1、 1 江西省南昌市 2017届高三数学下学期期中试题 理 考试用时： 120分 全卷满分： 150分 第 卷 （选择题部分，共 60分） 一、选择题：本题共 12题，每小题 5分， 共 60分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 。 1. 已知 i 为虚数单位， mR? ，复数 ? ? ? ?mmmmz 882 22 ? i ，若 z 为负实数，则 m 的取值集合为（ ） A ?0 B ?8 C ? ?2,4? D ? ?4,2? 2.已知集合 2lg2xA x y x? ? ?，集合 ? ?21B y y x? ? ? ，则集合 ? ?x x A B x A B?且 为（
2、 ） A. ? ? ? ?2,1 2,? ? B. ? ? ? ?2,1 2,? ? C. ? ? ? ?, 2 1, 2? ? D. ? ? ? ?, 2 1, 2? ? 3. 在 ? ?62x? 展开式中， 二项式系数的最大值为 a ，含 5x 项的系数为 b ，则 ab? （ ） A. 53 B. 53? C. 35 D. 35? 4 .已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与抛物线的对称轴垂直， l 与 C 交于 ,AB两点，且 8AB? ， M 为抛物线 C 准线上一点，则 ABM? 的面积为（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D
3、. 32 5.给出下列四个命题： “ 若 0x 为 ? ?=y f x 的极值点，则 ? ?0 0fx?” 的逆命题为真命题； “ 平面向量 a ,b 的夹角是钝角 ” 的充分不必要条件是 0?ba 若命题 1:01p x ? ，则 1:01p x? ； 命题 “xR?，使得2 10xx? ? ?” 的否定是： “xR?均有2 10? ? ?”. 其中 不正确 的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “ 今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（ 1匹 =40尺，一丈 =10尺），问日益几何？ ”
4、其意思为： “ 有一女子擅长织 布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多2 织相同量的布，第一天织 5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？ ” 若一个月按 31 天算，记该女子一个月中的第 n 天所织布的尺数为 na ，则 1 3 2 9 3 12 4 2 8 3 0a a a aa a a a? ? ? ? ? ? ?的值为（ ） A. 165 B. 1615 C. 1629 D. 1631 7. 若执行如右图所示的程序框图，输出 S 的值为 4，则判断框中应填入的条件是（ ） A. 18k? B. 17k? C. 16k? D. 15k? 8. 已
5、知 222 0 1 8 2 0 1 8 2 0 1 7 2 0 1 72 l n , 2 l n ,2 0 1 7 2 0 1 7 2 0 1 6 2 0 1 6ab? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 0 1 6 2 0 1 62 ln2 0 1 5 2 0 1 5c ?，则 （ ） A abc? B a c b? C c a b? D c b a? 9. 某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的外接球的表面积为（ ） A. 136? B. 144? C. 36? D. 34? 10. 若一个四位数的各位数字相加和为 10，则称该数为 “ 完美四位数 ” ，如数字 “ 20
6、17 ”. 试问用数字 0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于 2017 的 “ 完美四位数 ” 有（ ）个 A 53 B 59 C 66 D 71 11. 已知双曲线 221 :162xyC ?与双曲线 ? ?222 22: 1 0 , 0xyC a bab? ? ? ?的离心率相同，且双曲线2C 的左、右焦点分别为 12,FF， M 是双曲线 2C 一条渐近线上的某一点，且 2OM MF? ，2 83OMFS? ?，则双曲线 2C 的实轴长 为（ ） A. 4 B. 43 C. 8 D. 83 12. 已知定义在 ? ?,4? 上 的函数 ?fx与其导函数 ?fx? 满足 ?
7、 ? ? ?1 4 ( ) ( ) 0x x f x f x? ? ? ?， 若 ? ? 1 12 11 2 02xf x y e f x y? ? ? ? ? ? ?，则点 ? ?,xy 所在区域的面积为（ ） A. 12 B. 6 C. 18 D. 9 3 第 卷 （非选择题部分，共 90分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223题为选做题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共 4题，每小题 5分 ，共 20分 13.已知 ? ? ? ? ? ?,1 , 1 , 2 , 1 , 5x? ? ? ?a b c，若 cba /)2(
8、? ，则 ?a . 14. 若正实数 ,mn满足 2 222 1 1 4x x d xmn ? ? ? ? ?，则 ? ?2log 2mn? 的最小值为 . 15. 已 知 等 差 数 列 ?na 的 前 n 项和为 nS ，并且 252, 15aS?，数列 ?nb 满足? ?22 2n nnb n N? ? ?，记集合 ? ?22|,2nnSbM n n Nn ? ? ? ?，若 M 的子集个数为 16，则实数 ? 的取值范围为 . 16. 已知动点 P在棱长为 1的正方体 ABCD 1 1 1 1ABCD? 的表面上运动，且线段 ? ?03PA r r? ? ?，记点 P的轨迹长度为 ()
9、fr.给出以下四个命题： 3(1) 2f ? ； ( 2) 3f ? ； 2 3 2 3()33f ? 函数 ()fr在 (0,1) 上是增函数， ()fr在 ( 2, 3) 上是减函数 . 其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题 ：本大题 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 12分）已知 ,abc分别为锐角 ABC? 三个内角 ,ABC 的对边，且 ? ? ? ? ?s i n s i n s i na b A B c b C? ? ? ? （ ）求 A? 的大小； （ ）求 2sin 2 sin22CB?的取值范围 . 18.
10、（本小题满分 12分）继共享单车之后，又一种新 型 的出行方式 -“ 共享汽车 ” 也开始亮相北上广深等十余大中城市，一款叫 “ 一度用车 ” 的共享汽车在广州提供的车型是 “ 奇瑞 eQ” ，每次租车收费 按行驶 里程加用车时间 ,标准是 “ 1元 /公里 +0.1 元 /分钟 ” ，李先生家离上班地点 10 公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次 路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计 40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下： 4 时间（分钟） ? ?15,25 ? ?25,35 ? ?35,45 ? ?45,55 ? ?65,55 次数 8 14 8 8 2
11、以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为 ? ?65,15 分钟 . （ ） 若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过 45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设 ? 是 4次使用共享汽车中最优选择的次数，求 ? 的分布列和期望 . （ ） 若李先生 每天上下班使用共享汽车 2次，一个月（ 以 20天 计算 ）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表） . 19. （本小题满分 12分）如图，多面体 ABCDEF? 中，四边形 ABCD是菱形， 4AB? , 60BAD?， BDAC, 相交于 O ， EF AC ，点 E
12、 在 平面 ABCD上的射影恰好是线段 AO 的中点 （ ）求证： BD ACF?平 面 ； （ ）若直线 AE 与平面 ABCD 所成的角为 45 ，求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角（锐角）的余弦值 20. （本小题满分 12 分）如图所示，在 ABC? 中， AB 的中点为 O ,且 1OA? ，点 D 在 AB 的延长线上，且 12BD AB? .固定边 AB ，在平面内移动顶点 C ，使得圆 M 与边 BC ，边 AC 的延长线相切，并始终与 AB 的延长线相切于点 D ，记顶 点 C 的轨迹为曲线 ? .以 AB 所在直线为 x 轴， O 为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系
13、 . （ ） 求曲线 ? 的方程； （ ） 设动直线 l 交曲线 ? 于 EF、 两点，且以 EF 为直径的圆经过点 O ，求 OEF? 面积的取值范围 . 5 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? 31( ) l n ( 1 ) , 3f x a x g x x a x? ? ? ? ， ? ? e1xhx? （ ）当 0x? 时， ? ?()f x h x? 恒成立，求 a 的取值范围； （ ）当 0x? 时，研究函数 ? ? ? ? ? ?F x h x g x?的零点个数； （ ）求证： 10109 5 300 0100 0 269 9e? (参考数据： ln1.1 0.
14、0953? ) 请考生在第（ 22）、（ 23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22. （ 本小题满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中，已 知圆 C 的参数方程为 1 2cos2sinx y ? ? ? ?为 参 数，直线 l 的参数方程为 523xtyt? ? ? ?t为 参 数，定点 ? ?1,1P . （ ）以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程； （ ）已知直线 l 与圆 C 相交于 ,AB两点，求 PA PB? 的值 . 23. （本小题满分
15、 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知关于 x 的不等式 mxx ? 31 的解集不是空集，记 m 的最小值为 t （ ）求 t 的值； （ ）若不等式 31 ? xx ax? 的解集包含 ? ?0,1? ，求实数 a 的取值范围 . 6 高三理科数学试卷答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B A C B C A D D D A 二、填空题：本题共 4题，每小题 5分 13. 10 ； 14. 2 ； 15. 15 116 ?； 16. ； 三、解答题 17. 解：（ ） 因为 ? ? ? ? ?s i n s i n s i na
16、 b A B c b C? ? ? ?， 由正弦定理有 ? ? ? ? ?a b a b c b c? ? ? ? 即有 2 2 2b c a bc? ? ? ? 3 分 由余弦定理得 2 2 2 1c o s 2 2 2b c a b cA b c b c? ? ?，又 A为锐角， A=3? ? 6分 （）由题， 2 2s i n 2 s i n c o s c o s 1 c o s c o s 12 2 3CB B C B B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?sin 16 B? ? ? ? 8分 又在锐角 ABC? 中，有00 222 6200322BBBBC? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? 10分 所以 23 6 3B? ? ? ? ? ，所以 3 sin 126B? ? ?， 2sin 2 sin22CB?的取值范围是 . ? ? 0,123 . ?12 分 18. 解： （ ） 李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率 434030?p 依题意 ? ),43,4( B 的值可能为 0， 1， 2， 3， 4? 2分 2561)41()43()0(
