ?，则 tan? _ 16 设函数? ?
5、 ? 1),2)(4 1,2f(x) x xaxax xa，若 )(xf 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 _. 三、解答题 17 （本小题满分 10分） 已知函数 f（ x） =sin2x cos2x 2 3 sinx cosx（ x R） （ 1）求 f（ 23 ）的值 （ 2）求 f（ x）的最小正周期及单调递增区间 18 （本小题满分 12分） 如图，在三棱锥 P ABC? 中， PA AB? ， PA BC? ， AB BC? ， 2PA AB BC? ? ?， D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点 . （ 1）求证：平面 BDE? 平面 PAC ； 4 （
6、 2）当 /PA 平面 BDE 时，求三棱锥 E BCD? 的体积 . 19 （本小题满分 12分） 已知等差数列 an中， a2=5， S5=40等比数列 bn中， b1=3， b4=81， （ 1）求 an和 bn的通项公式 （ 2）令 cn=an?bn，求数列 cn的前 n项和 Tn 20 （本小题满分 12分） 在 ABC? 中， ,abc分别是角 ,ABC 的对边，且 2 2 23a c ac b? ? ?， 32ab? （ 1）求 sinC 的值； （ 2）若 6b? ，求 ABC? 的面积 . 5 21 （本小题满分 12分） 已知函数 ? ? xf x e? ， ? ? 22a
7、g x x x? ? ?，（其中 aR? ， e 为自然对数的底数， 2.71828e? ? ） . （ 1）令 ? ? ? ? ? ?h x f x g x?，若 ? 0hx? 对任意的 xR? 恒成立，求实数 a 的值 ； （ 2）在（ 1）的条件下，设 m 为整数，且对于任意正整数 n ， 1nnii mn? ，求 m 的最小值 . 请考生在第 22、 23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22 （本小题满分 10分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xy? 中，圆 C 的参数方程 1 cossinxy ? ?（ ? 为参数）以 ? 为极点， x 轴的非负
8、半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求圆 C 的极坐标方程； （ 2）直线 l 的极坐标方程是 2 sin 3 33?，射线 :? 3? 与圆 C 的交点为 ? 、? ，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 Q? 的长 23 （本小题满分 10分） 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? 1f x x a x? ? ? ?， aR? 6 （ 1）当 3a? 时，求不等式 ? ? 4fx? 的解集； （ 2）若不等式 ? ? 2fx? 的解集为空集，求实数 a 的取值范围 . 7 参考答案 1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7 .C 8.C 9.B 10.D 11.A 12.B 13
9、. 2 14. 65? 15. 7 16. 2a1a21 ? 或 17.（ ） f（ ） =2sin（ 2 + ） =2sin =2， （ ） =2 ，故 T= ， 即 f（ x）的最小正周期为 ， 由 2x+ +2k ， +2k ， k Z得： x +k ， +k ， kZ ， 故 f（ x）的单调递增区间为 +k ， +k 或写成 k+ ， k+ ， kZ 18 （ 1）见解析；（ 2） 13 . (1)证明：由已知得 PA? 平面 ABC ， PA? 平面 PAC ， 平面 PAC? 平面 ABC ，平面 PAC? 平面 ABC AC? ， BD? 平面 ABC ， BD AC? ， B
10、D? 平面 PAC ， BD? 平面 BDE ， 平面 BDE? 平面 PAC . (2) /PA 平面 BDE ，又平面 PAC? 平面 BDE DE? ， PA? 平面 PAC ， /PA DE ， D 是 AC 中点， E 为 PC 的中点， 1DE? ， 1 1 1 2 2 12 2 2B D E A B CSS? ? ? ? ? ?， 1 1 11 1 13 3 3E B C DV D E? ? ? ? ? ? ? ?. 19 （ 1） an=3n 1; ;（ 2） 试题解析：（ 1）设公差为 d，则由 a2=5， S5=40，得： ，解得 ，则 an=3n 1? q=3 ? （ 2
11、） 8 ： ? 20 （ 1） 3 2 26? ；（ 2） ? ?2 3 2 2? . 试题解析 ：（ 1） 由 2 2 2 33c o s 2 2 2a c b a cB a c a c? ? ?得出： 6B ? ， 由 32ab? 及正弦定理可得出： 3sin 2sinAB? ，所以 21sin sin3 6 3A ?， 再 由 32ab? 知 ab? ，所以 A 为锐角， 1 2 2cos 193A ? ? ?， 所以 ? ? ? ? 3 2 2s i n s i n s i n s i n c o s c o s s i n 6C A B A B A B A B? ? ? ? ? ?
12、? ? ? （ 2）由 6b? 及 32ab? 可得出 4a? ， 所以 ? ?1 1 3 2 2s i n 4 6 2 3 2 22 2 6S a b C ? ? ? ? ? ? ?. 21 （ 1） 1；（ 2） 2 . 试题解析 ： （ 1）因为 ? ? 1g x ax? ? 所以 ? ? e1xh x ax? ? ?， 由 ? ? 0hx? 对任意的 xR? 恒成立，即 ? ?min 0hx ? ， 由 ? ? exh x a? ?， （ i） 当 0a? 时， ? ? e0xh x a? ?， ?hx的单调递增区间为 ? ?,? ， 所以 ? ?,0x? 时， ? ? ? ?00h
13、x h?， 所以不满足题意 . (ii)当 0a? 时，由 ? ? e0xh x a? ?， 得 lnxa? ? ?,lnxa? ? 时， ? ? 0hx? ? ， ? ?ln ,xa? ? 时 ， ? ? 0hx? ? ， 所以 ?hx在区间 ? ?,lna? 上单调递减 ， 在区间 ? ?ln ,a? 上单调递增， 9 所以 ?hx的最小值为 ? ?ln ln 1h a a a a? ? ? . 设 ? ? ln 1a a a a? ? ? ?，所以 ? ? 0a? ? ， 因为 ? ? lnaa? ? 令 ? ? ln 0aa? ? ? ?得 1a? ， 所以 ?a? 在区间 ? ?0,
14、1 上单调递增，在区间 ? ?1,? 上单调递减， 所以 ? ? ? ?10a?， 由 得 ? ? 0a? ? ，则 1a? . （ 2）由（ 1）知 e 1 0x x? ? ? ，即 1exx? ， 令 kx n? （ *nN? ， 0,1,2, , 1kn?）则 0 1 e knkn ? ? ? ， 所以 1 e enn k knkn ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ?12 2111 2 1( ) e e e e 1n n n nn nnnii n nn n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15、? ? ? ? ? ? ? ? 111 e 1 e 1121 e 1 e e 1 e 1n? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以1( ) 2n niin? ?， 又 3 3 31 2 3 1333? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 m 的最小值为 2 . 22（ 1） 2cos? ；（ 2） Q2? 试题解析： （ 1）圆 C 的普通方程为 ? ?2 211xy? ? ?，又 cosx ? ， siny ? 所以圆 C 的极坐标方程为 2cos? 10 （ 2）设 ? ?11,? ，则由 2cos3? ?解得 1 1? ，1 3?设 ? ?22Q,? ，
16、则由 ? ?sin 3 c o s 3 33? ? ? ? ?解得 2 3? ，2 3?所以 Q2? 23 （ 1） 0， 4；（ 2） 3， + ） （ ， 1. 试题解析： （ 1）当 a=3时， f（ x） =|x 3|+|x 1|， 即有 f（ x） = ， 不等式 f（ x） 4 即为 或 或 ， 即有 0x 1或 3x4 或 1x 3， 则为 0x4 ， 则解集为 0， 4； （ 2）依题意知， f（ x） =|x a|+|x 1|2 恒成立， 2f （ x） min； 由绝对值三角不等式得： f（ x） =|x a|+|x 1| （ x a） +（ 1 x） |=|1 a|， 即 f（ x） min=|1 a|， |1 a|2 ，即 a 12 或 a 1 2， 解得 a3 或 a 1 实数 a的取值范围是 3， + ） （ ， 1
