1、 2020 学年高三上学期 8 月执信、广雅、六中三校联考试卷 数学 命题学校：广州市第六中学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答 题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如 需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和
2、涂改液不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.其中第 1第 10 题为单项选择题，在给出的四个选项 中，只有一项符合要求；第 11 题和第 12 题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部 选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分） 1.已知i是虚数单位，若复数 2 1 z i ，则复数z的共轭复数为（ ） A.1 i B.1 i C.1 i D.1 i 2.已知集合13Ax x ， 3, x By yexR，则AB （ ） A. 2,4 B. 2,3) C. 2,3 D.(3,
3、4 3.命题“1x ，1lnxx ”的否定是（ ） A.1x ，1lnxx B.1x ，1lnxx C. 0 1x， 00 1lnxx D. 0 1x， 00 1lnxx 4.2020 年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，各地医护人员分别乘坐 6 架我国自主生产的“运 20”大型运输机，编号为 1，2，3，4，5，6 号，要求到达武汉天河飞机场时，每五 分钟降落一架，其中 1 号与 6 号相邻降落，则不同的安排方法有（ ） A.60 B.120 C.144 D.240 5.已知抛物线 2 2(0)ypx p的准线与圆 22 40 xyy相交所得的弦长为2 3，则P
4、的值为（ ） A. 1 2 B.1 C.2 D.4 6.已知为锐角，若 4 cos 65 ，则sin 2 6 的值为（ ） A. 7 25 B. 5 7 2 C. 9 25 D. 9 25 7.过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点F作直线交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若B为线段 FA的中点，且OBFA（O为坐标原点） ，则双曲线的离心率为（ ） A.2 B.3 C.2 D.5 8.函数( )sin()f xx（其中0，0 2 ）的图象如下图所示，为了得到sinyx的图象，则 需将( )yf x的图象（ ） A.横坐标缩短到原来的 1 2 ，再向右平移 4 个单位
5、B.横坐标缩短到原来的 1 2 ，再向左平移 8 个单位 C.横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 4 个单位 D.横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移 8 个单位 9.在正项等比数列 n a中， 2 1a ， 35 16aa.数列 n a的前n项和记为 n S，前n项积记为 n T，则满足 nn ST的最大正整数n的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 10.如图 1，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O.点E，F，G，H 为圆O上的点，ABE ，BCF ，CDG ，ADH分别是以AB，BC，CD ，DA为底边的 等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB
6、，BC ，CD ，DA为折痕折起ABE，BCF ，CDG ， ADH ，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥PABCD（如图 2）.当四棱锥PABCD的侧面 积是底面积的 2 倍时，异面直线PB与CD所成角的余弦值为（ ） A. 5 5 B. 2 2 C. 2 5 5 D. 2 3 3 11.（多选）设0a，0b，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11 ()4ab ab B. 2 21aa C. 22 ab ab ba D. 22 ab ab ab 12.（多选）对于定义城为R的函数( )f x，若满足：(0)0f；当xR且0 x时，都有( )0 xfx； 当 12 0 xx且 12 xx时
7、，都有 12 f xf x，则称 f x为偏对称函数下列函数是“偏对称函数” 的是（ ） A. 32 1( ) f xxx B. 2( ) 1 x fxex C. 3( ) sinfxxx D. 4 ln(1),0 ( ) 2 ,0 xx fx xx 二、填空题（本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知向量( ,2)am，(1, 3)b ，若ab，则|a _. 14.函数 1 cos ( ) sin x f x x 的图象在点,1 2 处的切线与直线10axy 平行，则实数a的值为 _. 15.如果 1 3 n x x 的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中 2 1 x
8、 的系数_. 16.已知函数( )f x为偶函数，当0 x时，( )ln()f xxax.若直线yx与曲线( )yf x至少有两个交 点，则实数a的取值范围是_. 三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分） 17. （本小题 10 分） 已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 3cos tantan coscos A BC BC . （）求角A的大； （）若4a，5b c ，求ABC的面积 18.（本小题 12 分）设数列 n a的前n项和为 * n SnN，且满足： 12 3(21)22 nn aananS. （）求 n a的通项公式； （）设数列 1 2n n n b a
9、，求数列 n b的前n项和 n T. 19. （本小题 12 分） 如图， 在梯形ABCD中，ABCD，2ADCDCB，60ABC， 矩形ACEF 中，2AE ，又有2 2BF . （）求证：BC 平面ACFE； （）求直线BD与平面BEF所成角的正弦值. 20. （本小题 12 分） 某公司采购了一批零件， 为了检测这批零件是否合格， 从中随机抽测 120 个零件的度 （单 位：分米） ，按数据分成1.2,1.3，(1.3,1.4，(1.4,1.5，(1.5,1.6，(1.6,1.7，(1.7,1.8这 6 组，得到如 图所示的频率分布直方图， 其中长度大于或等于 1.59 分米的零件有 2
10、0 个， 其长度分别为 1.59， 1.59， 1.61， 1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74， 以这 120 个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率. （）求这批零件的长度大于 1.60 分米的频率，并求频率分布直方图中m，n，t的值； （）若从这批零件中随机选取 3 个，记X为抽取的零件长度在(1.4,1.6的个数，求X的分布列和数学期 望. （） 若变量S满足() 0.68260.05PS .且|(22 )0.9544| 0.05PS， 则称
11、变量S满足近似于正态分布 2 ,N 的概率分布如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于 正态分布(1.5,0.01)N的概率分布， 则认为这批零件是合格的， 将顺利被签收； 否则， 公司将拒绝签收试问， 该批零件能否被签收？ 21.（本小题 12 分）如图，已知椭圆 2 2 2 :1 x Cy a 的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆 22 :6270M xyxy相切，其中1a . （）求椭圆的方程； （）不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且APAQ，证明：动直线l过定点，并且求出 该定点坐标. 22.（本小题 12 分）已知函数 2 ( )lnf xaxx，其中aR. （）讨
12、论( )f x的单调性 （）当1a 时，证明： 2 ( )1f xxx； （）试比较 2222 2222 ln2ln3ln4ln 234 n n 与 (1)(21) 2(1) nn n （ * nN且2n）的大小，并证明你的 结论. 2020 学年高三上学期 8 月执信、广雅、六中三校联考试卷答案说明 数学 一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.其中第 1 题第 10 题为单项选择题，在给出的四个选 项中，只有一项符合要求；第 11 题和第 12 题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全 部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分） 题号
13、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D C B C C B A ACD BD 二、填空题（本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.2 10 14.1 15.90 16. 11 1, 11, ee 三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分） 17.解： （）由 3cos tantan coscos A BC BC 得 sinsin3cos coscoscoscos BCA BCBC ， sincoscossin3cosBCBCA，sin()3cosBCA， 又cosA显然不等于 0，tan3A， (0, )A， 3 A ， （）由（）知 3
14、 A ，又4a，5b c ，根据余弦定理得 2222 2cos()3abcbcAbcbc， 1625 3bc，3bc ， 1133 3 sin3 2224 SbcA . 18.解： （）由题意，数列 n a满足 12 3(21)22 nn aananS， 当2n时， 1211 3(23)2(1)2 nn aananS ， 两式相减，可得 1 (21)22 nnn naSS ，即(21) 22 nn naa， 整理得 2 (2) 23 n an n . 又由当1n 时， 11 22aS ，可得 11 22aa，即 1 2a （适合上式） 所以数列 n a的通项公式为 2 23 n a n ，nN
15、 . （）由 1 2 (23) 2 n n n n bn a ， 则 231 1 2 1 23 2(25) 2(23) 2 nn n Tnn ， 所以 2341 21 21 23 2(25) 2(23) 2 nn n Tnn ， 两式相减，可得 231 22 222(23) 2 nn n Tn 21 11 21 2 22(23) 210(52 ) 2 1 2 n nn nn 所以 1 (25) 210 n n Tn . 19.证明： （）在梯形ABCD中，ABCD，2ADCDCB，60ABC， 四边形ABCD是等腰梯形，120ADC，30DCADAC，120DCB， 90ACBDCBDCA，A
16、CBC， （也可以利用余弦定理求出AC，BC再证明） 又矩形ACFE中，2CFAE ，又有2 2BF ，2CB，CBCF， 又ACCFC，BC 平面ACFE. （）以点C为坐标原点，以CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴，以CF所在直线为z轴，建立 空间直角坐标系. 可得(0,0,0)C，(0,2,0)B，(0,0,2)F，( 3, 1,0)D，(2 3,0,2)E. ( 2 3,0,0)EF ，(0, 2,2)BF ，( 3, 3,0)BD ， 设平面BEF的法向量为( , , )nx y z，所以 0 0 n EF n BF ， 2 30 220 n EFx n BFyz ， 令1y
17、，则0 x，1z ，(0,1,1)n ， 6 |cos,| 4| | BD n BD n BDn . 直线BD与平面BEF所成角的正弦值是 6 4 . 20.解： （）由题意可知 120 件样本零件中长度大于 1.60 分米的共有 18 件， 则这批零件的长度大于 1.60 分米的频率为 18 0.15 120 ， 记Y为零件的长度，则 3 (1.21.3)(1.71.8)0.025 120 PYPY， 15 (1.31.4)(1.61.7)0.125 120 PYPY， 1 (1.41.5)(1.51.6)(1 2 0.0252 0.125)0.35 2 PYPY ， 故 0.025 0.2
18、5 0.1 m ， 0.125 1.25 0.1 n ， 0.35 3.5 0.1 t . （）由（）可知从这批零件中随机选取 1 件，长度在(1.4,1.6的概率2 0.350.7P . 则随机变量X服从二项分布，(3,0.7)XB， 则 03 3 (0)(1 0.7)0.027P XC， 12 3 (1)(1 0.7)0.70.189P XC， 22 3 (2)(1 0.7) 0.70.441P XC， 33 3 (3)0.70.343P XC， 故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 0 0.027 1 0.189 2 0.441
19、3 0.3432.1EX （或3 0.72.1EX ）. （或由随机变量X服从二项分布， 7 3,10XB ，得 3 3 73 ()(0,1,2,3) 1010 kk k P XkCk ， 721 3 1010 EX ） （）由题意可知1.5，0.1， 则()(1.41.6)0.7PYPY， (22 )(1.31.7)0.1250.350.350.1250.95PYPY， 因为|0.70.6826| 0.01740.05，|0.950.9544| 0.00440.05， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布(1.5,0.01)N的概率分布. 故认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收. 21.
20、解： （）由题可知，(0,1)A，( ,0)F c，则直线AF的方程为1 x y c ，即0 xcyc， 因为直线AF与圆 22 :6270M xyxy相切，该圆的圆心为(3,1)M，3r ， 则 2 3 3 1c ， 2 2c ， 2 3a ，故椭圆的标准方程为 2 2 1 3 x y. （）解法一：依题得直线l的斜率必存在，设: l ykxm，设点 11 ,P x y， 22 ,Q x y， 联立 2 2 1 3 ykxm x y ，消去y并整理得 222 316330kxkmxm， 2222 36431330k mkm ，即 22 31mk， 且 12 2 6 31 km xx k ，
21、2 12 2 33 31 m x x k ， 22 112212121212 ,1(1)(1)AP AQx yxyx xy ykx xk mxxm 22 22 222 336422 1(1)(1) 313131 mkmmm kk mm kkk ， APAQ，0AP AQ，即 2 2 422 0 31 mm k ，1m或 1 2 m . 当1m时，直线:1l ykx，恒过点0,1，不满足题意，舍去； 当 1 2 m 时，直线 1 : 2 l ykx，恒过点 1 0, 2 ， 故直线恒过定点 1 0, 2 . 解法二：因为不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且APAQ，即直线AP与坐标轴不垂
22、直也 不平行， 由0,1A，可设直线AP的方程为1ykx，则直线AQ的方程为 1 1yx k ， 联立 2 2 1 3 1 x y ykx ，消去y并整理得 22 1 360kxkx，解得0 x或 2 6 1 3 k k ， 因此点P的坐标为 2 22 66 ,1 1 31 3 kk kk ，即 2 22 61 3 , 1 31 3 kk P kk ， 将上式中的k换成 1 k ，得点 2 22 63 , 33 kk Q kk ， 所以直线l的斜率为 22 2 22 22 31 3 1 31 3 66 4 31 3 kk k kk kk k kk ，即直线l的方程 22 22 163 433
23、kkk yx kkk ， 化简并整理得 2 11 42 k yx k ， 故直线l恒过定点 1 0, 2 . 22.解： （）函数 f x的定义域为：(0,)， 2 2 ( )2 aax fxx xx ， 当0a时， 0fx，所以 f x在0,上单调递增， 当0a时，令 0fx，解得 2 a x ， 当0 2 a x时， 2 20ax ，所以( )0fx，所以( )f x在0, 2 a 上单调递减； 当 2 a x 时， 2 20ax ，所以 0fx，所以 f x在, 2 a 上单调递增； 综上，当0a时，函数 f x在0,上单调递增. 当0a时，函数 f x在0, 2 a 上单调递减，在,
24、2 a 上单调递增. （）当1a 时， 2 ( )lnf xxx，要证明 2 ( )1f xxx， 即证ln1xx，即证ln1 0 xx ， 设( )ln1g xxx，则 1 ( ) x g x x ，令( )0g x得，1x ， 当(0,1)x时，( )0g x ，当(1,)x时，( )0g x. 所以1x 为极大值点，且( )g x在1x 处取得最大值. 所以( )(1)0g xg，即ln1 0 xx ，故 2 ( )1f xxx. （）证明：由（）知ln1xx（当且仅当1x 时等号成立） ，即 ln1 1 x xx ， 则有 222 222222 ln2ln3ln111 111 2323 n nn 222 111111 11 232 33 4(1) nn nn n 11111111(1)(21) 11 23341212(1) nn nn nnnn ， 故 222 222 ln2ln3ln(1)(21) 232(1) nnn nn .
