1、 1 四川省成都市九校 2017届高三数学下学期期中联考试题 理 考试时间共 120分，满分 150分 试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题） 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用 0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。 2.选择题使用 2B铅笔填 涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。 第卷（共 60 分） 一、选择题（
2、本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1.已知集合 1|,2| 2 ? xZxBxRxA ，则 ?BA? （ ） A. 1,1? B. 2,2? C. 1,0,1? D. 2,1,0,1,2 ? 2.关于复数 iz ? 12 ，下列说法中正确的是 （ ） A. 2| ?z B.z 的虚部为 i? C.z 的共轭复数 z 位于复平面的第三象限 D. 2?zz 3.已知 a 是平面 ? 外的一条直线，过 a 作平面 ? ，使 ?/ ，这样的 ? （ ） A.恰能作一个 B.至多能作一个 C.至少能作一个 D.不存在 4.已知二项式 43 )(
3、xax?的展开式中 常数项为 32 ，则 ?a （ ） A.8 B. 8? C.2 D. 2? 5.函数 )22(c o sln ? ? xxy 的图象是 （ ） 6.九章算术是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何 .”意思是：“ 5 人分 取 5 钱，各人所得钱数依次成等差数列，其A B C D 2 中 前 2人所得钱数之和与 后 3人所得钱数之和相等 .”，则其中分得钱数最多的是 （ ） A.65 钱 B.1钱 C.67 钱 D.34 钱 7.将 5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是 （
4、） A.60 B.90 C.120 D.180 8.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值为 4， 则 t 的值不可能是 （ ） A.3 B.6 C.8 D.11 9.若函数 )102)(36s i n (2)( ? xxxf ? 的图象与 x 轴交于点 A ，过点 A 的直线 l 与 )(xf 的图象交于 CB, 两点， 则? OAOCOB )( （ ） A.32 B.16 C.-16 D.-32 10.三棱锥 ABCD? 及其正视图和侧视图如右图所示，且 顶点DCBA , 均在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ） A. ?32 B. ?36 C. ?128 D. ?144 11
5、.已知双曲线 )0,0(12222 ? babyax 的右顶点为 A ，若双曲 线右支上存在两点 ,BC使得 ABC? 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ） A.? ?1,2 B. ),2( ? C. )2,1( D. ),2( ? 12.设函数 mxxxf ? 3ln2)( ，若关于 x 的方程 xxff ?)( 恰有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 （ ） A. ),43ln2( ? B. )43ln2,( ? C. ),4( ? D. )4,( ? 第卷（共 90 分） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13.已知 yx, 满足不等
6、式?010xyxyx ，则yxz 2? 的最大值 . 14.已知向量 )(),2,1( baaa ? ，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为 . 3 15.斜率为 )0( ?kk 的直线 l 经过点 )0,1(F 交抛物线xy 42? 于 BA, 两点，若 AOF? 的面积是 BOF? 面积的 2 倍， 则?k . 16.已 知数列 na 满足 411?a， 21n n na a a? ? )( *Nn? ， 则201611 1n na? ?的整数部分是 . 三、解答题（本大题共小题，共 70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分 12分 ) 在 ABC? 中，已知
7、 4A ? ， 25cos 5B? . (1)求 cosC 的值； (2)若 25BC? ， D 为 AB 的中点，求 CD 的长 . 18.(本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 ABCDP? 中， ?PA 平面 ,120,2, ? ABCBCABA B C D 7?CDAD ， 直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正切为 21 . (1)设 E 为直线 PC 上任意一点，求证 ： BDAE? ； 4 (2)求二面角 APCB ? 的正弦值 . 19.(本小题满分 12分 ) 为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况，从两校各随机抽取 60名学生，将所得样本作
8、出频数分布统计表如下 ： 甲校： 乙校： 以抽样所得样本数据估计总体 (1)比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低； (2)若规定数学成绩不低于 120分为优秀，从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取 2人，其中数学成绩为优秀的共 X 人，求 X 的分布列及数学期望 . 20.(本小题满分 12分 ) 已知椭圆 146: 221 ? yxC，圆 tyxC ? 222 : 经过椭圆 1C 的焦点 . (1)设 P 为椭圆上任意一点，过点 P 作圆 2C 的切线，切点为 Q ，求 POQ? 面积的取值范围，其中 O 为坐标原点； (2)过点 )0,1(?M 的直线 l 与曲线 21,CC 自上而下依
9、次交于点 DCBA , ，若 | CDAB? ,求直线 l 的方程 . 分组 70,80） 80,90） 90,100） 100,110） 频数 2 5 9 10 分组 110,120） 120,130） 130,140） 140,150 频数 14 10 6 4 分组 70,80） 80,90） 90,100） 100,110） 频数 2 4 8 16 分组 110,120） 120,130） 130,140） 140,150 频数 15 6 6 3 5 21.(本小题满分 12分 ) 已知函数 Raxaaxxxf ? ,ln)3(21)( 2 . (1)若曲线 )(xfy? 在点 )1(,
10、1( f 处的切线与直线 012 ?yx 垂直，求 a 的值； (2)设 )(xf 有两个极值点 21,xx ，且 21 xx? ，求证： 23)()(521 ? xfxf. 请考生在 第 22、 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10分 ) 在直角坐标系 xOy 中，圆 1C 和 2C 的参数方程分别是 ? ? ? ? ?sin2 cos22yx（ ? 为参数）和? ? ?sin1cosyx（ ? 为参数），以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . (1)求圆 1C 和 2C 的极坐标方程； (2)射线 OM ： ? 与圆 1C 交于点
11、 PO、 ，与圆 2C 交于点 QO、 ，求 | OQOP? 的最大值 . 6 23.(本小题满分 10分 ) 设函数 ? ? 2 2 2f x x x? ? ? ?. (1)求不等式 ? ? 2fx? 的解集； (2)若 xR? ， ? ? 2 72f x t t?恒成立，求实数 t 的取值范围 . 7 高 2014级期中联考试题 数学（理）参考答案 1.C 2.D 3.B 4.D 5.A 6.D 7.B 8.D 9.A 10.A 11.C 12.B 13、 2 14、 5? 15、 22 16、 3 17、解：（ 1） 25cos 5B ? 且 ? ?0,B ? ， ? 2 5s in 1
12、 c o s 5BB? ? ? 2分 ? ? 3c o s c o s c o s 4C A B B? ? ? ? ? ? 3 3 2 2 5 2 5 1 0c o s c o s s i n s i n4 4 2 5 2 5 1 0BB? ? ? ? ? ? ?. 6分 （ 2）由（ 1）得， 10103c o s1s in 2 ? CC 由正弦定理得 sin sinBC ABAC? ，即 252 3 102 10AB? ，解得 6AB? . 9分 由余弦定理， ? ? 222 252 5 3 2 3 2 5 55CD ? ? ? ? ? ? ?，所以 5CD? . 12分 18、解 ：（
13、1）设 O 为线段 AC 的中 点， 由 BCAB? 知 ACBO? ，由 CDAD? 知 ACDO? ，从而 DOB , 三点共线，即 O 为 AC 与 BD 的交点 . 2分 又 ?PA 平面 ABCD ，所以 BDPA? 又 APAAC ? ，所以 ?BD 平面 PAC 因为 E 为直线 PC 上任意一点，所以 ?AE 平面 PAC ，所以 BDAE? 5分 （ 2）以 OD所在方向为 x 轴， OA所在方向为 y 轴，过 O 作 AP 的平 行线为 z 轴，建立空间直角坐标系 由题意， 2,1,32 ? ODOBAC 又 ?PA 平面 ,ABCD 故直线 PC 与平面 ABCD 所成角
14、 即为 PCA? ， 21tan ? PCA 所以 3?PA ，所以 )3,3,0(),0,3,0(),0,0,1( PCB ? 8 )3,32,0(),0,3,1( ? CPBC 8 分 设平面 BPC 的法向量 ),(1 zyxn ? ，由?0011CPnBCn ，有?033203zyyx 解得 )2,1,3(1 ?n 10分 由（ 1），取平面 PCA 的法向量 )0,0,1(2 ?n 所以4622 3|,c o s 21 2121 ? nn nnnn所以二面角 APCB ? 的正弦值为 410 12 分 19、解：（ 1） 60 3145613561251511516105895485
15、275 ?甲x 8.110? 2分 2.11260 41456135101251411501105995585275 ?乙x 4分 所以乙校学生的数学平均成绩高于甲校 5分 （ 2）由上表可知，甲、乙两校学生的优秀率分别为 31,41 ， 4,3,2,1,0?X 6分 14436)32()43()0( 22 ?Xp ， 144603231)43()32(4143)1 212212 ? CCXp 1443731324143)32()41()31()43()2( 12122222 ? CCXp 144 1)31()41()4(,14410)31(41433132)41()3( 22212122 ? XpCCXp 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 p 14436 14460 14437 14410 1441 10分 6714414144103144372144601)( ? XE ·
