1、 1 2017 2018 学年第一学期 11 月考试 高三数学理科试题 一、选择题 1 已知全集 UR? ，集合 1 | 0 , | 1xA x B x xx? ? ? ?，则 | 0xx? 等于 A. AB? B. AB? C. ? ?UC A B? D. ? ?UC A B? 2 在复平面内，若 ? ? ? ?2, 1 , 0,3AB? ，则 平行四边形 OACB 中，点 C 对应的复数为 A. 22i? B. 22i? C. 1i? D. 1i? 3 若直线 与圆 相切，则 的值为 A. 1 B. C. D. 4 命题 :p 若 ab? ，则 22,c R ac bc? ? ? ；命题
2、0:0qx?，使得 001 ln 0xx? ? ? ，则下列命题中为真命题的是 A. pq? B. ? ?pq? C. ? ?pq? D. ? ? ? ?pq? ? ? 5 为了得到函数2 1log 3xy ?的图象，可将函数2log 3xy?的图象上所有的点 A. 纵坐标缩短到 12 （横坐标不变），再向左平移 1 个单位 B. 纵坐标缩短到 12 （横坐标不变），再向左平移 13 个单位 C. 横坐标缩短到 2 倍（横坐标 不变），再向左平移 13 个单位 D. 横坐标缩短到 2 倍（横坐标不变），再向右平移 1 个单位 6 中国古代数学著作算法统宗中记载了这样的一个问题： “ 三百七十八
3、里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ” ，其大意为：有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达了目的地，问此人第二天走了 里？ A. 76 B. 96 C. 146 D. 188 7 平面直角坐标系中， O 为原点 , ,ABC 三点满足 3144OC OA OB?，则 BCAC?( ) 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 32 8 执行如图所示的程序框图 ,若输入的 ，则输出的 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第 11 题图 9 ? ? ? ?6411xy?的
4、展开式中，记 mnxy项的系数为 ? ?,f mn ，则 ? ? ? ?3,0 0,3ff?( ) A. 9 B. 16 C. 18 D. 24 10 某三棱锥的三视图如图所示 （见上图） ，主视图和俯视图为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的棱长为 ( ) A. 32 B. 3 C. 52 D. 2 11 已知直线 与双曲线 交于 ， 两点，且 中点 的横坐 标为 ，过且与直线 垂直的直线 过双曲线 的右焦点，则双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 12 已知函数 ? ? ? ? ? ? ?2lo g 1 , 1, 34 , 3 ,1xxfx xx? ? ? ? ? ?，则 ? ?
5、? ? 1g x f f x?函数的零点 的个数为 ( ) 3 A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题 13 设 ? ? ? ? ?, 0,1, , 2cosx xfx x ? ?，则 ? ?20f x dx? ? _ 14 已知点 M 的坐标 ? ?,xy 满足不等式组 2 4 0 2 030xyxyy? ? ? ? ?， N 为直线 22yx? ? 上任一点，则 MN 的最小值是 _ 15 已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两垂直，且 5 , 7 , 2A B B C A C? ? ?，则此三棱锥外接球的表面积是 _ 16 已 知 数 列 ?na 中， ? ?111, , 2
6、 ,nna a a n n n N ? ? ? ? ?，设1 2 3 21 1 1 1nn n n nb a a a a? ? ? ? ? ? ?，若对任意的正整数 n ，当 ? ?1,2m? 时，不等式2 13 nm mt b? ? ? 恒成立，则实数 t 的取值范围是 _ 三、解答题 17 已知 ? ? ? ? ? ?s i n , c o s , 3 c o s , c o s , 2a x x b x x f x a b? ? ? ? ? ? . （ 1）求的 ?fx解析式； （ 2）在 ABC? 中， ,abc分别是内角 ,ABC 的对边，若? ? 2, 1,f A b ABC? ?
7、 ?的面积为 32 ，求 a 的值 . 18.已知 PDQ? 中 ,A, B 分别为边 PQ 上的两个三等分点 , BD 为底 边 PQ 上的高，/AE DB ，如图 1.将 PEA? ， QDB? 分别沿 AE ， DB 折起，使得 P ， Q 重合于点 C ， AB 中点为 M ，如图 2. （ 1）求证： CM EM? ； （ 2） 若直线 DM 与平面 ABC 所成角的正切值为 2，求二面角 B CD E?的大小 . 19 教育学家分析发现加强语文乐队理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组4 为了 验证这个结论，从该校选择甲乙两个同轨班级进行试验，其中甲班加强阅读理解训练，乙
8、班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面的 22? 列联表（单位：人） （ 1）能 否 据此判断有 97.5%把握 认为 加强语文阅读训练与提高数学应用题得分率有关？ （ 2）经过多次测试后，小明正确解答一道数学应用题所用的时间在 5 7 分钟，小刚正确解得一道数学应用题所用的时间在 6 8 分钟，现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比小明 先 正确解答完的概率； （ 3）现从乙班成绩优秀的 8 名同学中任意抽取两人，并对他们 的 答题情况进行全程研究，记 A、 B 两人中被抽到的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E（ X） . 20设椭圆 22
9、28xy?与 y 轴相交于 A、 B 两点，（ B 在 A 的下方），直线 4y kx?与该椭圆相较于不同的两点 M、 N，直线 1y? 与 BM 交于 G. （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）求证： ,AGN 三点共线 . 21已知函数 ? ? ? ?1lnxf x e x x?. （ 1）求函数 ?fx在点 ? ?1, 1f 处的切线方程； （ 2）试比较 ?fx与 1 的大小 . 22已知数列 ?na 满足 ? ? 1122 1 2 2nna a n a n ? ? ? ? ? ? ?， *nN? （ ）求数列 ?na 的通项公式； （ ）若 2 2 21log lognnnb aa?
10、? ， 12nnT b b b? ? ? ?，求证：对任意的 *nN? ， 34nT? . 5 高三第三次月考数学（理）参考答案 1-5 DADCA 6-10 BCBDA 11-12 BC 13 ? 14 255 15 8? 16 1t? 17 ? ? 21 2 3 s i n c o s 2 c o s 3 s i n 2 c o s 2 1 2 s i n 2 16f x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ?（ ）， （ 2） ? ? 2 s in 2 1 26f A A ? ? ? ?,? 1sin 262A ? ?0,A ? 132,6 6 6A ? ? ? ? ?
11、? 52 66A ? ? ? 3A ? 1 1 3s in 1 s in2 2 3 2ABCS b c A c ? ? ? ? ? ? 2c? 2 2 2 2 c o s 3a b c bc A? ? ? ? ? 3a? 18 解： （ 1）因为 A ， B 是 PQ 的三等分点，所以 P A A B B Q C A C B? ? ? ?， 所以 ABC? 是等边三角形，又因为 M 是 AB 的中点，所以 CM AB? . 因为 DB AB? ， DB BC? ， AB BC B?，所以 DB? 平面 ABC ， 又 /EA DB ，所以 EA? 平面 ABC ； CM? 平面 ABC ，所以
12、 CM EA? . 因为 AM EA A?，所以 CM? 平面 EAM .因为 EM? 平面 EAM ，所以 CM EM? . （ 2）以点 M 为坐标原点， MC 所在直线为 x 轴， MB 所在直线为 y 轴，过 M 且与直线BD 平行的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 M xyz? . 因为 DB? 平面 ABC ，所以 DMB? 为直线 DM 与平面 ABC 所成角 . 6 由题意得 2DBtan DM B MB? ? ?，即 2BD MB? ， 从而 BD AC? . 不妨设 2AC? ，又 2AC AE? ，则 3CM? ， 1AE? . 故 ? ?0,1,0B ， ? ?3,0
13、,0C ， ? ?0,1,2D ， ? ?0, 1,1E ? . 于是 ? ?3, 1,0BC ?， ? ?0,0,2BD? ， ? ?3, 1,1CE ? ? ? ， ? ?3,1,2CD ? ， 设平面 BCD 与平面 CDE 的法向量分别为 ? ?1 1 1,m x y z? ， ? ?2 2 2,n x y z? ， 由? 0? 0m BCm BD? 得 11130 20xyz? ，令 1 1x? ，得 1 3y? ， 所以 ? ?1, 3,0m? .由? 0? 0n CEn CD? 得 2 2 22 2 2303 2 0x y zx y z? ? ? ? ? ? ?，令 2 1x?
14、得 2 33y ? ， 2 233z ? . 所以3 2 31, ,33n ?. 所以 ?,0mncos m n mn? ? ? ?. 所以二面角B CD E?的平面 角的大小为 90? . 19 （ 1）由表中数据得 2K 的观测值 ? ? 25 0 2 2 1 2 8 8 50 5 .5 5 6 5 .0 2 43 0 2 0 3 0 2 0 9k ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以根据统计有 97.5% 的把握认为加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关 . (2)设小明和小刚解答这道数学应用题的时间分别为 xy、 分钟，则基本事件满足的区域为5768xy? (如图所示 )
15、设事件 A 为 “ 小刚比小明先解答完此题 ” 则满足的区域为 xy? ?由几何概型 ? ? 1 11 122 2 8PA ? 即小刚比小明先解答完此题的概率为 18 . （ 3） X 可能取值为 0,1,2 ， ? ? 150 28PX?， ? ? 12 31 28 7PX ? ? ?， ? ? 12 28PX? X 的分布列为： 7 0 1 2 P 1528 37 128 ? ? 1 5 1 2 1 10 + 1 + 22 8 2 8 2 8 2EX? ? ? ? ? ?. 20（ 1） 2228xy?化为标准方程可得 22 1 2 2 , 2 , 284xy a b c? ? ? ? ?
16、 ?， 所以 22e? . （ 2）直线代入椭圆方程得： ? ?221 2 1 6 2 4 0k x kx? ? ? ?, 设 ? ?,4MMM x kx ? ， ? ?,4NNN x kx ? ， ? ?,1GGx ，由 韦 达 定 理 得 ： 21612MN kxx k? ? ? ? ， 22412MNxx k? ? MB 方程为： 6 2MMkxyxx ?，则 3 ,16MMxG kx?， 2 1 2 2 4 23 336N M NN A G AMN N M M NMk x x xkkk k kxx x x x xkx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?将 代入上式得： 0NA GAk
17、k? ,AGN? 三点共 线 21 （ 1） ? ?1fe? ?切点为 ? ?1 e， ? ? 221lnxf x e x xx? ? ? ? ?1fe? ? ? ， ?切线方程为 ? ?1y e e x? ? ? ，即 y ex? ? ?11fe? , 所以猜想 ?1fx? ， 理 由 如 下 ： 因 为? ? ? ?11 ln 1 ln 1x xxf x e x x x x e? ? ? ? ? ? ? 令 ? ? ln 1g x x x?， ? ?xxhxe? ? ln 1g x x? ? 令 ? ? 10,g x x e? ? ； ? ? 10,0g x x e? ? ? ?gx? 在
18、 10e?， 单调递减，在 1,e?单调递增， ? ?m in 111g x g ee? ? ? ? ? 1 xxhx e? 令 ? ? 10xxhx e?， 01x?； ? ? 10xxhx e?， 1x? ? ?hx? 在 01（ ， ） 单调递增，在 1+?（ ， ） 单调递减 ? ? ? ?m ax 11h x h e? ? ? 8 ? ? ? ?min maxg x h x? ? ? ? ?g x h x?恒成立 ? ? 1fx?. 22 （ ）当 1n? 时， ? ? ?1121 2 12 1 2 22 -1 ) 2 2 2nnnna a n a na a n a n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ - 得 ? ? ? ?11 2 2 2 2n n nnn a n n n? ? ? ? ? ?， 所以 2nna? ， 当 1n? 时， 1 2a? ，所以 2nna? ， *nN? （ ）因为 2nna? ， ? ?2 2 21 1 1 1 1lo g lo g 2 2 2nnnb a a n n n n? ? ? ?
