1、 1 陕西省延安市黄陵县 2017 届高三数学下学期期中质量检测试题（重点班）文 一、选择题 （ 60 分） 1.抛物线 y 4ax2(a0) 的焦点坐标是 ( ) A.(0， a) B.(a， 0) C.? ?0， 116a D.? ?116a， 0 2.执行如图所示的 算法 框图 ， 输出的 n 为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形， AB (1， 2)， AD (2，1)，则 AD AC 等于 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 4.向量 a， b 满足 |a| 1， |b| 2， (a b)(2 a b)，
2、则向量 a 与 b 的夹角为 ( ) A.45 B.60 C.90 D.120 5.已知抛物线 C： y2 4x 的焦点为 F， 直线 y 3(x 1)与 C 交于 A， B(A 在 x 轴上方 )两点 .若 AF mFB ， 则 实数 m 的值为 ( ) A. 3 B.32 C.2 D.3 6.某企业投入 100 万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费 ，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元 .为使该设备年平均费 用最低，该企业需要更新设备的年数为 ( ) A.10 B.11 C.13 D.21 7.
3、若函数 f(x) ax2 x 1 有且仅有一个零点，则实数 a 的取值为 ( ) 2 A.0 B. 14 C.0 或 14 D.2 8.第 31届夏季奥运会于 2016年 8月 5日在巴西里约热内卢举行 .运动会期间来自 A大学 2名和 B 大学 4 名共计 6 名大学生志愿者 ， 现从这 6 名志愿者中随机抽取 2 人到体操比赛场馆服务 ， 至少有一名 A 大学志愿者的概率是 ( ) A.115 B.25 C.35 D.1415 9.设 z 是复数 ， 则下列命题中的假命题是 ( ) A.若 z2 0， 则 z 是实数 B.若 z2 0， 则 z 是虚数 C.若 z 是虚数 ， 则 z2 0
4、 D.若 z 是纯虚数 ， 则 z2 0 10.已知双曲线 C1： x2a2y2b2 1(a0， b0)的离心率为 2.若抛物线 C2： x2 2py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2， 则抛物线 C2的方程为 ( ) A.x2 8 33 y B.x2 16 33 y C.x2 8y D.x2 16y 11.已知抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F 恰好是双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的一个焦点 ， 两条曲线的交点的连线过点 F， 则双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C.1 2 D.1 3 12.已知等差数列 an中 ， a5 13， S5 35， 则
5、公差 d ( ) A. 2 B. 1 C.1 D.3 二、填空题 （ 20 分） 13.设抛物线 C： y2 4x 的焦点为 F， M 为抛物线 C 上一点 ， 且点 M 的横坐标为 2， 则 |MF| _. 14.如图所示 ， 平面 ， ， 两两相交 ， a， b， c 为三条交线 ， 且 a b， 则 a 与 c， b与 c 的位置关系是 _. 15.已知向量 OA AB ， |OA | 3，则 OA OB _. 3 16.从长度分别为 2， 3， 4， 5 的四条线段中任意取出三条 ， 则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 _. 三、解答题 （ 70 题， 17 题 10 分，其余
6、12 分） 17.双曲线 y2a2x24 1(a0)的离心率为 5， 抛物线 C： x2 2py(p0)的焦点在双曲线的顶点上 . (1)求抛物线 C 的方程； (2)过 M( 1， 0)的直线 l 与抛物线 C 交于 E， F 两点 ， 又过 E， F 作抛物 线 C 的切线 l1，l2， 当 l1 l2时 ， 求直线 l 的方程 . 18.已知 |a| 4， |b| 3， (2a 3b)(2 a b) 61， (1)求 a 与 b 的 夹角 ； (2)求 |a b|； (3)若 AB a， BC b，求 ABC 的面积 . 19.已知函数 f(x) 4cos x sin? ? x 6 a(
7、 0)图象上最高点的纵坐标为 2， 且图象上相邻两个最高点的距离为 . (1)求 a 和 的值； (2)求函数 f(x)在 0， 上的单调递减区间 . 20.在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m ? ?22 ， 22 ， n (sin x， cos x)， x ? ?0， 2 . (1)若 m n，求 tan x 的值； (2)若 m 与 n 的夹角为 3 ，求 x 的值 . 21.在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 .圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为 4sin ， cos? ? 4 2 2. (1)求 C1与 C2交点的极坐标； 4 (2)
8、设 P 为 C1的圆心， Q 为 C1与 C2交点连线的中 点 .已知直线 PQ 的参数方程为?x t3 a，y b2t3 1(t R 为参数 )，求 a， b 的值 . 22.已知 x 0， y 0， 且 2x 5y 20. (1)求 u lg x lg y 的最大值； (2)求 1x 1y的最小值 . 5 参考答案 1.解析 抛物线 y 4ax2(a0) 化为标准方程 x2 14ay， 因此其焦点坐标 ? ?0， 116a ， 故选 C. 答案 C 2.解析 由 算法 框图可知： a 32， n 2； a 75， n 3， a 1712， n 4， 此时不满足条件 ， 结束循环 ， 输出
9、n 4， 故选 B. 答案 B 3.解析 四边形 ABCD 为平行四边形， AC AB AD (1， 2) (2， 1) (3，1). AD AC 23 ( 1)1 5，选 A. 答案 A 4.解析 ( a b)(2 a b)， ( a b)(2 a b) 0， 2 a2 a b 2ba b2 0， a b 0， 向量 a 与 b 的夹角为 90. 故选 C. 答案 C 5.解析 联立抛物线与直线方程得 ， ?y 3（ x 1） ，y2 4x， 解得 xA 3， xB 13， 所给直线经过抛物线的焦点 F， 且其准线为 x 1， A 点到准线的距离为 4， B 点到准 线的距离为 43，据抛物
10、线定 义可有 |AF| 3|FB|， 结合已知条件 AF mFB 可得 ， m 3.故选 D. 6.解析 设该企业需要更新设备的年数为 x，设备年平均费用为 y，则 x 年后的设备维护费用为 2 4 2x x(x 1)，所以 x 年的平均费用为 y 100 0.5x x（ x 1）x x 100x 1.5(x N*)，由基本不等式得 y x 100x 1.52 x 100x 1.5 21.5，当且仅当 x 100x ，即 x 10 时取等号，所以选 A. 答案 A 7.解析 当 a 0 时，函数 f(x) x 1 为一次函数，则 1 是函数的零点，即函数仅有一个零点； 当 a0 时，函数 f(
11、x) ax2 x 1 为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程 ax2 x 1 0 有两个相等实根 . 1 4a 0，解得 a 14. 6 综上，当 a 0 或 a 14时，函数仅有一个零点 . 答案 C 8.解析 记 2 名来自 A 大学的志愿者为 A1， A2， 4 名来自 B 大学的志愿者为 B1， B2， B3，B4.从这 6 名志愿者中选出 2 名的基本事件有 (A1， A2)， (A1， B1)， (A1， B2)， (A1， B3)， (A1，B4)， (A2， B1)， (A2， B2)， (A2， B3)， (A2， B4)， (B1， B2)， (B1， B3)， (B
12、1， B4)， (B2， B3)，(B2， B4)， (B3， B4)， 共 15 种 .其中至少有一名 A 大学志愿者的事件有 9 种 .故所求概率 P 915 35.故选 C. 答案 C 9.解析 举反例 说明 ， 若 z i， 则 z2 1 0， 故选 C. 答案 C 10 解析 x2a2y2b2 1 的离心率为 2， ca 2， 即c2a2a2 b2a2 4， ba 3. x2 2py 的焦点坐标为 ? ?0， p2 ， x2a2y2b2 1 的渐近线方程为 y bax， 即 y 3x.由题意得p21（ 3） 2 2， p 8.故 C2的方程为 x2 16y. 答案 D 11.解析 两
13、条曲线的交点的连线过点 F? ?p2， 0 ， 两交点的横坐标为 p2， 则其中一交点为 ? ?p2， p .代入双曲线方程得p24a2p2b2 1.又p2 c， 化简得 c4 6a2c2 a4 0， 解得 e ca 1 2.故选 C. 答案 C 12.解析 依题意 ， 得?a1 4d 13，5a1 10d 35， 解得 ?a1 1，d 3， 选 D. 答案 D 13.解析 由抛物线的定义可知 |MF| xM p2 2 1 3. 答案 3 14.解析 a b， a? ， b? ， b . 7 又 b? ， c， b c. a b c. 答案 a b c 15.解析 因为 OA AB ，所以 O
14、A AB 0.所以 OA OB OA ( OA AB ) OA 2 OA AB |OA |2 0 32 9. 答案 9 16 解析 从四条线段中任取三条有 4 种取法 ： (2， 3， 4)， (2， 3， 5)， (2， 4， 5)， (3， 4，5)， 其中能构成三角形的取法有 3 种： (2， 3， 4)， (2， 4， 5)， (3， 4， 5)， 故所求的概率为 34. 答案 34 17 解 (1)双曲线的离心率 e 1 4a2 5， 又 a0， a 1， 双曲线的顶点为 (0， 1)， 又 p0， 抛物线的焦点为 (0， 1)， 抛物线方程为 x2 4y. (2)由题知 ， 直线
15、l 的斜率必存在 ， 设直线 l 的方程为 y k(x 1)， E(x1， y1)， F(x2， y2)， y 14x2， y 12x， 切线 l1， l2的斜率分别为 x12， x22， 当 l1 l2时 ， x12 x22 1， x1x2 4， 由?y k（ x 1） ，x2 4y 得 x2 4kx 4k 0， ( 4k)2 4( 4k)0， k0. 由根与 系数的关系得， x1 x2 4k 4， k 1， 满足 ， 即直线的方程为 x y 1 0. 8 18 解 (1)(2 a 3b)(2 a b) 61， 4| a|2 4a b 3|b|2 61. 又 |a| 4， |b| 3， 64 4a b 27 61， a b 6.cos a b|a|b| 643 12. 又 0 ， 23 . (2)|a b|2 (a b)2 |a|2 2a b |b|2 42 2( 6) 32 13， | a b| 13. (3) AB 与 BC 的夹角 23 ， ABC 23 3. 又 |AB | |a| 4， |BC | |b| 3， S ABC 12|AB |BC |sin ABC 1243 32 3 3. 19 解 (1)f(x) 4cos x sin? ?x 6 a 4cos x ? ?32 sin x 12cos x a2 3sin xcos x
