1、 1 江西省宜春 2016-2017 学年度高三下学期期中考试数学（理）试卷 一、选择题：（共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1.已知集合 A=1， 2， 3， 4， B=x| 2 3x 2 10， x R，则 A B=（ ） A 1 B 1， 2， 3， 4 C 1， 3 D 1， 4 2.已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 ? ?1i z i?，则 z 的虚部为 A. 12? B. 12 C. 12i D. 12i? 3.已知 ?fx是定义在 R 上的奇函数，当 0x? 时， ? ? 3xf x m?（ m为常数），则 ? ?3log 5f ? 的值为 A.4 B. 4? C.6
2、 D. 6? 4.某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 ，两次闭合后都出现红灯的概率为 ，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（ ） A B C D 5.已知 0，将函数 f（ x） =cosx 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则 的最小值是（ ） A B 3 C D 6.设偶函数 f（ x）满足 f（ x） =2x 4（ x 0），则满足 f（ a 2） 0的实数 a的取值范围为（ ） A（ 2， + ） B（ 4， + ） C（ 0， 4） D（ ， 0） （ 4， + ） 7.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体
3、积为（ ） 2 A 12 B 15 C 18 D 21 8.执行如图所示的程序框图，如果输入的 N是 10，那么输出的 S是（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 1 9.已知数列 an满足 an+1=an+1（ n N+），且 a2+a4+a6=18，则 log3（ a5+a7+a9）的值为（ ） A 3 B 3 C 2 D 2 10.已知向量 ， 满足 ，且关于 x的函数在实数集 R上单调递增，则向量 ， 的夹角的取值范围是（ ） A B C D 11.在平面直角坐标系 xOy中，点 P为双曲线 x2 2y2=1 的左支上的一个动点，若点 P到直线 x+ y 3=0的距离大于 c恒成立，则
4、实数 c的最大值为（ ） A 1 B C D 12.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的棱长为 1， EF、 分别是边 11AA CC、 的中点，点 M 是 1BB 上的动点，过三点 E M F、 、 的平面与棱 1DD 交于点 N ，设 BM x? ，平行四边形 EMFN 的面积为S ，设 2yS? ，则 y 关于 x 的函数 ? ?y f x? 的解析式为（ ） A ? ? ? ?2 32 2 , 0 , 12f x x x x? ? ? ? B ? ? ? ?2 32 2 , 0 , 12f x x x x? ? ? ? ? C ? ? ? ?3 , 0 ,12f x
5、 x x? ? ? D ? ? ? ?3 , 0 ,12f x x x? ? ? 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分） 13.设数列 na 前 n 项和 nS ，且 11?a ， 2 nn anS ? 为常数列，则 ?nS . 3 14.已知（ x2 ） 6的展开式中的常数项为 15a，则非零实数 a的值是 15.如果实数 x， y满足约束条件 ，则 z=3x+2y的最大值为 16.下列 命题 命题 “ 事件 A与 B互斥 ”是“ 事件 A与 B对立”的必要不充分条件 . “ am2bm2” 是 “ ab” 的充分必要条件 . “ 矩形的两条对角线相等 ” 的否命题为假
6、 . 在 ABC? 中， “ ? 60B ”是 CBA ? , 三个角成等差数列的充要条件 . ABC? 中 ,若 sin cosAB? ,则 ABC? 为直角三角形 . 判断错误的 有 _ 三、解答题：（本题共 6小题 ,共 70分 ,解答过程应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤） 17.在 ABC中，角 A， B， C对边分别为cba ,满足：22 )(ACAB2 cba ?， （）求角 A 的大小； （）求)B34sin(2cos32 2 ? ?C的最大值，并求取得最大值时角 B， C的大小 . 18.某加油站 20名 员工日销售量的频率分布直方图，如图所示： （ ）补全该频率分布直方图
7、在 20， 30）的部分，并分别计算日销售量在 10， 20） ， 20， 30）的员工数； （ ）在日销量为 10， 30）的员工中随机抽取 2人， 求这两名员工日销量在 20， 30）的概率 4 19.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD 底面 ABCD， PD DC， E是 PC 的中点， （ ）证明： PA 平面 EDB （ ）证明：平面 平面 20.已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的左焦点为 ( 2,0)F? ，离心率为 63。 （）求椭圆 C 的标准方程； 5 （）设 O 为坐标原点， T 为直线 3x? 上一点，过 F
8、 作 TF 的垂线交椭圆于 P ， Q 。当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积。 21.（本小题满分 13分） 设函数 f（ x） =x2+bln（ x+1），其中 b0 （ 1）如果函数 f（ x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数 b的取值范围； （ 2）求证对任意的 n N*不等式 ln(1+1) 32 11 n?都成立 22.【选修 4-4】 在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为?tytx225223（t为参数） . 在极坐标系（与直角坐标系 取相同的单位长度，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴 ）中，圆C的方程为2 5 sin?. （ I）求圆 的直角
9、坐标方程； （ II）设圆 与直线l交于点BA,，若点 P的坐标为(3, 5），求| |+| |PA PB. 23.【选修 4-5】 已知 ( ) 1 2f x x x? ? ? ?. 6 （ 1）解不等式 ( ) 5fx ； （ 2）若关于 x的不等式 2( ) 2f x a a?对任意的 xR? 恒成立，求 a的取值范围 . 7 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B C A D C C B C B A 13. 12?nn 14. 1 15.7 16. 17.略 18. 解：（ ）日销售量在 20， 30）的频率为 1 10 （ 0.010+0.030+
10、0.025+0.015） =0.2， 故销售量在 20， 30）的小矩形高度为 =0.02， 频率分布 图如右图所示： 日销售量在 10， 20）的员工数为： 20 10 0.010=2， 日销售量在 20， 30）的员工数为： 20 10 0.020=4 （ ）由（ ）知日销售量在 10， 30）的员工共有 6人，在 10， 20）的员工共有 2人，在 20， 30）的员工有 4人， 从此 6人中随机抽 2人，基本事件总数 n= =15， 这 2名员工日销售量在 20， 30）包含的基本事件个数 m= ， 这两名员工日销量在 20， 30）的概率 p= 19. 解 :（ 1）连接 交 于 ，
11、连接 底面 ABCD是正方形， 为 中点， 在 中， 是 的中点， ? （ 3 分） 平面 ， 平面 ， 平面 8 （ 2） 侧棱 底面 ， 底面 ， 底面 ABCD是正方形， 与 为平面 内两条相交直线， 平面 平面 ， ， 是 的中点， 与 为平面 内两条相交直线， 平面 平面 ， 平面 平面 20. （）由题意可得 ， 解得 c=2， a= ， b= 椭圆 C 的标准方程为 ； （）由（）可得 F（ 2， 0）， 设 T（ 3， m），则 直线 TF 的斜率 ， TF PQ， 可得直线 PQ的方程为 x=my 2 设 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2） 联立 ，化为（ m2+3
12、） y2 4my 2=0， 0， y1+y2= ， y1y2= x1+x2=m（ y1+y2） 4= 四边形 OPTQ是平行四边形， ，（ x1， y1） =（ 3 x2， m y2）， 9 ，解得 m= 1 此时四边形 OPTQ的面积 S= =2 21. (1) 0 b21(2)略解析： 解：（ 1）由题意 f( x) 2x+1?b122 2 ? ?x bxx 0在（ -1，+ ）有两个不等实根， ? 2分 即 2x2+2x+b=0在（ -1， + ）有两个不等实根，设 g（ x） =2x2+2x+b，则 4-8b 0且 g(-1) 0， 0 b2? ? . 5分 （ 2）对于函数 f（ x
13、） =x2-ln（ x+1），令函数 h（ x） =x3-f（ x） =x3-x2+ln（ x+1） 则 h( x) 3x2?2x+1?1 )1(3 23 ? ?x xx，当 x 0， + ）时， h（ x） 0， 所以函数 h（ x）在 0， + ）上单调递增， ? .9 分 又 h（ 0） =0， x （ 0， + ）时，恒有 h（ x） h（ 0） =0 即 x2 x3+ln（ x+1）恒成立取 xn (0， +) ， 则有 ln( +1) 32 1n?恒成立 ? 【思路点拨】 1）由于函数 f（ x）在定义域内既有极大值又有极小值 ?f （ x） = =0在（1， + ）有两个不等实根
14、 ?g（ x） =2x2+2x+b=0在（ 1， + ）有两个不等实根 ? 0且 g（ 1） 0，解出即可 （ 2）对于函 数 f（ x） =x2 ln（ x+1），构造函数 h（ x） =x3 f（ x） =x3 x2+ln（ x+1），利用导数研究其单调性即可得出 22. 解（）2 2 cos? ? ?2225y y?5)5(2 ? yx10 （）5)5225()223( 22 ? tt04232 ? tt22?A，2B23| ? BA ttPBPA23.（ 1）当 2x? 时 ( ) ( 1 ) ( 2 ) 2 1f x x x x? ? ? ? ? ? ? ?由 ( ) 5fx 解得 3x ? 当 21x? 时， ( ) ( 1 ) ( 2 ) 3 5f x x x? ? ? ? ? ? 不成立 当 1x 时， ( ) ( 1 ) 2 2 1 5f x x x x? ? ? ? ? ? 解得 x 综上有 ( ) 5fx 的解集是 ( , 3 2, )? ? ? （ 2）因为 1 2 ( 1 ) ( 2 ) 3x x x x? ? ? ? ? ? ? ，所以 ()fx的最小值为 3 要使得关于 x的不 等式 2( ) 2f x a a?对任意的 xR? 恒成立，只需 2 23aa?解得 13a? ? ,故 a的取值范围是 (1,3)?
