1、 1 陕西省延安市黄陵县 2017届高三数学下学期期中质量检测试题（普通班）理 第 卷 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.集合? ? ? ?05|,3| 2 ? xxxBxxA，则B?是（ ） A? ?30| ?xxB? ?50| ?xxC? 3|xD? ?0x2.已知复数aii?1为纯虚数，那么实数a的值为（ ） A -1 B 0 C 1 D 2 3.有一长、宽分别为50m、30的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音
2、可传出152m，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ） A34B38C316?D12332?4.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长五尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,ab分别为 5、 2，则输出的n?（ ） A 2 B 3 C. 4 D 5 5.已知数列na的前 项和为S，若1 2 ( 2)nnS a n? ? ?，且1 2a?，则20S?（ ） A1921?B2122?C. 19?D21?6.如图，在三棱锥A BCD中，平面ABC?平面BCD，BAC与均为等腰直角三角形，且90AC BCD
3、? ? ? ? ?，2BC?点 P是线段 AB上的动点，若线段 上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30?的角，则线段 PA长的取值范围是（ ） 2 A20,2?B60,3C.2,22D637.记? ? ,m ax , ,.a a bab b a b? ? ? 已知向量a，b，c满足1a?，2b，0ab?， ? ,c a b? ? ? ? 且?1?，则当? ?max ,c a c b?取最小值时，c（ ） A255B223C.1 D528.已知定义在实数集 R上的函数?fx满足? ? ? ? ? ?211 2f x f x f x? ? ? ?，则? ? ? ?0 2017ff?的最大值为（
4、） A21 2?B22?C.12D39.如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，边33BC上有 10 个不同的点1 2 10,P P P，记2 ( 1, 2 , ,10)iim AB AP i? ? ?，则1 2 10m m m? ? ?的值为（ ） A153B 45 C. 603D 180 10.已知函数()fx是定义在 R上的单调函数，且对任意的,xy R?都有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ?，若动点( , )Pxy满足等式22( 2 2) ( 8 3 ) 0f x f y y? ? ? ? ?，则xy?的最大值为（ ） A 2 6 5?B -5
5、 C. 2 6 5?D 5 11.已知 ,ab是非零向量，它们之间有如下一种运算： sin ,a b a b a b? ? ? ?，其中,ab?表示 ,ab的夹角下列命题中真命题的个数是（ ） a b b a? ? ? ； ( ) ( )a b a b? ? ?； ()a b c a c b c? ? ? ? ? ?； 3 a b a b a b? ? ? ?； 若 1 1 2 2( , ), ( , )a x y b x y?，则 1 2 2 1a b x y x y? ? ? ， A 2 B 3 C 4 D 5 12. 如图，点 P 从点 A 处出发，按逆时针方向沿边长为 a 的正三角形
6、ABC 运动一周，ABCO ?为 的中心，设点 P 走过的路程为 x ， OAP? 的面积为 ? ? POAxf ,(, 当 三点共线时，记面积为 0 ），则函数 ?xf 的图象大致为（ ） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13. .设函数 621 lo g , 4,() ( ), 4,xxfx f x x? ? ?则 (3) (4)ff? 14.? ?10xa? 的展开式中， 7x 的系数为 15，则 a=_.(用数字填写答案 ) 15.函数 ? ? ? ? ? ?s in 2 2 s in c o sf x x x? ? ? ? ? ?的最大值为 _. 16.已知
7、是定义在 R上的函数，且满足(4) 0f ?；曲线( 1)y f x?关于点1,0)?对称；当( 4,0)?时，2 |( ) log ( 1)xxxf x e me? ? ? ?，若()f x?在 4,4x?上有 5个零点，则实数m的取值范围为 三、解答题 （本大题共 5小题，共 60分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知向量( 3 sin ,1)mx?，2(cos , cos 1)n x x?，设函数()f x m n b? ? ? （ 1）若函数()fx的图象关于直线6?对称，且0,3?时，求函数()fx的单调增区间； （ 2）在（ 1）的条件下，当70, 12?
8、时，函数 有且只有一个零点，求实数b的取值范围 18.（本小题满分 12分） 已知函数 错误 !未找到引用源。 有两个零点 . （ I） 求 a的取值范围； 4 （ II） 设 x1， x2是 错误 !未找到引用源。 的两个零点，证明： 错误 !未找到引用源。 +x22. 19. 某公司准备将 1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为1?（万元）的概率分布列如表所示： 且1?的期望1( ) 120E? ?；若投资乙项目一年后可获得的利润2?（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度
9、进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为(0 1)pp?和1p?，乙项目产品价格一年内调整次数 X（次）与2?的关系如表所示： （ 1）求,mn的值； （ 2）求2?的分布列； （ 3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多 少？（投资回报率 =年均利润 /投资总额 100%） 20. (本小题满分 12分 ) 已知点 A （ 0， -2），椭圆 E ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的离心率为32 ， F 是椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为 233 ， O 为坐标原点 . ( )求 E 的方程；
10、（）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 ,PQ两点，当 OPQ? 的面积最大时，求 l 的方程 . 21. (本小题满分 12分 ) 已知点 A （ 0， -2），椭圆 E ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的离心率为5 32 ， F 是椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为 233 ， O 为坐标原点 . ( )求 E 的方程； （）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 ,PQ两点，当 OPQ? 的面积最大时，求 l 的方程 . 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.（本小题满分 10分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 在直 角
11、坐标系 xOy 中， 圆 C 的方程为 22( 6) 25xy? ? ? （ ） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （ ）直线 l 的 参数方程是 cossinxtyt? ?（ t 为参数） , l 与 C 交于 ,AB两点 ，| | 10AB? ，求 l 的斜率 23.（本小题满分 10分）选修 4- 5：不等式选讲 已知函数 f(x)= x+1 - 2x- 3 . （ I）在答题卡第（ 24）题图中画出 y= f(x)的图像； （ II）求不等式 f(x) 1的解集 . 6 试卷答案 1-12 ABBCC BABDA BA 13 .4 14 21
12、15. 1 16. 42 3 ,1) ee?17. 解：向量( 3 sin ,1)mx?，(cos , cos 2 1)n x x?， 2( ) 3 si n c os c os 1f x m n b x x x b? ? ? ? ? ? ? ? ?3 1 3 3si n 2 c os 2 si n( 2 )2 2 2 6 2x x b x b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 1） 函数()fx图象关于直线6x ?对称， 2 ( )6 6 2k k Z? ? ? ? ? ? ?，解得：3 1( )k k Z? ? ? ?， 0, ?， 1?， 3( ) si n( 2 )62f x x
13、 b? ? ? ?，由2 2 22 6 2k x k? ? ? ? ? ? ?， 解得：()36k x k k Z? ? ? ? ?， 所以函数()的单调增区间为 , ( )k k k Z? ? ? （ 2）由（ 1）知3( ) si n( 2 )f x x b? ? ? ?， 7 12x ?， 42 , 6 6 3x ? ? ?， , 6 6 2? ? ?，即0, 6x ?时，函数()fx单调递增； , x，即7 , 6 12?时，函数 单调递减 又(0) ( )3ff?， 7 当7( ) 0 ( )3 12ff?或( ) 06f ? ?时函数()fx有且只有一个零点 即4 3 5si n
14、si n3 2 6b? ? ? ?或3102 b? ? ?， 所以满足条件的3 3 5( 2, 22b ? ? ? 18【答案】 (I)(0, )? （ II）见解析 【解析】 试题分析： (I)求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）； (II)借组(I)的结论来证明，由单调性可知 122xx?等价于 12( ) (2 )f x f x?，即 2(2 ) 0fx?设2( ) ( 2)xxg x xe x e? ? ? ?，则 2( ) ( 1)( )xxg x x e e? ? ?则当 1x? 时， ( ) 0gx? ，而(1) 0g ? ，故当 1x? 时， ( ) 0g
15、x? 从而 22( ) (2 ) 0g x f x? ? ?，故 122xx? 试题解析：（） ( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )f x x e a x x e a? ? ? ? ? ? ? （ i）设 0a? ，则 ( ) ( 2) xf x x e? ， ()fx只有一个零点 （ ii）设 0a? ，则当 ( ,1)x? 时， ( ) 0fx? ；当 (1, )x? ? 时， ( ) 0fx? 所以 ()fx在 ( ,1)? 单调递减，在 (1, )? 单调递增 又 (1)fe? ， (2)fa? ，取 b 满足 0b? 且 ln2ab? ，则 22 3( ) (
16、2 ) ( 1 ) ( ) 022af b b a b a b b? ? ? ? ? ? ?， 故 ()fx存在两个零点 8 19. 解：（ 1）由题意得：0.4 1110 120 0.4 170 120mnmn? ? ? ? ? ? ?， 得：0.5, 0.1mn? （ 2）2?的可能取值为 41.2， 117.6， 204.0， 2( 41.2) (1 ) 1 (1 ) (1 )P p p p p? ? ? ? ? ? ? ?222( 117.6 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )p p p p p p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2( 204.0 ) (1 )P
17、p p? ? ? ?所以2?的分布列为 41.2 117.6 204.0 P (1 )pp?22(1 )?(1 )?（ 3）由（ 2）可得： 9 222( ) 41.2 (1 ) 117.6 (1 ) 204.0 (1 )E p p p p p p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?210 10 117.6pp? ? ? ?根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需12( ) ( )EE?，即 2120 10 10 117.6pp? ?，得0.4 0.6p? 因为22( ) 10 10 117.6E p p? ? ? ? ?，所以当12P?时，()E?取到最大值 为120.1，所
18、以预测投资回报率的最大值为12.01%. 20.【解析】： ( ) 设 ? ?,0Fc ，由条件知 2 2 33c? ，得 3c? 又 32ca? ， 所以 a=2 ， 2 2 2 1b a c? ? ? ,故 E 的方程 2 2 14x y?. ? .6 分 （）依题意当 lx? 轴不合题意，故设直线 l： 2y kx?，设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,P x y Q x y 将 2y kx?代入 2 2 14x y?，得 ? ?221 4 1 6 1 2 0k x kx? ? ? ?， 当 216(4 3) 0k? ? ? ?，即 2 34k ? 时， 21,2 28 2 4 314kkx k? ?从而 22212 24 1 4 31 1
